浅谈高考解析几何中的最值问题

    刘汉军　杜洽锋

    高考解析幾何中的最值问题，以直线或圆锥曲线为背景，综合函数、不等式、三角等知识，所涉及的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，因而这类最值问题已成为历年高考数学中的热点和难点.考生在解答该类问题时，常常表现为无从下手，或者半途而废.笔者认为解决这类问题的关键在于：通观全局，设量建模，选法求最.下面，我通过具体例题把这类问题常用的解法简要梳理，供大家参考，批评指正.

    一、利用定义法求最值

    【例1】（2009四川）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）

    解析：答案，根据抛物线的定义，将点到直线的距离转化为的距离，问题即转化为点到直线的距离，求得值为2.

    【点评】在解决解析几何相关最值问题的选择或填空题时，要紧扣圆锥曲线的定义，利用转化思想快速求解.

    二、利用函数与导数法求最值

    在解析几何最值问题中，我们常常根据题意设置适当的变量，构造所求问题的函数模型，并利用函数的性质或导数来解决最值问题.

    【例2】（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称。（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值（为坐标原点）.

    解析：（1）由题意知：，可设直线的方程为

    所以当时，由最大值，即面积的最大值为.

    【点评】本题主要考查了解析几何中的对称问题、直线与椭圆的位置关系以及函数的最值问题。根据对称性设出直线的方程，再与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，这是高考中解析几何解答题的常规解题套路.求面积最大值时，引入变量，简化计算，得到面积关于的表达式，将此问题转化为函数的最值问题.

    【例3】（2014浙江）已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，点为的中点，.

    （1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.

    【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的性质，综合性较强，涉及到函数与方程、数形结合、化归于转化等数学思想.将面积的表达式得出后，转化为函数求最值问题，根据函数的特征恰当选用导数的方法求解最值，也体现了用代数的方法解决解析几何问题的思想.

    三、利用基本不等式法求最值

    【例4】（2014四川）已知椭圆：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点.①证明：平分线段（为坐标原点）；②当最小时，求点的坐标.

    解析：（1）（过程略） （2）①（证明过程略）

    所以当最小时，点的坐标是（-3，1）或（-3，-1）.

    【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及的知识点较多，综合性比较强。通过引入变量，设出点的坐标，利用距离公式和弦长公式分别表示出，进而得到关于的表达式，结合式子特征，简单变形，利用基本不等式轻松求解.

    四、利用三角代换法求最值

    【例5】（2008江苏）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值.

    解析：由题可设点坐标为，其中.

    因此

    所以当时，取最大值2.

    【点评】在解析几何中，尤其是涉及有关圆或椭圆的最值问题，可根据圆或椭圆的参数方程，利用三角代换的方法解决相关最值问题，这类问题还可以根据目标函数的几何意义，利用数学结合的思想求解.