中职数学课堂中的变元初探

    楼莺

    

    [摘 要] 数学是思维的体操，数学学习除了学习数学知识之外，更重要的是数学思想的渗透和方法的灵活应用。通过实例剖析数学课堂中对变元的观察和思考，转化和处理，化繁为简，化难为易，使复杂的数量关系易于表达，使看似无从着手的问题迎刃而解。

    [关 键 词] 中职数学；变元；换元；转化

    [中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）07-0090-01

    在解决数学问题的过程中，根据所需求解数学问题的特征，把某个变量或含有变量的式子看成一个整体，并用另一个变量去代替它，从而简化所遇问题的方法称为换元法。换元的实质就是转化，理论依据是等量代换，通过变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化。很多数学问题由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，所以就要引进新的变量，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

    一、换元

    （一）整体换元：以“元”换“式”

    设辅助元解决问题是一种重要且较为常见的数学思想方法。引入一个或几个新的变量来代替原来的那些变量或代数式，替换后的方程或代数式通常可以置于熟悉的数学认知环境中，只需求解后再返回去求原变量的值或等价的代数式即可。

    例1.求函数y=1-sinα（sinα+5）的最大值。

    此题单纯通过正弦函数的单调性来求解显然是不合适的，于是令sinα=x（-1≤x≤1），通过换元把三角函数问题转化为了二次函数求闭区间上最值的问题。

    由这两个例子可见通过换元，把带有变量的式子看作一个整体，转化为另一个变元。把未知的问题转化为我们所熟悉的问题，从而水到渠成地解决了问题。

    （二）三角换元，以“式”换“元”

    一个简单的变元转化为一个三角函数，看似化简为繁，其实三角函数因其拥有原来的变元所没有的天然的取值范围，再者可以借助同角三角函数的关系去掉根号，故可以使整个解题过程简洁明了。所以三角换元的方法用得恰当，可以使问题变得直观和简单。

    例2.求函数y=■的值域。

    求函数y=■的值域时，通常先观察定义域，发现x∈[-1，1]，由此联系到sinα∈[-1，1]，则设x=sinα，看似把简单问题复杂化了，其实却实现了从无理式到有理式的转化，把问题就转变成了求三角函数值域的问题。用换元法的时候要遵循简化计算的原则，换元之后要注意新变量取值范围的选取，要使新老变量的取值范围既不扩大也不缩小。

    二、减元

    这里所谓的减元不仅是指减少变元的个数，还包括降低变元的次数以及减少变元出现的频率等，由于减元策略的应用融汇于多种数学方法与数学知识之中，掌握了它就能提高解决数学问题的能力。

    例3.求函数y=sinα+cosα+sinαcosα的最小值。

    此题令sinα+cosα=t，从而借助sinα与cosα的和与积的内在联系，把变量减少为一个，这样又把三角函数问题转化成了求二次函数闭区间上的最值问题。

    由以上这个例题可见，如果掌握了减元的解题策略，就为数学中很多问题的解决找到了突破口。

    三、虚元

    顾名思义，虚元是原本不存在的变元。看似化简为繁，增加了一个或若干个原本不存在的变元，其实却有利于运算的流畅进行，整个思考过程都收到了事半功倍的效果。

    例4.已知tanα=2，求sinαcosα+cos2α

    此题把1当作了sin2α+cos2α，使整个分式成为齐次式，再令分子分母同除以cos2α，即可使问题得到簡化，如果按照同角三角函数的关系式求值，不但要分类讨论还会产生增根。

    由以上例子可知，通过观察和分析，找到那个隐含在题目中的虚元，可以令问题大大简化。

    四、主元

    所谓主元思想，是指在含有两个或两个以上变元的问题的解决过程中，选择其中一个变元作为主要的研究对象，视为主元，而将其余各字母视作参数或常量，再揭示其中的内在关系来指导解题的一种思想方法。

    例5.求不等式：■>2对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围。

    此题选择x作为主元能令问题大大简化。这一思想方法运用的核心就是选择主元、确定主元。在这种多变量问题的解题中一旦选对了主元，就相当于找到了问题的突破口。

    本文的前4例在换元前后变元个数不变，例5把两个单调性不一致的变元减少为一个，除例3外，它们都是非常典型的换元法。后5例从不同角度理解和转化变元，灵活的、因题制宜的数学思想方法收到了很好的简化原题的效果。

    数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上抽象和概括的考查。采用类比、联想等方法探索并归纳数学学习过程中对变元的处理，使思考者更富创造性和想象力，且有利于激发学生的学习积极性，有利于培养学生的数学思维能力，并能提高学生求解综合问题的能力。这对学生站在一个新的高度系统地学习数学、应用数学起着事半功倍的作用。

    参考文献：

    [1]王仲春，李元中.数学思维与数学方法论[M].高等教育出版社，1989.

    [2]粱法驯.数学解题方法[M].华中理工大学出版社，1995.