高等数学中无穷级数的学习困境及对策探析
陈乾+钟仪华+张晴霞
[摘 要] 很多学生学习高等数学中无穷级数章节知识时存在以下困境：概念性质和方法定理多，易混淆、难理解；知识脱节，思维方法不当；学习目的不明，学习积极性不高；知识繁琐、方法欠佳；自主学习不够，内化学习能力不强。对策包括改变教学模式，让学生感知“学有所用、学而不难”，调动学生学习的积极性；改变教学方法，提高学生的自主学习能力；引导学生找规律，化繁为简，降低学习难度 ；引导学生进行章节总结，将知识系统化和条理化。主要剖析了学生学习困境产生的原因，然后以现代教育理论为指导，从“教”与“学”方面，提出了帮助学生摆脱学习困境的策略。
[关键词]无穷级数；幂级数；学习困境；对策；应用
[中图分类号] O13 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）06-0137-04
高等数学是高等院校非数学专业必修的一门重要基础课，而无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的有力工具。[1-2]无穷级数的理论丰富，应用广泛。它是高等数学的最后一章，也是大一学生第二学期临近期末时的学习内容。虽然无穷级数没有太大的计算量，没有太多严密的证明推导，但有很大一部分学生在学习这章时遇到了诸多困难。本文尝试从教师的角度出发，总结学生在本章学习时遇到的疑惑和困难，探索解决这些问题的方法，以期破除学生不知为什么要学、怎样学及怎样用的学习困境，从而帮助学生提高无穷级数的学习质量。
一、无穷级数的学习困境
在多年的教学实践中，我们收集和归纳了学生在学习过程中所遇到的各种问题，常见的问题有以下几种。
（一）概念性质和方法定理多，易混淆、难理解
无穷级数这章包括常数项级数、幂级数和傅里叶级数三部分内容，其中，数项级数是本章的基础，幂级数是重点，傅里叶级数是难点。每部分都涉及大量的概念、性质、方法和定理。这些知识使学生理不清头绪，茫然不知所措。比如，常数项级数的敛散性判断是本章的一个重点和关键点，其中涉及很多类型级数敛散性的判定方法和定理。然而，学生往往将它们混淆，不能正确理解方法和定理，不能恰当地使用判定方法和定理判定级数的敛散性，典型的错误有如下两类。
1. 用正项级数审敛法判断任意项级数的敛散性
（二） 知识脱节，思维方法不当
从多元函数微积分的学习跳跃到无穷级数，学生容易出现知识脱节现象。多元函数的微积分是高等数学的重点，也是难点。部分学生学习无穷级数时，思维还停留在前面知识里；有的学生还处于微积分知识的复习总结过程中；甚至有的学生还在查漏补缺阶段等。然而，新的一章开始了，学生已遗忘本章所需的预备知识——数列极限、泰勒公式、定积分的计算等，而且内容从连续变到离散、从有限变到无限。这些都让相当一部分学生难以适应，从而导致学生学习本章知识时出现困难。
（三）学习目的不明，学习积极性不高
也许是大学数学课堂教学的教学模式不恰当，使学生没有明确为什么要学， 相反的，却常使学生对所学的内容感到枯燥乏味，感觉数学就是一系列的公式推导和逻辑推理，就像是在玩数字游戏，甚至有部分学生发出了这样的疑惑：把数学问题用抽象的符号表达出来并进行相应的符号运算的确美，可是这种“美”究竟有没有实际意义？无穷级数这一章在这方面体现得尤其明显。学生在学习中没有看到级数的价值所在，“学习级数到底有什么用”的疑问时常出现。再加上内容繁琐，更增加了学习的难度，直接导致学生对无穷级数部分知识的学习目的不明确，学习积极性不高。
（四） 知识繁琐，方法欠佳
无穷级数包含常数项级数和函数项级数两大部分。前部分是后部分的基础，后部分是前部分的推广。常数项级数又包括其概念和性质，正项级数的审敛法、交错级数和任意项级数的审敛法，它们的关系是从一般——特殊——一般；函数项级数包括幂级数及其性质、函数展成幂级数、傅里叶级数及其性质、函数展成傅里叶级数，它们的研究方法雷同，但它们的研究对象、性质和函数展成函数项级数的条件和方法都有许多不同。很多学生在学习时，没有好的学习方法，不能理清它们之间的关系，在头脑中未形成清楚的知识结构关系，结果发出了“无穷级数是高等数学里最难的一章”的感慨，并陷入了以下学习困境：对常数项级数的敛散性判断，常常无从下手；对幂级数和函数，摸头不知尾；对泰勒级数的冗长公式、函数的麦克劳林级数展开式，往往无所适从；对傅里叶级数更是“望而生畏”。
