发挥习题功效 优化思维品质
翁龙宇
在数学教学中，习题教学占了一定的比重.习题教学对于深化基础知识，培养解题技巧，开发智能结构，具有十分重要作用.那么，应如何挖掘习题教学的潜力，发挥习题教学的功效，优化学生的思维品质呢?
一、一题多变，深化思维，培养学生思维的灵活性、深刻性
习题教学仅局限于就题论题，形成教学封闭，就难以发展学生的思维能力，教学中可通过对习题的变换延伸，构成一系列新的题目，来深化学生的思维能力.
例1 在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两焦点F1，F2的连线互相垂直.
变换1 在椭圆x245+y220=1上 有一点P，使点P与椭圆两焦点F1，F2的连线互相垂直，求△F1PF2的面积.
变换2 椭圆x245+y220=1上一动点P，F1，F2为椭圆两焦点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标x的取值范围.
变换3 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使P与椭圆两焦点F1，F2的连线互相垂直，求此椭圆离心率的取值范围.
∠F1PF2=π2实质是㏄F1?㏄F2=0，如果把㏄F1?㏄F2=0改为㏄F1?㏄F2叩扔谀骋怀Ｊ，结论又如何呢?
变换4 F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)两焦点，椭圆上存在一点P，使㏄F1?㏄F2=a22，求此椭圆离心率的取值范围.
习题的变换可以向纵横两个方向发展，除了以上变换，也可以将两焦点换成长轴两端点，或将椭圆改为双曲线，这样由一题发散为若干题，不断深化，既能强化学生对双基的理解，又能活化思路，启迪思维，培养学生运用知识的应变能力.教学中，可精选一些优秀习题进行类似的改变、翻新、拓深，从而达到“以不变应万变”的教学功效.
二、一题多解，活化思维，培养学生思维的发散性、敏捷性
典型习题除了引导学生分析其思维过程外，还应适当引导学生探索一些新的解法，从不同的角度和侧面寻求变异，从隐秘的数学关系中找到问题的实质，探求各种知识的相互联系，探讨多种方法解决问题.只有这样才能拓宽解题思路，开阔视野，才能发挥习题最佳功效.
例2 已知a,b,m∈R+，且aab.
上题除了用分析法和比较法证明外，还可以引导学生采用以下方法进行证明.
(1)放缩法
a+mb+m=a-b+b+mb+m=1-b-ab+m>1-b-ab=ab.
(2)构造斜率公式
由a+mb+m联想到直线斜率公式，于是由0<
a0知点Q(-m,-m)在第三象限且在y=x上(如图)，由几何直观易知，总有k㏄Q>k㎡P，即a+mb+m>ab.
(3)构造辅助函数
作函数f(x)=a+xb+x=1-b-ab+x(x≥0)，易知f(x)在其定义域上是单调递增函数，则当m>0时，有f(m)>f(0)，即a+mb+m>ab.
(4)解不等式法
由a,b∈R+,aab(b-a)xb(b+x)>0趚(x+b)>0,其解集为(-∞,-b)∪(0,+∞)絉+，而m∈R+，所以原不等式成立.
象这样，通过一题多解，带出证明不等式的许多通法，对于学生牢固地掌握知识、方法和技能有不可低估的重要意义.因此，在教学中，应注意精选题目，加强多解训练，注重引导学生进行解题后再思考，诱导学生从多角度、全方位去认识问题，解决问题，从而达到培养思维的敏捷性.
三、巧置迷惑，反思错误，培养学生思维的严密性、逻辑性
数学习题，形式多样，千变万化，因此，习题教学中教师有意识地设置一些陷阱或适时地给出一些错误解答，引导学生进行讨论、辨析，通过反思错误，逐步完善思维的严密性.
例3 已知α,β为锐角，玞osα=17,玸in(α+β)=5314，求玞osβ.
学生的典型解法：由α，β为锐角，知0<α+β<π，∴玞os(α+β)=±1114.又玞osβ=玞os［(α+β)-α］=玞os(α+β)玞osα+玸in(α+β)玸inα=7198或玞osβ=12.
上述解法粗看无错误，然而，解后反思发现未能就题设条件进一步缩小α+β的范围造成错解.我们可以作如下进一步分析：
∵玸in(α+β)=5314<32，且0<α+β<π，∴0<α+β<π3或2π3<α+β<π.又玞osα=17<12,得π3<α<π2，从而有2π3<α+β<π，于是玞os(α+β)=-1114，故玞osβ=12.
