抛物线焦点弦的一组性质在高考中的应用

    杨仑元

    过抛物线焦点的直线被抛物线所截的线段叫抛物线的焦点弦.与此相关的问题在教科书人教A版选修2-1中较多，高考中也经常考查，经归纳总结得：

    性质 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，O为坐标原点，过点A作直线垂直于准线L于点A1，过点B作直线垂直于准线L于点B1，易证得如下结论：

    （一）四个定值

    1.x1·x2=；

    2.y1·y2=-p2；

    3.kOA·kOB=-4；

    4.；

    （二）两个公式（弦长、面积公式）

    5.焦点弦公式：|AB|=x1+x2+p；（教科书人教A版选修2-1P69例4）

    设直线AB的倾斜角为α，则

    通径：当AB垂直于x轴时，|AB|=2p；

    6.焦点三角形面积公式：设直线AB的倾斜角为α，则

    （三）三个圆

    7.以焦点弦AB为直径的圆与准线L相切于线段A1B1的中点M；（如图1）

    8.以线段A1B1为直径的圆与直线AB相切于焦点F；（如图2）

    9.以焦半径FA为直径的圆与Y轴相切于线段OC的中点D；（如图3）

    （四）其它性质

    10.设直线OA交准线L于点H，则BH∥x轴；（教科书人教版选修2-1P70例5）。

    高考中的应用举例：

    1.（2014年高考全国卷Ⅱ，⑩）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）

    A. B. C. D.

    略解：由性质6易得，选D。

    2.（2013年高考全国卷Ⅱ，⑾）设抛物线的焦点为，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）

    （A）或 （B）或

    （C）或 （D）或

    解法1 由题意可知，，

    设圆心为，则，所以圆的方程为

    因为圆过点（0，2），代入圆方程解得，又因为点M在抛物线上，所以，解得p=2或p=8，选C.

    解法2 由题意可知，，

    設圆心为，则，因为圆过点（0，2），所以圆心到其距离与到点相等

    ，解得，又因为点M在抛物线上，所以，解得p=2或p=8。

    解法3 根据选项，设曲线方程为y2=4x，由题意可知，，，把M点代入曲线方程有，所以，设圆心为，则，因为圆过点（0，2），所以圆心到其距离与到点相等满足题意，所以y2=4x成立，同理可证y2=16x成立

    3.（1995年全国高考⒆题）直线L过抛物线y2=a（x+1）（a>0）的焦点，并且与x轴垂直，若L被抛物线截得的线段长为4，则a=——————；

    略解：由性质4知 a=4.

    4.（2000年全国高考⑾题）过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）

    A.2a B. C.4a D.

    略解：由性质5知，选C.

    5.（2001年全国高考⒆题）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.（同教科书人教版选修2-1P70例5）

    注：本题是性质10的逆命题.