例说数学方法在平抛运动求极值的应用

2023.08.24

马建明

摘要：物理问题的极值是高考考察数学能力的常考的一种题型之一，是高考物理数学能力的重要体现。掌握极值方法能提高解题能力、提高解题速度及准确率。常见求极值方法有三角函数法、二次函数极值法、极限法、基本不等式法（均值不等式法）、求导法等。本文就平时物理教学中所涉及的平抛运动应用数学方法求极值的题目进行举例剖析。

关键词：数学方法平抛运动求极值应用

一、二次函数极值法求平抛运动的水平最远距离

例1.如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时。对应的轨道半径为（重力加速度大小为g）。

解：物块由最低点到最高点根据机械能守恒定律及平抛运动規律的水平位移为：，由数学知识可知，当时，x最大且，故选B。

总结：根据动能定理得出物块到达最高点的速度，结合高度求出平抛运动的时间，从而得出水平位移的表达式，结合表达式运用二次函数求极值的方法得出距离最大时对应的轨道半径。

就本题的极值还可以采用求导法求取。对水平位移表达式：，对x求导则有：。

再如：一小物块以速度v 0=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上并由高台上飞出，如图所示，问高台的高度多大时，小物块飞行的水平距离s最大？这个距离是多少？（g取10m/s2）

解：设物体从高台上飞出的速度为v，则由机械能守恒定律可得，联立平抛运动规律的水平位移为：，则当时s最大为5m。

总结：本题由平抛规律及机械能守恒定律得到水平距离表达式，再利用二次函数求极值方法求得s的最大值。

二、基本不等式（均值不等式）求平抛运动动能极值

例2.竖直平面内有一个四分之一圆弧AB，OA为水平半径，现从圆心O处以不同的初速度水平抛出一系列质量相同的小球，这些小球都落到圆弧上，不计空气阻力，小球落到圆弧上时的动能（）

A.越靠近A点越大 B.越靠近B点越大

C.从A到B先减小后增大 D.从A到B先增大后减小

解：设小球落到圆弧上时下落竖直高度为y，水平位移为x，动能为Ek，小球平抛动的初速度为v0，圆弧AB的半径为R。则由平抛运动得：，联立几何关系以及根据动能定理联立得：，当，即时，有最小值，则此时Ek最小，因此小球落到圆弧上时的动能从A到B先减小后增大，故C正确。

本题先应用平抛规律和圆方程以及动能定理推理出动能表达式，再应用基本不等式（均值不等式）求取极值。

再如：探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v沿水平方向跳向另一侧坡面，如图所示以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为，探险队员的质量为m，人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。则：此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

解：设探险队员跳到坡面上时水平位移为x，竖直位移为H，由平抛运动规律、动能定理得以及几何关系（），再联立坡面抛物线方程，得：。令，则，取n=1，即时，动能有最小值为：。

总结：本题先应用平抛规律和抛物线方程以及动能定理推理出动能表达式，再利用换元得到动能表达，最后应用基本不等式（均值不等式）求得极值。

三、求导和均值不等式求电场中类平抛运动的速度极值

例3.如图所示，空间存在水平向右、场强大小为E的匀强电场，在竖直内有一个半径为R的圆、圆心为O，在O点把一个电子竖直向上以不同的初速度抛出，电子质量为m、电荷量为-e，不计重力，求电子经过圆O到达圆周时的最小速度。

解：电子做类平抛运动，由规律可得其运动抛物线轨道方程，代入电场中圆的方程得到电子打到圆上的位置坐标：，应用求根公式解得： <1>负值不符合物理意义，舍去。

对电子从抛出到它达圆周P点，据动能定理： <2> 联立两式得： <3>，令得： <4>，对u求一阶导数并令其为零，则有：，得时，小球在打在P点时有最小速度，代入<3>解出最小速度为：，解得：。

结语

用电子的类平抛规律，导出轨迹方程，在结合圆方程和动能定理进行推理得到速度表达式，再利用数学求导方法和均值不等式求得极值。

总而言之，物理的数学应用能力是评价学生综合能力的一个重要参数，作为教师要注意研究和持续研究，平时要注意收集相关资料进行再研究，注意平时教学中应用的积累以提升自身能力水平，以此更好的帮助学生在数理方法的建模、促进学生的物理应用数学能力。

参考文献

[1]陈长宏.数学方法在平抛运动中的应用[J].中小学实验与装备，2014，24（06）：23-24.

[2]王烁燚.解方程在平抛运动综合题中的应用[J].文理导航（中旬），2017（02）：48.