四、创设情境，设疑激思，培养学生思维的探索性、创造性
习题教学中很多内容，单凭教师干巴巴地讲解和叙述，学生既感到枯燥乏味，又难以理解掌握.如果将这些习题稍作改变，创设一些问题情境，则学生兴趣倍增，教学效果也会大大提高.
例4 有一个正四面体与一个正四棱锥，它们的棱长均相等，设正四面体体积为V，求正四棱锥的体积.
分析：本题常规解法是先由V求出棱长，再由棱长求出正四棱锥的体积，如此求解过程冗繁且易出错.若将两个几何体“组装”成一个整体(斜三棱柱)如图，然后根据“棱锥体积为同底同高的棱柱体积的13”立知所求体积为2V.
例5 关于x的不等式x2玪og24(a+1)a+2x玪og22aa+1+玪og2(a+1)24a2>0恒成立 ，求a的取值范围.
分析：若从x的“一元二次不等式”入手，结合“△<0”列出不等式组进行求解，其过程尚欠简洁流畅.若另辟蹊径：从“对数不等式”入手，则解法步骤清晰自然，干净利落.
略解：原不等式化为：玪og2{［4(a+1)a］﹛2?(2aa+1)2x?［(a+1)24a2］}>0,即(a+12a)﹛2-2x+2?8﹛2>1，因为8﹛2≥1，且x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，要使原不等式对x∈R恒成立，所以a+12a>1，进而求得0创设问题情境的目的在于为学生创造良好的思维环境，激发学生主动思维的“参与意识”.培养学生独立思考，锐意创新的探索能力.习题教学创设情境的素材很多：或巧设“机关”，指点迷津；反思变通，标新立异等，让学生的思维活动在解决问题的氛围中，不断深入，不断探究，不断升华.
总之，优化学生思维品质的各种方法与途径不是孤立的，而是紧密联系的，相辅相成的.学生思维品质的提高与发展也非一蹴而就之事，它需要从教学实际出发，有计划、有步骤，由浅入深，循序渐进地进行培养和训练，并注重与知识传授、技能训练密切联系，有机结合.只有这样，学生思维品质才能不断地完善和提高.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
在数学教学中，习题教学占了一定的比重.习题教学对于深化基础知识，培养解题技巧，开发智能结构，具有十分重要作用.那么，应如何挖掘习题教学的潜力，发挥习题教学的功效，优化学生的思维品质呢?
一、一题多变，深化思维，培养学生思维的灵活性、深刻性
习题教学仅局限于就题论题，形成教学封闭，就难以发展学生的思维能力，教学中可通过对习题的变换延伸，构成一系列新的题目，来深化学生的思维能力.
例1 在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两焦点F1，F2的连线互相垂直.
变换1 在椭圆x245+y220=1上 有一点P，使点P与椭圆两焦点F1，F2的连线互相垂直，求△F1PF2的面积.
变换2 椭圆x245+y220=1上一动点P，F1，F2为椭圆两焦点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标x的取值范围.
变换3 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使P与椭圆两焦点F1，F2的连线互相垂直，求此椭圆离心率的取值范围.
∠F1PF2=π2实质是㏄F1?㏄F2=0，如果把㏄F1?㏄F2=0改为㏄F1?㏄F2叩扔谀骋怀Ｊ，结论又如何呢?
变换4 F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)两焦点，椭圆上存在一点P，使㏄F1?㏄F2=a22，求此椭圆离心率的取值范围.
习题的变换可以向纵横两个方向发展，除了以上变换，也可以将两焦点换成长轴两端点，或将椭圆改为双曲线，这样由一题发散为若干题，不断深化，既能强化学生对双基的理解，又能活化思路，启迪思维，培养学生运用知识的应变能力.教学中，可精选一些优秀习题进行类似的改变、翻新、拓深，从而达到“以不变应万变”的教学功效.
二、一题多解，活化思维，培养学生思维的发散性、敏捷性
典型习题除了引导学生分析其思维过程外，还应适当引导学生探索一些新的解法，从不同的角度和侧面寻求变异，从隐秘的数学关系中找到问题的实质，探求各种知识的相互联系，探讨多种方法解决问题.只有这样才能拓宽解题思路，开阔视野，才能发挥习题最佳功效.