（五）自主学习不够，内化学习能力不强
根据我们的调查情况显示，学生在很大程度上存在着学习盲目、盲从现象，缺乏具体的学习目标和学习规划。一方面，进入大学后，部分学生还没有实现从中学到大学的学习转变，还没有掌握适合大学的、适合自己的学习方法和策略，特别是难以实现学习过程中的自我监控、自我调节和自我评价，从而导致自主学习存在困难。大部分学生仍处于被动学习状态，对自主学习缺乏明确的认识，往往只是为了应付考试，或习惯于跟着教师走。另一方面，临近期末，学生既要学习新课，又要着手进行复习，学习内容比较多，思想上有些懈怠，总体上缺乏对内化学习的积极思考和创新，从而使无穷级数的学习陷入困境。当然，就目前高等教育的情况而言，大学生在一定程度上缺乏自主学习的大环境，学校缺乏对学生有效的自主学习的指导和帮助，在专业教学过程中缺乏自主学习教育的渗透，缺乏培养学生自主学习能力的导思、导疑、导研式教学方法。教师对大学生的考核评价方式单一，难以起到调动学生学习积极性，促使他们内化学习的作用。
二、对策
根据上文分析的学生在学习无穷级数时遇到的疑惑和困境，我们结合大一学生的思维特点，提出以下教学策略，以期培养学生的自主学习能力，提高学生的综合素质。
（一）改变教学模式，让学生感知“学有所用、学而不难”，调动学生学习的积极性
无穷级数是数学中的一个非常重要的内容，它的应用除了体现在近似计算方面外，在方法或性质等其他方面的应用也非常广泛。例如，可以借助幂级数的展开形式，解决一些较为复杂的问题；巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，能够把一个复杂的函数以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，用它解题往往思路清晰、条理清楚。[3]在教学中，教师可按“引入、引例、概念、方法或性质等及其应用示例、启发讨论与拓展、内容小结等”进行教学的设计和组织。通过引入、启发、讨论与拓展，让学生明白所学知识在数学、学生所学专业等的应用，调动他们学习的积极性；通过引例抽象出概念、方法或性质，让学生理解、掌握知识；通过例题讲解，降低学习的难度，增强学生学习的信心，让学生愿意学习。在具体操作上，教师可以依据所讲内容的知识点，适当举例介绍级数的应用，让学生看到它的价值所在。下面从三个方面举例说明级数的应用。
1. 在数学上的应用
幂级数在数学上的应用非常广泛。例如，利用幂级数可以求函数的近似值，求函数的极限，求某些定积分，解微分方程等。关于这些应用，大部分高等数学教材都有所涉及。下面我们选取常见的、大一学生在学习中遇到的、能充分体现幂级数作用的例子，说明幂级数的价值。
（1）求函数的极限
1）利用函数的幂级数展开式求极限
对于某些较复杂的函数求极限问题，可以利用函数的幂级数展开式，使问题得以解决。这种方法很有效，是考研数学题中常见的一种求极限方法。
（2）利用幂级数求解微分方程
有关自然科学和工程技术中大量问题的研究，最后往往都被归结为微分方程的求解问题。借助幂级数的形式，也可以求解部分微分方程。下面以二阶线性微分方程为例加以说明。
能用初等函数的有限形式求解的微分方程只限于某些特殊的类型。因此，这种解的“有限形式”向“无限形式”的转变，可以扩大微分方程的求解范围。[4]
2. 在学生所学工程专业上的应用
