基于皮亚杰理论下的高中数学概念教学
钱有成
作为一个活动的理论、建构的理论、发展的理论，皮亚杰认知发展理论深刻地描述了认知发生、发展的过程，分析了影响认知发展的因素和促进认知发展的动力。它揭示了人类认识世界、发展认知的心理机制，为教育教学研究提供了丰厚的心理学基础。同时，从皮亚杰对认知发生、发展的生动分析中，我们看到，皮亚杰认知发展理论用建构的观点探讨认知的发展，尤其强调活动在认知发展和知识建构中的作用。本文以《三角函数的周期性》教学为例谈谈高中数学概念教学。
一、提供积累，感知概念
从认知出发，人概念是图式存在于人的大脑中，我们通过实例进行激活抽象，使学生获得感知。
在“三角函数的周期性”教学时，可先设计以下方式引入课题：
情境1：从2013年12月份的日历上可以看出，12月9日是周一，再过7天，16日还是周一，再过7天，23日还是周一……
情境2：单位圆上的点转动一圈以后回到了原来的位置。
问题：你能举出数学中某些现象重复出现的例子吗？
学生可以根据前阶段学习的诱导公式的特点，回答出三角函数，三角函数线。
问题：我们以正弦函数为例，怎样解释这种周而复始的现象呢？
学生1：sin30°=sin150°。这个回答是笔者没有预想到的。
课堂上，学生的深思顿悟、灵机一动，节外生枝和思维的遇阻、疏忽大意等等，都可能催生出一个个鲜活的教学资源，为创设智慧、高效课堂带来可能。为学生的学习创设了预知不得，欲罢不忍的学习情境，激发了学生的探究积极性，课堂气氛又活跃了起来。
学生2：当角α的终边转动2π，就会重合，三角函数值也相等。
这是学生从形的角度刻画了三角函数的“周而复始”的现象，笔者继续追问：把你这句话用表达式写出来是什么样的呢？
学生2：sin（x+2π）=sinx。
这样我们就很自然的联想到之前学习的三角函数的诱导公式，让学生很轻松愉悦地接受了正弦函数的周期现象，也为接下来推导余弦函数和正切函数的周期作铺垫。
二、同化顺应，概括概念
在数学概念教学中，我们通过比较分析、抽象概括等同化顺应活动，让学生获得对数学概念的认同。
如：“三角函数周期性”概念教学中，如果某函数f（x）每间隔2个单位，函数值重复再现，如何用符号语言表示？引导学生得出f（x+2）=f（x）。
追问：如果某函数f（x）每间隔7个单位，函数值重复再现，如何表示？
引导学生得出f（x+7）=f（x）。
教师通过前面特殊情况的分析，逐渐引导学生感受“周而复始”的特征，从而慢慢引入数学概念。
三、提供变式，抽象本质
随着学生对概念的不断积累，我们将概念进行不断深化，抽象出精确的形式。在“三角函数的周期性”教学时：是不是只有三角函数才有周期性？我们是否可以给一般的周期性函数下一个定义呢？
该问题的设置意图，要求学生能从现有的材料中概括出本质特征，并把本质特征用精当的数学语言加以描述。概括是数学概念形成的重要过程，所以教学设计中必须为学生的概括做好铺垫。这个环节是本节课的重点也是难点。教师不能急于求成，要倾听学生的心声，要营造民主、平等、宽容的课堂教学气氛，把握学生的解惑需求，对于学生的回答，要及时加以辨别，作出正确的判断，并因势利导，给学生探究的时间和空间，这样会使后面的教学更深入，更有价值。
定义中关键词有哪些？这些关键词你感觉熟悉吗？之前的学习中哪里遇见过？
设计意图是为了让学生更深入理解定义的内涵，把握判断函数周期性的关键，并联系之前学过的函数的奇偶性和单调性，更好地理解周期性的定义。这个环节把握的程度可以从接下来课件中判断函数是否为周期函数反映出来。
思考：y=3是周期函数吗？
学生的反映并没有预想的好，问题出在了哪里？是概念理解不清，还是符号不能准确转换？笔者课后作了学生调查，结果显示，学生不能把y=3和f（x）=3联系起来，更找不出f（x+T）=f（x）中的T的值，感觉不存在。该问题的设计意图是想说明不是所有函数都有最小正周期，但是反映出来的是学生对函数概念的不理解。给我们留了思考，函数的概念教学是否到位呢？学生不能真正透彻理解函数的概念，个人觉得这是教学中的失败。但是很多问题不是一两节课能解决的，如果再次讲授这节课，这个环节肯定删除。
四、深化运用，巩固概念
我们只有把数学概念和生活实践联系起来，才能运用发展数学，体现数学的永恒价值，这节概念课配备了如下的例题：
