运动学典型例题赏析
徐锡扬
例1 下列各种情况，可以把研究对象看作质点的是
（）
A.研究翻倒过程的小木块
B.讨论公转的地球
C.解释布朗运动的微粒
D.计算通过某一路标时间的列车
错解一：小木块体积小，远看可视为一点；作布朗运动的微粒体积极小，当然是质点，故选A、C.
错解二：列车做平动，车上各点运动规律相同，可视为质点，故选（D）.
错因分析与解题指导：物理研究中常建立起一些理想化的模型，它是对实际问题的简化，也叫科学抽象.它撇开与当前观察无关的因素和对当前考察影响很小的次要因素，抓住与考察有关的主要因素进行研究、分析、解决问题，质点就是一个理想化的模型.错解一以为质点是指一个很小的点.但在小木块的翻倒过程中，木块各点绕一固定点转动，各点运动情况不同，不可看作质点.至于做布朗运动的微粒，尽管体积极小，仍受到来自各个方向上的液体分子（具有更小体积）的撞击，正是这种撞击作用的不平衡性使之做无规则运动，也不可把布朗运动粒子视为质点.错解二以为火车在铁道上的运动为平动，可视为质点，而本题实际考察的是经过某路标的时间，就不能不考虑它的长度，在这情况中不能视其为质点，
正解：讨论地球的公转时，地球的直径（约1.3×l04km和公转的轨道半径（约1.5×lO8km）相比要小得多，因而地球上各点相对于太阳的运动差别极小，即地球的大小和形状可以忽略不计，可把地球视为质点，故选B.
例2 关于质点的位移和路程的下列说法中正确的是
（）
A.位移是矢量，位移的方向即质点运动的方向
B.路程是标量，即位移的大小
C.质点沿直线向某一方向运动，通过的路程等于位移的大小
D.物体通过的路程不等，位移可能相同
错解：A、B
正解：C、D
错因分析与解题指导：位移是表示物体位置变化的物理量，它是矢量，其方向由质点初位置指向末位置，其大小是连接质点始、末位置线段的长度.路程是指质点所通过的实际轨迹的长度，它只有大小，没有方向，是标量.
例如，如图1，质点原来在A点，经过一段时间沿轨迹ADB运动到B点，有向线段AB表示其位移，而曲线ADB的长度是路程.
不仅在曲线运动中，位移大小不等于路程，即使在直线运动中，位移的大小也不一定等于路程.如图1，物体从初位置A经过C运动到B，质点的位移是有向线段AB，而路程是AC+ CB.
事实上，只有做直线运动的质点始终向着同一个方向运动时，位移的大小才等于路程，位移的方向是由质点的始位置指向末位置的特定方向，通常它不是质点的运动方向.图中质点由始位置4分别沿折线ACB和曲线ADB运动到B点，其位移均为有向线段AB，它同质点沿路径AB的位移是相同的.而质点位于曲线上位置D时的运动方向，以及作折线运动时的运动方向均如图中v所示，其方向与位移均不相同.
例3 一个质点做初速度为零的匀加速运动，试求它在1s、2s、3s、…内的位移s1、s2、s3、…之比和在第1s、第2s、第3s、…内的位移sI、sⅡ、sⅢ、…之比.
常规解法：由初速度为零的匀加速运动的位移公式得：
解法二：利用速度图线很容易找出例题中的位移之比.如图3所示，从t=0开始，在t轴上取相等的时间间隔，并从等分点作平行于速度图线的斜线，把图线下方的面积分成许多相同的小三角形.于是，立即可得：
从t=0起，在t、2t、3t、…内位移之比为
s1：s2：s3…=1：4：9…
在第1个t、第2个t、第3个t、…内位移之比为
sI：sⅡ：sⅢ…=1：3：5：…
例4 A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s；A车在后，车速72km/h，当A和B相距100 m时，A车用恒定的加速度a减速，求加速度a为多大时A车与B车相遇时不相撞.
分析：A车追上B车，相遇而不相撞的条件是A、B两车速度相等，从这个条件出发，作物理图景表述运动过程.
方法一：应用运动学公式求解
方法二：利用平均速度公式
方法三：利用图象求解
作v-t图象，图中画阴影线的面积值表示A车车速由20降到10m/s时，A比B多走的位移，即s1-s2=100m
方法四：选B车为参照物，用相对运动方法解，A相对于B的车速为10 m/s，A以a减速，行驶100m“停下”跟B相遇而不相撞.