大学数学是工科各专业重要的基础课，工科各专业的学习离不开大学数学。无穷级数作为一个数学工具，在工程技术中的应用非常广泛，在机电工程、桥梁工程、地质工程、水利水电工程、石油工程等方面尤其突出，特别是它以求解微分方程的形式被大量应用于上述各专业中。例如，利用三角级数等的推广——分形级数来讨论海洋工程与环境问题的分形级数解；利用无穷级数计算高陡边坡桥梁基桩内力；倾斜荷载作用下单层均质土中基桩内力及位移的幂级数解；幂级数法用于感应透热设备的涡流场计算及电溉设计；利用Fourier级数多尺度方法进行科学与工程计算，等等。
3. 在音乐上的应用
从毕达哥拉斯时代起，音乐在本质上就被认为是数学的，其最高成就属于法国数学家傅里叶。傅里叶证明了所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的声音，无论是复杂的声音还是简单的声音，都可以用数学方式进行全面的描述。他得到了如下一个定理：任何周期性的声音都可以表示为形如简单的正弦函数表达式之和。这是傅里叶级数的一种特殊情况。
傅里叶的工作还有其哲学意义。通过傅里叶定理，人们清楚地意识到，艺术中最抽象的领域——音乐，能够转换成最抽象的科学——数学，最富有感情的艺术和最富有理性的学问有着密切的联系。我们非常喜欢音乐，音乐与数学还有如此紧密的联系。这难道不正是数学的魅力所在吗？
（二）改变教学方法，提高学生的自主学习能力
目前，大多数大学教师采用“注入式”“满堂灌”的教学模式，学生被动接受知识的现象依然大量存在，重知识传授，轻能力培养的状况仍未改变。这显然不利于培养学生的自主学习能力。建构主义理论认为，教师要由知识的传授者、灌输者转变为学生主动建构意义的帮助者、促进者，应当在教学中采取全新的教学模式、教学方法和教学设计思想，彻底摒弃以教师为中心、强调知识传授、把学生当作知识灌输对象的传统教学模式。[5]在这一理论指导下，教师应当在教学过程中积极渗透自主学习的意义，把教学重心放在学生的“学”上，真正实现对学生的引导提升、帮助启迪，与学生进行合作研究、探索交流。因此，在当今知识和信息爆炸的背景下，教师应采用启发式、讲练式、讨论式的教学方法，积极推行探究式、研讨式和因材施教的教学方法，培养学生自主学习、内化学习及进行创新研究的能力；对学生进行自主学习和主动学习方法的指导，培养学生获取新知识的能力。
（三） 引导学生找规律，化繁为简，降低学习难度
1. 抓住本质，化繁为简
数学是一门高度抽象的学科。在学习数学时，定理、定义、性质等繁多内容往往让我们无所适从，但只要我们抓住了本质，就把书读薄了，就能理解、掌握知识，达到融会贯通、游刃有余的目的！
2. 归纳比较，找出异同
归纳、对比是学习知识、获取知识的一种重要方法，也是学习高等数学的一种常用方法。通过归纳，可以把书读薄，化繁为简，掌握本质；通过对比，可以发现知识的共性与特性，从而抓住特点，掌握知识。比如，在常数项级数的敛散性判定中，学生容易混淆正项级数的三种审敛法：比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。它们的共同点是判断的级数只能是正项级数，而且判定定理都是充分不必要条件。它们的区别在于各种方法适用的正项级数的一般项的形式特点不同。
3. 抓住重点，提高效率
大学里需要学习的知识内容很多，学生不可能对每个知识点平均分配时间，没必要“事事”掌握，也不可能“事事”弄明白。如果我们抓住重点，学习就可以达到事半功倍的效果。在此基础上，再去了解、理解其他知识，就容易很多。比如，学生普遍对“函数的幂级数展开式”这一部分内容感到比较棘手。实际上，我们只需要重点掌握ex，sinx， 的幂级数展开式。利用这些已知的展开式，根据幂级数和函数的四则运算性质和分析性质，再结合代数变形等相关技巧，就可以将常见的ax，cosx，ln（1+x），（1+x）α，arctanx等函数间接展开成幂级数，而对于直接展开法，我们只需要理解就行了。
（四）引导学生进行章节总结，将知识系统化和条理化