例2 已知a,b,m∈R+，且a
上题除了用分析法和比较法证明外，还可以引导学生采用以下方法进行证明.
(1)放缩法
a+mb+m=a-b+b+mb+m=1-b-ab+m>1-b-ab=ab.
(2)构造斜率公式
由a+mb+m联想到直线斜率公式，于是由0<
a
(3)构造辅助函数
作函数f(x)=a+xb+x=1-b-ab+x(x≥0)，易知f(x)在其定义域上是单调递增函数，则当m>0时，有f(m)>f(0)，即a+mb+m>ab.
(4)解不等式法
由a,b∈R+,a
象这样，通过一题多解，带出证明不等式的许多通法，对于学生牢固地掌握知识、方法和技能有不可低估的重要意义.因此，在教学中，应注意精选题目，加强多解训练，注重引导学生进行解题后再思考，诱导学生从多角度、全方位去认识问题，解决问题，从而达到培养思维的敏捷性.
三、巧置迷惑，反思错误，培养学生思维的严密性、逻辑性
数学习题，形式多样，千变万化，因此，习题教学中教师有意识地设置一些陷阱或适时地给出一些错误解答，引导学生进行讨论、辨析，通过反思错误，逐步完善思维的严密性.
例3 已知α,β为锐角，玞osα=17,玸in(α+β)=5314，求玞osβ.
学生的典型解法：由α，β为锐角，知0<α+β<π，∴玞os(α+β)=±1114.又玞osβ=玞os［(α+β)-α］=玞os(α+β)玞osα+玸in(α+β)玸inα=7198或玞osβ=12.
上述解法粗看无错误，然而，解后反思发现未能就题设条件进一步缩小α+β的范围造成错解.我们可以作如下进一步分析：
∵玸in(α+β)=5314<32，且0<α+β<π，∴0<α+β<π3或2π3<α+β<π.又玞osα=17<12,得π3<α<π2，从而有2π3<α+β<π，于是玞os(α+β)=-1114，故玞osβ=12.
四、创设情境，设疑激思，培养学生思维的探索性、创造性
习题教学中很多内容，单凭教师干巴巴地讲解和叙述，学生既感到枯燥乏味，又难以理解掌握.如果将这些习题稍作改变，创设一些问题情境，则学生兴趣倍增，教学效果也会大大提高.
例4 有一个正四面体与一个正四棱锥，它们的棱长均相等，设正四面体体积为V，求正四棱锥的体积.
分析：本题常规解法是先由V求出棱长，再由棱长求出正四棱锥的体积，如此求解过程冗繁且易出错.若将两个几何体“组装”成一个整体(斜三棱柱)如图，然后根据“棱锥体积为同底同高的棱柱体积的13”立知所求体积为2V.
例5 关于x的不等式x2玪og24(a+1)a+2x玪og22aa+1+玪og2(a+1)24a2>0恒成立 ，求a的取值范围.
分析：若从x的“一元二次不等式”入手，结合“△<0”列出不等式组进行求解，其过程尚欠简洁流畅.若另辟蹊径：从“对数不等式”入手，则解法步骤清晰自然，干净利落.
略解：原不等式化为：玪og2{［4(a+1)a］﹛2?(2aa+1)2x?［(a+1)24a2］}>0,即(a+12a)﹛2-2x+2?8﹛2>1，因为8﹛2≥1，且x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，要使原不等式对x∈R恒成立，所以a+12a>1，进而求得0创设问题情境的目的在于为学生创造良好的思维环境，激发学生主动思维的“参与意识”.培养学生独立思考，锐意创新的探索能力.习题教学创设情境的素材很多：或巧设“机关”，指点迷津；反思变通，标新立异等，让学生的思维活动在解决问题的氛围中，不断深入，不断探究，不断升华.
总之，优化学生思维品质的各种方法与途径不是孤立的，而是紧密联系的，相辅相成的.学生思维品质的提高与发展也非一蹴而就之事，它需要从教学实际出发，有计划、有步骤，由浅入深，循序渐进地进行培养和训练，并注重与知识传授、技能训练密切联系，有机结合.只有这样，学生思维品质才能不断地完善和提高.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