[例1]若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如下图所示。
（1）求该函数的周期；
（2）求t=10s时钟摆的高度。
师组织学生围绕以下问题展开讨论：
问题1：周期函数的图像具有什么特征？
问题2：能否根据周期性找到t=10s时钟摆的高度？
[例2]求函数y=cos2x的周期。
思考：自编一道三角函数题，请同座位思考是否为周期函数？若是周期函数，周期是多少？若不是周期函数，请说明理由。
该问题的设计意图是想让学生能够感受到自己是课堂的主人，是学习活动中自由的“生命体”。但是由于学生的层次比较低，这个环节在具体实施过程中很难推进，不能体现有效性，给的3分钟的时间不能完成布置的任务，笔者表示很遗憾。这个环节的不成功，使得接下来的y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常数，A≠0，ω>0）的周期的概括和推导就不能顺利的进行。当然，课堂教学过程本身就是一个“精心预设”与“动态生成”和谐统一的过程。备课首先应该先备学生，教师应熟悉学生的认知水平和学习的薄弱之处，要换位思考，真正从学生的角度审视问题。针对这个问题，笔者认为，概念的教学是一个值得继续探究的过程，是要贯穿在平时的教学过程中，潜移默化地去发展学生的思维的过程，是一个长远的过程。如果再上一次，我想把这个问题改成例题，直接改为：求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3）
（4）y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常数，A≠0，ω>0）
这样的改动，和原先的问题设置相比，显然教师的主动性高于学生。
总之，概念教学是数学“双基”教学的重要组成部分，学好数学概念是学习数学知识的重要前提，学生对数学概念掌握与理解的程度，直接影响到其它数学知识的学习。
【参考文献】
[1] 皮亚杰. 发生认识论原理[M]. 商务印书馆，1996.
[2] 张奠宙. 数学教育研究导引[M]. 江苏教育出版社，1998.
（作者单位：江苏省兴化市楚水实验学校）
作为一个活动的理论、建构的理论、发展的理论，皮亚杰认知发展理论深刻地描述了认知发生、发展的过程，分析了影响认知发展的因素和促进认知发展的动力。它揭示了人类认识世界、发展认知的心理机制，为教育教学研究提供了丰厚的心理学基础。同时，从皮亚杰对认知发生、发展的生动分析中，我们看到，皮亚杰认知发展理论用建构的观点探讨认知的发展，尤其强调活动在认知发展和知识建构中的作用。本文以《三角函数的周期性》教学为例谈谈高中数学概念教学。
一、提供积累，感知概念
从认知出发，人概念是图式存在于人的大脑中，我们通过实例进行激活抽象，使学生获得感知。
在“三角函数的周期性”教学时，可先设计以下方式引入课题：
情境1：从2013年12月份的日历上可以看出，12月9日是周一，再过7天，16日还是周一，再过7天，23日还是周一……
情境2：单位圆上的点转动一圈以后回到了原来的位置。
问题：你能举出数学中某些现象重复出现的例子吗？
学生可以根据前阶段学习的诱导公式的特点，回答出三角函数，三角函数线。
问题：我们以正弦函数为例，怎样解释这种周而复始的现象呢？
学生1：sin30°=sin150°。这个回答是笔者没有预想到的。
课堂上，学生的深思顿悟、灵机一动，节外生枝和思维的遇阻、疏忽大意等等，都可能催生出一个个鲜活的教学资源，为创设智慧、高效课堂带来可能。为学生的学习创设了预知不得，欲罢不忍的学习情境，激发了学生的探究积极性，课堂气氛又活跃了起来。
学生2：当角α的终边转动2π，就会重合，三角函数值也相等。
这是学生从形的角度刻画了三角函数的“周而复始”的现象，笔者继续追问：把你这句话用表达式写出来是什么样的呢？
学生2：sin（x+2π）=sinx。
这样我们就很自然的联想到之前学习的三角函数的诱导公式，让学生很轻松愉悦地接受了正弦函数的周期现象，也为接下来推导余弦函数和正切函数的周期作铺垫。
二、同化顺应，概括概念
在数学概念教学中，我们通过比较分析、抽象概括等同化顺应活动，让学生获得对数学概念的认同。
如：“三角函数周期性”概念教学中，如果某函数f（x）每间隔2个单位，函数值重复再现，如何用符号语言表示？引导学生得出f（x+2）=f（x）。