数项级数的敛散性判断方法有很多， 学生使用时往往容易混淆，不能根据级数的类型、特点采用相应的敛散性判定方法；幂级数的收敛性与数项级数的敛散性有关，其和函数有很好的四则运算性质和分析性质，它们是函数展成幂级数方法的理论基础，学生不能灵活使用幂级数的和函数及函数展成幂级数的方法，通常不知怎么选用相应方法；傅里叶级数的收敛性及函数展成傅里叶级数由于涉及三角函数系的正交性、定积分的计算以及函数类型众多，与函数展成幂级数似乎有类同之处，学生如果不认真对内容进行分析、总结，找出其异同点，就会感到杂乱无章、难以理解。因此，学生只有在学懂的基础上，归纳本章的知识要点，从各知识点的定义、性质、判定定理等进行总结，特别对数项级数敛散性的判断方法、幂级数和傅里叶级数的收敛性的判定、幂级数的和函数的求法、函数展成幂级数及傅里叶级数的方法等进行分析，理清各种方法的条件、结论及它们的关系，对比分析它们的异同点，将知识系统化和条理化，在头脑中形成清楚的知识结构关系图。
三、结束语
本文从具有丰富高等数学教学经验的教师角度出发，首先详细分析了大一新生在一学年快结束时，在学习无穷级数部分知识遇到的种种疑惑和困境，剖析了其产生的原因；然后以现代教育理论和观念为指导，从“教”与“学”方面，提出了帮助学生破除学习困境的策略。本文的分析和提出的策略，可为无穷级数的“教”与“学”提供有益的指导和帮助，也可为其他知识的“教”与“学”提供借鉴和参考。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 郭大立，谢祥俊，涂道兴等.高等数学：下册[M].北京：高等教育出版社，2009：130.
[2] 西北工业大学高等数学教研室.高等数学中的典型问题与解法[M].上海：同济大学出版社，2001：586.
[3] 朱明星.幂级数的应用[J].中国科技信息，2011（10）.
[4] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版，2003：224-228.
[5] 余泓，郭进峰.基于建构理论的大学数学教学[J].青海师专学报（教育科学），2008（5）.
[责任编辑：钟伟芳]
[摘 要] 很多学生学习高等数学中无穷级数章节知识时存在以下困境：概念性质和方法定理多，易混淆、难理解；知识脱节，思维方法不当；学习目的不明，学习积极性不高；知识繁琐、方法欠佳；自主学习不够，内化学习能力不强。对策包括改变教学模式，让学生感知“学有所用、学而不难”，调动学生学习的积极性；改变教学方法，提高学生的自主学习能力；引导学生找规律，化繁为简，降低学习难度 ；引导学生进行章节总结，将知识系统化和条理化。主要剖析了学生学习困境产生的原因，然后以现代教育理论为指导，从“教”与“学”方面，提出了帮助学生摆脱学习困境的策略。
[关键词]无穷级数；幂级数；学习困境；对策；应用
[中图分类号] O13 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）06-0137-04
高等数学是高等院校非数学专业必修的一门重要基础课，而无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的有力工具。[1-2]无穷级数的理论丰富，应用广泛。它是高等数学的最后一章，也是大一学生第二学期临近期末时的学习内容。虽然无穷级数没有太大的计算量，没有太多严密的证明推导，但有很大一部分学生在学习这章时遇到了诸多困难。本文尝试从教师的角度出发，总结学生在本章学习时遇到的疑惑和困难，探索解决这些问题的方法，以期破除学生不知为什么要学、怎样学及怎样用的学习困境，从而帮助学生提高无穷级数的学习质量。
一、无穷级数的学习困境
在多年的教学实践中，我们收集和归纳了学生在学习过程中所遇到的各种问题，常见的问题有以下几种。
（一）概念性质和方法定理多，易混淆、难理解
