发挥习题功效 优化思维品质

翁龙宇
在数学教学中,习题教学占了一定的比重.习题教学对于深化基础知识,培养解题技巧,开发智能结构,具有十分重要作用.那么,应如何挖掘习题教学的潜力,发挥习题教学的功效,优化学生的思维品质呢?
一、一题多变,深化思维,培养学生思维的灵活性、深刻性
习题教学仅局限于就题论题,形成教学封闭,就难以发展学生的思维能力,教学中可通过对习题的变换延伸,构成一系列新的题目,来深化学生的思维能力.
例1 在椭圆x245+y220=1上求一点,使它与两焦点F1,F2的连线互相垂直.
变换1 在椭圆x245+y220=1上 有一点P,使点P与椭圆两焦点F1,F2的连线互相垂直,求△F1PF2的面积.
变换2 椭圆x245+y220=1上一动点P,F1,F2为椭圆两焦点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标x的取值范围.
变换3 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P,使P与椭圆两焦点F1,F2的连线互相垂直,求此椭圆离心率的取值范围.
∠F1PF2=π2实质是㏄F1?㏄F2=0,如果把㏄F1?㏄F2=0改为㏄F1?㏄F2叩扔谀骋怀J,结论又如何呢?
变换4 F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)两焦点,椭圆上存在一点P,使㏄F1?㏄F2=a22,求此椭圆离心率的取值范围.
习题的变换可以向纵横两个方向发展,除了以上变换,也可以将两焦点换成长轴两端点,或将椭圆改为双曲线,这样由一题发散为若干题,不断深化,既能强化学生对双基的理解,又能活化思路,启迪思维,培养学生运用知识的应变能力.教学中,可精选一些优秀习题进行类似的改变、翻新、拓深,从而达到“以不变应万变”的教学功效.
二、一题多解,活化思维,培养学生思维的发散性、敏捷性
典型习题除了引导学生分析其思维过程外,还应适当引导学生探索一些新的解法,从不同的角度和侧面寻求变异,从隐秘的数学关系中找到问题的实质,探求各种知识的相互联系,探讨多种方法解决问题.只有这样才能拓宽解题思路,开阔视野,才能发挥习题最佳功效.
例2 已知a,b,m∈R+,且aab.
上题除了用分析法和比较法证明外,还可以引导学生采用以下方法进行证明.
(1)放缩法
a+mb+m=a-b+b+mb+m=1-b-ab+m>1-b-ab=ab.
(2)构造斜率公式
由a+mb+m联想到直线斜率公式,于是由0<
a0知点Q(-m,-m)在第三象限且在y=x上(如图),由几何直观易知,总有k㏄Q>k㎡P,即a+mb+m>ab.
(3)构造辅助函数
作函数f(x)=a+xb+x=1-b-ab+x(x≥0),易知f(x)在其定义域上是单调递增函数,则当m>0时,有f(m)>f(0),即a+mb+m>ab.
(4)解不等式法
由a,b∈R+,aab(b-a)xb(b+x)>0趚(x+b)>0,其解集为(-∞,-b)∪(0,+∞)絉+,而m∈R+,所以原不等式成立.
象这样,通过一题多解,带出证明不等式的许多通法,对于学生牢固地掌握知识、方法和技能有不可低估的重要意义.因此,在教学中,应注意精选题目,加强多解训练,注重引导学生进行解题后再思考,诱导学生从多角度、全方位去认识问题,解决问题,从而达到培养思维的敏捷性.
三、巧置迷惑,反思错误,培养学生思维的严密性、逻辑性
数学习题,形式多样,千变万化,因此,习题教学中教师有意识地设置一些陷阱或适时地给出一些错误解答,引导学生进行讨论、辨析,通过反思错误,逐步完善思维的严密性.
例3 已知α,β为锐角,玞osα=17,玸in(α+β)=5314,求玞osβ.
学生的典型解法:由α,β为锐角,知0<α+β<π,∴玞os(α+β)=±1114.又玞osβ=玞os[(α+β)-α]=玞os(α+β)玞osα+玸in(α+β)玸inα=7198或玞osβ=12.
上述解法粗看无错误,然而,解后反思发现未能就题设条件进一步缩小α+β的范围造成错解.我们可以作如下进一步分析:
∵玸in(α+β)=5314<32,且0<α+β<π,∴0<α+β<π3或2π3<α+β<π.又玞osα=17<12,得π3<α<π2,从而有2π3<α+β<π,于是玞os(α+β)=-1114,故玞osβ=12.
四、创设情境,设疑激思,培养学生思维的探索性、创造性
习题教学中很多内容,单凭教师干巴巴地讲解和叙述,学生既感到枯燥乏味,又难以理解掌握.如果将这些习题稍作改变,创设一些问题情境,则学生兴趣倍增,教学效果也会大大提高.
例4 有一个正四面体与一个正四棱锥,它们的棱长均相等,设正四面体体积为V,求正四棱锥的体积.
分析:本题常规解法是先由V求出棱长,再由棱长求出正四棱锥的体积,如此求解过程冗繁且易出错.若将两个几何体“组装”成一个整体(斜三棱柱)如图,然后根据“棱锥体积为同底同高的棱柱体积的13”立知所求体积为2V.
例5 关于x的不等式x2玪og24(a+1)a+2x玪og22aa+1+玪og2(a+1)24a2>0恒成立 ,求a的取值范围.
分析:若从x的“一元二次不等式”入手,结合“△<0”列出不等式组进行求解,其过程尚欠简洁流畅.若另辟蹊径:从“对数不等式”入手,则解法步骤清晰自然,干净利落.
略解:原不等式化为:玪og2{[4(a+1)a]﹛2?(2aa+1)2x?[(a+1)24a2]}>0,即(a+12a)﹛2-2x+2?8﹛2>1,因为8﹛2≥1,且x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,要使原不等式对x∈R恒成立,所以a+12a>1,进而求得0创设问题情境的目的在于为学生创造良好的思维环境,激发学生主动思维的“参与意识”.培养学生独立思考,锐意创新的探索能力.习题教学创设情境的素材很多:或巧设“机关”,指点迷津;反思变通,标新立异等,让学生的思维活动在解决问题的氛围中,不断深入,不断探究,不断升华.
总之,优化学生思维品质的各种方法与途径不是孤立的,而是紧密联系的,相辅相成的.学生思维品质的提高与发展也非一蹴而就之事,它需要从教学实际出发,有计划、有步骤,由浅入深,循序渐进地进行培养和训练,并注重与知识传授、技能训练密切联系,有机结合.只有这样,学生思维品质才能不断地完善和提高.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”



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