谈概率中变角度思考的误区

毛浙东
我们在做概率题目时，常常遇到这样的情况：一道题目如果变换角度来思考，得到的答案跟原来截然不同，两种方法看上去都没有错误，使得我们很难取舍.实际上，这是陷入了变角度思考的误区.笔者将这些误区作了归纳，现以具体例子来逐一说明.
一、错用公式
错误运用概率公式是我们出错的重要原因，比如事件A与事件B不互斥，却在用公式P(A+B)=P(A)+P(B)；事件A与事件B不独立，却在用公式P(A·B)=P(A)·P(B)；在不能保证每次试验的概率不变的情况下，却在运用独立重复试验公式计算等等，这些都是陷入了“错用公式”的误区.
例1 甲参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，他能答对其中的6道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道进行测试，至少答对2道才算合格，求此人考试合格的概率.
原解：此人从10道题中选3题来答，有C310种可能，而他要求能考试合格，则有两类可能：一类是从会做的6题中选3题来答，有C36种可能，一类是从会做的6题中选2题，从不会做的4题中选1题来答，有C26C14种可能.故所求概率为P=C36+C26C14C310=23.
变解：因为此人会回答10道中的6道，故其答对题目的概率是610，要求3道之中至少答对2道才算合格，则有两类可能：要么他答对了3道中的2 道，要么他3道都答对了.故所求概率为P=C23×(610)2×(410)+C33×(610)3=81125.
评注：原解是正确的，而变解却是错误的，原因是此解法忽视了独立重复试验要求每次答对题的概率是不变的这个事实.在甲做第一题时，答对的概率的确为610，但答完第一道题后，若他第一题答对，则他答对下一题的概率变小为59，若他第一题答错，则他答对下一题的概率变大为69，故不能保证每次答对的概率不变，所以不能用独立重复试验公式计算.
二、思路混乱
做概率题要求思路清晰，思维严密，尤其要保证前后一致，但对初学者来讲，往往会陷入“思路混乱”的误区.
例2 抛掷三枚硬币，并观察各枚落下后是国徽向上或是麦穗向上，问三枚硬币向上的一面完全相同的概率是多少?
原解：三枚都是麦穗向上的概率是12×12×12=18，三枚都是国徽向上的概率是12×12×12=18，所以三枚硬币向上的一面完全相同的概率是14.
变解：抛起的三枚硬币落下后至少有两枚向上的一面是相同的，而第三枚硬币落下后国徽向上和麦穗向上的概率各占12，由此可知，三枚硬币落下后全部一样的概率是12.
评注：乍一看变解好象也是对的，但实质上“至少两枚”和“第三枚”两者并非并行的两个概念，它们是交错的，事实上“至少两枚”已经把“第三枚”包括在内了，有了前面的“至少两枚相同”的结论，第三枚就不再自由了.因此，变解2错在解题思路混乱，导致重复计算，使概率从正确的14变大为了12.
三、曲解题意
有些时候，我们在审题时不仔细，没有严格按照题目的要求操作，而是凭主观感觉来做题，从而陷入了“曲解题意”的误区.
例3 一棵树如图所示，在树上有两个果子(不妨设为1号果、2号果)，一只猴子随机从底部向上爬，则这只猴子能摘到果子的概率是多少?
原解：猴子爬到第一个分枝时有三种选择，走每个分枝的概率都为13，若猴子沿能采到1号果子的分枝向前爬行，则在第二个分叉时，能采到1号果子的概率是12.所以这只猴子能采到1号果子的概率为13×12=16.同理，猴子采到2号果子的概率也为16，所以猴子采到果子的概率为16+16=13.
变解：猴子爬行的路线有7条，能采到果子的路线有2条，所以概率为27.
评注：变解曲解了题意.事实上，猴子到达每个枝头的概率是不相等的，并
非都是17，因为猴子不是小鸟，不能飞到枝头，它只能老老实实顺着树枝往上爬，所以它必须先面临第一个分岔口的3个选择，它走任意一条路口的概率都是13，然后它如果想到含有两个子分支的枝头，还要面临第二个分岔，选择任意一个分岔的概率都为12，根据乘法原理，我们有13×12=16；而它如果想到含有三个子分支的枝头，也要面临第二个分岔，选择任意一个分岔的概率都为13，根据乘法原理，我们有13×13=19，这个概率要小于它到达含有两个子分支的枝头的概率.当然，如果题目改成小鸟采果子的话，则小鸟飞到任意一个枝头的概率都是17，此时变解就是正确的.
四、未挖隐含
很多概率题目叙述很简短，但里面往往蕴涵了丰富的隐含条件，如果我们没能深刻挖掘，就会陷入“未挖隐含”的误区.
例4 把一条木棒随机地折成三段，求这三段可以构成三角形的概率.
原解：设木棒的长度为a，被折成三段后其中两段的长度分别为x和y，则第三段长度为a-x-y，我们有：0a(1)
如图，建立平面直角坐标系，则所有情形可以用图中的大三角形区域内的点来表示.又因为能构成三角形，则还应符合下列条件：y+(a-x-y)>x
x+(a-x-y)>y
x+y>a-x-yxyx+y>a2 (2)
则所有能构成三角形的情形可以用阴影三角形来表示，故所求概率应该等于图中阴影部分的面积S1和大三角形面积S之比，即P=S1S=12(a2)212a2=14.
变解：设木棒的长度为a，如果最长的一段小于其余两段之和，也就是最长的一段比整个木棒长度的一半还要短，那么所折成的三段就能构成一个三角形，而一根木棒折下一段的长度小于原长的一半的概率是12，所以由一根细棒折成的三段围成三角形的概率是12.
评注：原解深刻地挖掘了题目的所有隐含条件，而变解却没有做到.实际上
，“最长的一段”的长度z的范围不是0