无穷级数这章包括常数项级数、幂级数和傅里叶级数三部分内容，其中，数项级数是本章的基础，幂级数是重点，傅里叶级数是难点。每部分都涉及大量的概念、性质、方法和定理。这些知识使学生理不清头绪，茫然不知所措。比如，常数项级数的敛散性判断是本章的一个重点和关键点，其中涉及很多类型级数敛散性的判定方法和定理。然而，学生往往将它们混淆，不能正确理解方法和定理，不能恰当地使用判定方法和定理判定级数的敛散性，典型的错误有如下两类。
1. 用正项级数审敛法判断任意项级数的敛散性
（二） 知识脱节，思维方法不当
从多元函数微积分的学习跳跃到无穷级数，学生容易出现知识脱节现象。多元函数的微积分是高等数学的重点，也是难点。部分学生学习无穷级数时，思维还停留在前面知识里；有的学生还处于微积分知识的复习总结过程中；甚至有的学生还在查漏补缺阶段等。然而，新的一章开始了，学生已遗忘本章所需的预备知识——数列极限、泰勒公式、定积分的计算等，而且内容从连续变到离散、从有限变到无限。这些都让相当一部分学生难以适应，从而导致学生学习本章知识时出现困难。
（三）学习目的不明，学习积极性不高
也许是大学数学课堂教学的教学模式不恰当，使学生没有明确为什么要学， 相反的，却常使学生对所学的内容感到枯燥乏味，感觉数学就是一系列的公式推导和逻辑推理，就像是在玩数字游戏，甚至有部分学生发出了这样的疑惑：把数学问题用抽象的符号表达出来并进行相应的符号运算的确美，可是这种“美”究竟有没有实际意义？无穷级数这一章在这方面体现得尤其明显。学生在学习中没有看到级数的价值所在，“学习级数到底有什么用”的疑问时常出现。再加上内容繁琐，更增加了学习的难度，直接导致学生对无穷级数部分知识的学习目的不明确，学习积极性不高。
（四） 知识繁琐，方法欠佳
无穷级数包含常数项级数和函数项级数两大部分。前部分是后部分的基础，后部分是前部分的推广。常数项级数又包括其概念和性质，正项级数的审敛法、交错级数和任意项级数的审敛法，它们的关系是从一般——特殊——一般；函数项级数包括幂级数及其性质、函数展成幂级数、傅里叶级数及其性质、函数展成傅里叶级数，它们的研究方法雷同，但它们的研究对象、性质和函数展成函数项级数的条件和方法都有许多不同。很多学生在学习时，没有好的学习方法，不能理清它们之间的关系，在头脑中未形成清楚的知识结构关系，结果发出了“无穷级数是高等数学里最难的一章”的感慨，并陷入了以下学习困境：对常数项级数的敛散性判断，常常无从下手；对幂级数和函数，摸头不知尾；对泰勒级数的冗长公式、函数的麦克劳林级数展开式，往往无所适从；对傅里叶级数更是“望而生畏”。
（五）自主学习不够，内化学习能力不强
根据我们的调查情况显示，学生在很大程度上存在着学习盲目、盲从现象，缺乏具体的学习目标和学习规划。一方面，进入大学后，部分学生还没有实现从中学到大学的学习转变，还没有掌握适合大学的、适合自己的学习方法和策略，特别是难以实现学习过程中的自我监控、自我调节和自我评价，从而导致自主学习存在困难。大部分学生仍处于被动学习状态，对自主学习缺乏明确的认识，往往只是为了应付考试，或习惯于跟着教师走。另一方面，临近期末，学生既要学习新课，又要着手进行复习，学习内容比较多，思想上有些懈怠，总体上缺乏对内化学习的积极思考和创新，从而使无穷级数的学习陷入困境。当然，就目前高等教育的情况而言，大学生在一定程度上缺乏自主学习的大环境，学校缺乏对学生有效的自主学习的指导和帮助，在专业教学过程中缺乏自主学习教育的渗透，缺乏培养学生自主学习能力的导思、导疑、导研式教学方法。教师对大学生的考核评价方式单一，难以起到调动学生学习积极性，促使他们内化学习的作用。
二、对策
根据上文分析的学生在学习无穷级数时遇到的疑惑和困境，我们结合大一学生的思维特点，提出以下教学策略，以期培养学生的自主学习能力，提高学生的综合素质。
（一）改变教学模式，让学生感知“学有所用、学而不难”，调动学生学习的积极性