方法五：用相对运动和v-t图象综合求解，即只需研究图中画阴影的三角形，三角形的竖直边为相对速度10m/s，由图可看出
例1 下列各种情况，可以把研究对象看作质点的是
（）
A.研究翻倒过程的小木块
B.讨论公转的地球
C.解释布朗运动的微粒
D.计算通过某一路标时间的列车
错解一：小木块体积小，远看可视为一点；作布朗运动的微粒体积极小，当然是质点，故选A、C.
错解二：列车做平动，车上各点运动规律相同，可视为质点，故选（D）.
错因分析与解题指导：物理研究中常建立起一些理想化的模型，它是对实际问题的简化，也叫科学抽象.它撇开与当前观察无关的因素和对当前考察影响很小的次要因素，抓住与考察有关的主要因素进行研究、分析、解决问题，质点就是一个理想化的模型.错解一以为质点是指一个很小的点.但在小木块的翻倒过程中，木块各点绕一固定点转动，各点运动情况不同，不可看作质点.至于做布朗运动的微粒，尽管体积极小，仍受到来自各个方向上的液体分子（具有更小体积）的撞击，正是这种撞击作用的不平衡性使之做无规则运动，也不可把布朗运动粒子视为质点.错解二以为火车在铁道上的运动为平动，可视为质点，而本题实际考察的是经过某路标的时间，就不能不考虑它的长度，在这情况中不能视其为质点，
正解：讨论地球的公转时，地球的直径（约1.3×l04km和公转的轨道半径（约1.5×lO8km）相比要小得多，因而地球上各点相对于太阳的运动差别极小，即地球的大小和形状可以忽略不计，可把地球视为质点，故选B.
例2 关于质点的位移和路程的下列说法中正确的是
（）
A.位移是矢量，位移的方向即质点运动的方向
B.路程是标量，即位移的大小
C.质点沿直线向某一方向运动，通过的路程等于位移的大小
D.物体通过的路程不等，位移可能相同
错解：A、B
正解：C、D
错因分析与解题指导：位移是表示物体位置变化的物理量，它是矢量，其方向由质点初位置指向末位置，其大小是连接质点始、末位置线段的长度.路程是指质点所通过的实际轨迹的长度，它只有大小，没有方向，是标量.
例如，如图1，质点原来在A点，经过一段时间沿轨迹ADB运动到B点，有向线段AB表示其位移，而曲线ADB的长度是路程.
不仅在曲线运动中，位移大小不等于路程，即使在直线运动中，位移的大小也不一定等于路程.如图1，物体从初位置A经过C运动到B，质点的位移是有向线段AB，而路程是AC+ CB.
事实上，只有做直线运动的质点始终向着同一个方向运动时，位移的大小才等于路程，位移的方向是由质点的始位置指向末位置的特定方向，通常它不是质点的运动方向.图中质点由始位置4分别沿折线ACB和曲线ADB运动到B点，其位移均为有向线段AB，它同质点沿路径AB的位移是相同的.而质点位于曲线上位置D时的运动方向，以及作折线运动时的运动方向均如图中v所示，其方向与位移均不相同.
例3 一个质点做初速度为零的匀加速运动，试求它在1s、2s、3s、…内的位移s1、s2、s3、…之比和在第1s、第2s、第3s、…内的位移sI、sⅡ、sⅢ、…之比.
常规解法：由初速度为零的匀加速运动的位移公式得：
解法二：利用速度图线很容易找出例题中的位移之比.如图3所示，从t=0开始，在t轴上取相等的时间间隔，并从等分点作平行于速度图线的斜线，把图线下方的面积分成许多相同的小三角形.于是，立即可得：
从t=0起，在t、2t、3t、…内位移之比为
s1：s2：s3…=1：4：9…
在第1个t、第2个t、第3个t、…内位移之比为
sI：sⅡ：sⅢ…=1：3：5：…
例4 A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s；A车在后，车速72km/h，当A和B相距100 m时，A车用恒定的加速度a减速，求加速度a为多大时A车与B车相遇时不相撞.
分析：A车追上B车，相遇而不相撞的条件是A、B两车速度相等，从这个条件出发，作物理图景表述运动过程.
方法一：应用运动学公式求解
方法二：利用平均速度公式
方法三：利用图象求解
作v-t图象，图中画阴影线的面积值表示A车车速由20降到10m/s时，A比B多走的位移，即s1-s2=100m
方法四：选B车为参照物，用相对运动方法解，A相对于B的车速为10 m/s，A以a减速，行驶100m“停下”跟B相遇而不相撞.
方法五：用相对运动和v-t图象综合求解，即只需研究图中画阴影的三角形，三角形的竖直边为相对速度10m/s，由图可看出