追问：如果某函数f（x）每间隔7个单位，函数值重复再现，如何表示？
引导学生得出f（x+7）=f（x）。
教师通过前面特殊情况的分析，逐渐引导学生感受“周而复始”的特征，从而慢慢引入数学概念。
三、提供变式，抽象本质
随着学生对概念的不断积累，我们将概念进行不断深化，抽象出精确的形式。在“三角函数的周期性”教学时：是不是只有三角函数才有周期性？我们是否可以给一般的周期性函数下一个定义呢？
该问题的设置意图，要求学生能从现有的材料中概括出本质特征，并把本质特征用精当的数学语言加以描述。概括是数学概念形成的重要过程，所以教学设计中必须为学生的概括做好铺垫。这个环节是本节课的重点也是难点。教师不能急于求成，要倾听学生的心声，要营造民主、平等、宽容的课堂教学气氛，把握学生的解惑需求，对于学生的回答，要及时加以辨别，作出正确的判断，并因势利导，给学生探究的时间和空间，这样会使后面的教学更深入，更有价值。
定义中关键词有哪些？这些关键词你感觉熟悉吗？之前的学习中哪里遇见过？
设计意图是为了让学生更深入理解定义的内涵，把握判断函数周期性的关键，并联系之前学过的函数的奇偶性和单调性，更好地理解周期性的定义。这个环节把握的程度可以从接下来课件中判断函数是否为周期函数反映出来。
思考：y=3是周期函数吗？
学生的反映并没有预想的好，问题出在了哪里？是概念理解不清，还是符号不能准确转换？笔者课后作了学生调查，结果显示，学生不能把y=3和f（x）=3联系起来，更找不出f（x+T）=f（x）中的T的值，感觉不存在。该问题的设计意图是想说明不是所有函数都有最小正周期，但是反映出来的是学生对函数概念的不理解。给我们留了思考，函数的概念教学是否到位呢？学生不能真正透彻理解函数的概念，个人觉得这是教学中的失败。但是很多问题不是一两节课能解决的，如果再次讲授这节课，这个环节肯定删除。
四、深化运用，巩固概念
我们只有把数学概念和生活实践联系起来，才能运用发展数学，体现数学的永恒价值，这节概念课配备了如下的例题：
[例1]若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如下图所示。
（1）求该函数的周期；
（2）求t=10s时钟摆的高度。
师组织学生围绕以下问题展开讨论：
问题1：周期函数的图像具有什么特征？
问题2：能否根据周期性找到t=10s时钟摆的高度？
[例2]求函数y=cos2x的周期。
思考：自编一道三角函数题，请同座位思考是否为周期函数？若是周期函数，周期是多少？若不是周期函数，请说明理由。
该问题的设计意图是想让学生能够感受到自己是课堂的主人，是学习活动中自由的“生命体”。但是由于学生的层次比较低，这个环节在具体实施过程中很难推进，不能体现有效性，给的3分钟的时间不能完成布置的任务，笔者表示很遗憾。这个环节的不成功，使得接下来的y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常数，A≠0，ω>0）的周期的概括和推导就不能顺利的进行。当然，课堂教学过程本身就是一个“精心预设”与“动态生成”和谐统一的过程。备课首先应该先备学生，教师应熟悉学生的认知水平和学习的薄弱之处，要换位思考，真正从学生的角度审视问题。针对这个问题，笔者认为，概念的教学是一个值得继续探究的过程，是要贯穿在平时的教学过程中，潜移默化地去发展学生的思维的过程，是一个长远的过程。如果再上一次，我想把这个问题改成例题，直接改为：求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3）
（4）y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常数，A≠0，ω>0）
这样的改动，和原先的问题设置相比，显然教师的主动性高于学生。
总之，概念教学是数学“双基”教学的重要组成部分，学好数学概念是学习数学知识的重要前提，学生对数学概念掌握与理解的程度，直接影响到其它数学知识的学习。
【参考文献】
[1] 皮亚杰. 发生认识论原理[M]. 商务印书馆，1996.
[2] 张奠宙. 数学教育研究导引[M]. 江苏教育出版社，1998.
（作者单位：江苏省兴化市楚水实验学校）