无穷级数是数学中的一个非常重要的内容，它的应用除了体现在近似计算方面外，在方法或性质等其他方面的应用也非常广泛。例如，可以借助幂级数的展开形式，解决一些较为复杂的问题；巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，能够把一个复杂的函数以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，用它解题往往思路清晰、条理清楚。[3]在教学中，教师可按“引入、引例、概念、方法或性质等及其应用示例、启发讨论与拓展、内容小结等”进行教学的设计和组织。通过引入、启发、讨论与拓展，让学生明白所学知识在数学、学生所学专业等的应用，调动他们学习的积极性；通过引例抽象出概念、方法或性质，让学生理解、掌握知识；通过例题讲解，降低学习的难度，增强学生学习的信心，让学生愿意学习。在具体操作上，教师可以依据所讲内容的知识点，适当举例介绍级数的应用，让学生看到它的价值所在。下面从三个方面举例说明级数的应用。
1. 在数学上的应用
幂级数在数学上的应用非常广泛。例如，利用幂级数可以求函数的近似值，求函数的极限，求某些定积分，解微分方程等。关于这些应用，大部分高等数学教材都有所涉及。下面我们选取常见的、大一学生在学习中遇到的、能充分体现幂级数作用的例子，说明幂级数的价值。
（1）求函数的极限
1）利用函数的幂级数展开式求极限
对于某些较复杂的函数求极限问题，可以利用函数的幂级数展开式，使问题得以解决。这种方法很有效，是考研数学题中常见的一种求极限方法。
（2）利用幂级数求解微分方程
有关自然科学和工程技术中大量问题的研究，最后往往都被归结为微分方程的求解问题。借助幂级数的形式，也可以求解部分微分方程。下面以二阶线性微分方程为例加以说明。
能用初等函数的有限形式求解的微分方程只限于某些特殊的类型。因此，这种解的“有限形式”向“无限形式”的转变，可以扩大微分方程的求解范围。[4]
2. 在学生所学工程专业上的应用
大学数学是工科各专业重要的基础课，工科各专业的学习离不开大学数学。无穷级数作为一个数学工具，在工程技术中的应用非常广泛，在机电工程、桥梁工程、地质工程、水利水电工程、石油工程等方面尤其突出，特别是它以求解微分方程的形式被大量应用于上述各专业中。例如，利用三角级数等的推广——分形级数来讨论海洋工程与环境问题的分形级数解；利用无穷级数计算高陡边坡桥梁基桩内力；倾斜荷载作用下单层均质土中基桩内力及位移的幂级数解；幂级数法用于感应透热设备的涡流场计算及电溉设计；利用Fourier级数多尺度方法进行科学与工程计算，等等。
3. 在音乐上的应用
从毕达哥拉斯时代起，音乐在本质上就被认为是数学的，其最高成就属于法国数学家傅里叶。傅里叶证明了所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的声音，无论是复杂的声音还是简单的声音，都可以用数学方式进行全面的描述。他得到了如下一个定理：任何周期性的声音都可以表示为形如简单的正弦函数表达式之和。这是傅里叶级数的一种特殊情况。
傅里叶的工作还有其哲学意义。通过傅里叶定理，人们清楚地意识到，艺术中最抽象的领域——音乐，能够转换成最抽象的科学——数学，最富有感情的艺术和最富有理性的学问有着密切的联系。我们非常喜欢音乐，音乐与数学还有如此紧密的联系。这难道不正是数学的魅力所在吗？
（二）改变教学方法，提高学生的自主学习能力
目前，大多数大学教师采用“注入式”“满堂灌”的教学模式，学生被动接受知识的现象依然大量存在，重知识传授，轻能力培养的状况仍未改变。这显然不利于培养学生的自主学习能力。建构主义理论认为，教师要由知识的传授者、灌输者转变为学生主动建构意义的帮助者、促进者，应当在教学中采取全新的教学模式、教学方法和教学设计思想，彻底摒弃以教师为中心、强调知识传授、把学生当作知识灌输对象的传统教学模式。[5]在这一理论指导下，教师应当在教学过程中积极渗透自主学习的意义，把教学重心放在学生的“学”上，真正实现对学生的引导提升、帮助启迪，与学生进行合作研究、探索交流。因此，在当今知识和信息爆炸的背景下，教师应采用启发式、讲练式、讨论式的教学方法，积极推行探究式、研讨式和因材施教的教学方法，培养学生自主学习、内化学习及进行创新研究的能力；对学生进行自主学习和主动学习方法的指导，培养学生获取新知识的能力。
（三） 引导学生找规律，化繁为简，降低学习难度
1. 抓住本质，化繁为简
数学是一门高度抽象的学科。在学习数学时，定理、定义、性质等繁多内容往往让我们无所适从，但只要我们抓住了本质，就把书读薄了，就能理解、掌握知识，达到融会贯通、游刃有余的目的！
2. 归纳比较，找出异同
归纳、对比是学习知识、获取知识的一种重要方法，也是学习高等数学的一种常用方法。通过归纳，可以把书读薄，化繁为简，掌握本质；通过对比，可以发现知识的共性与特性，从而抓住特点，掌握知识。比如，在常数项级数的敛散性判定中，学生容易混淆正项级数的三种审敛法：比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。它们的共同点是判断的级数只能是正项级数，而且判定定理都是充分不必要条件。它们的区别在于各种方法适用的正项级数的一般项的形式特点不同。
3. 抓住重点，提高效率
大学里需要学习的知识内容很多，学生不可能对每个知识点平均分配时间，没必要“事事”掌握，也不可能“事事”弄明白。如果我们抓住重点，学习就可以达到事半功倍的效果。在此基础上，再去了解、理解其他知识，就容易很多。比如，学生普遍对“函数的幂级数展开式”这一部分内容感到比较棘手。实际上，我们只需要重点掌握ex，sinx， 的幂级数展开式。利用这些已知的展开式，根据幂级数和函数的四则运算性质和分析性质，再结合代数变形等相关技巧，就可以将常见的ax，cosx，ln（1+x），（1+x）α，arctanx等函数间接展开成幂级数，而对于直接展开法，我们只需要理解就行了。
（四）引导学生进行章节总结，将知识系统化和条理化
数项级数的敛散性判断方法有很多， 学生使用时往往容易混淆，不能根据级数的类型、特点采用相应的敛散性判定方法；幂级数的收敛性与数项级数的敛散性有关，其和函数有很好的四则运算性质和分析性质，它们是函数展成幂级数方法的理论基础，学生不能灵活使用幂级数的和函数及函数展成幂级数的方法，通常不知怎么选用相应方法；傅里叶级数的收敛性及函数展成傅里叶级数由于涉及三角函数系的正交性、定积分的计算以及函数类型众多，与函数展成幂级数似乎有类同之处，学生如果不认真对内容进行分析、总结，找出其异同点，就会感到杂乱无章、难以理解。因此，学生只有在学懂的基础上，归纳本章的知识要点，从各知识点的定义、性质、判定定理等进行总结，特别对数项级数敛散性的判断方法、幂级数和傅里叶级数的收敛性的判定、幂级数的和函数的求法、函数展成幂级数及傅里叶级数的方法等进行分析，理清各种方法的条件、结论及它们的关系，对比分析它们的异同点，将知识系统化和条理化，在头脑中形成清楚的知识结构关系图。
三、结束语
本文从具有丰富高等数学教学经验的教师角度出发，首先详细分析了大一新生在一学年快结束时，在学习无穷级数部分知识遇到的种种疑惑和困境，剖析了其产生的原因；然后以现代教育理论和观念为指导，从“教”与“学”方面，提出了帮助学生破除学习困境的策略。本文的分析和提出的策略，可为无穷级数的“教”与“学”提供有益的指导和帮助，也可为其他知识的“教”与“学”提供借鉴和参考。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 郭大立，谢祥俊，涂道兴等.高等数学：下册[M].北京：高等教育出版社，2009：130.
[2] 西北工业大学高等数学教研室.高等数学中的典型问题与解法[M].上海：同济大学出版社，2001：586.
[3] 朱明星.幂级数的应用[J].中国科技信息，2011（10）.
[4] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版，2003：224-228.
[5] 余泓，郭进峰.基于建构理论的大学数学教学[J].青海师专学报（教育科学），2008（5）.
[责任编辑：钟伟芳]
