大学高等数学课程和新课标下高中数学的断层与衔接研究
张艳芳
[摘 要]大学高等数学和高中数学存在断层。学生知识结构的变化、学生生源差异等导致这种断层产生和加深。高中新课标的教学大纲和教材有很大的变化，删除或者弱化了大学数学所必须用到的三角函数等知识，同时加入了属于大学数学知识体系的导数等内容；文理科、不同地区或民族的学生数学基础相差很大。大学高等数学与高中数学的衔接教学需要关注高中教学大纲和高考知识点的变化，认真研究改革高等数学教学大纲和教材，根据学生情况研究不同的教学方案。
[关键词]高中数学；大学数学；断层；衔接
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）05-0108-03
一、引言
早在20世纪80年代，微积分就进入了我国的高中数学课本，到2002年的教学大纲中列为选修内容，并成为全国高考考试内容[1]。教育部在2003年颁发了《普通高中数学课程标准（实验）》（后面简称新课标），并从2004年开始进入新课改实验阶段[2]。新课标的教育方法和理念，课程结构与内容都有所改变。高中数学在内容及知识结构体系上做了较大的修改，有增有减。删除了一部分大学《高等数学》教学中必须用到内容，如极坐标、反三角函数的知识，微积分导数的部分有所增加[3]。我国大学的高等数学教材种类繁多，但都是以传统的高中数学课程做基础编制的。这样造成大学数学与高中数学知识的不连贯，形成一个知识的断层。对断层中知识的补充以及怎样处理高中已经讲过的微积分部分内容，成为大学高等数学教材和教学改革中的一个现实问题。
新课标提出了“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三位一体的课程目标；在学习方式上倡导自主、探究、合作式的学习；在教学方式上倡导探究式、参与式教学，注重信息技术的运用，强调开展课题研究，体现数学的来龙去脉[4]。学生从小学到高中知识采用螺旋式上升的知识体系。与中小学的教学改革相比，大学数学课程理念比较陈旧，与现行的中学大纲缺乏有效的衔接[5]。大学现有的教学改革更关注各专业对数学的需求，几乎没有考虑中学数学改革的影响。事实上，各大学、专业之间差异非常大，不可能像中学一样制定一个统一的教学大纲。即使同一所大学同一个专业学生的数学基础也存在很大的差异。因此，作为大学新生入学的第一门数学课程，如何解决高等数学与新课标下高中数学的断层与衔接问题，值得教育者们关注。通过对经管学院、植物科学学院、园林学院共240余名学生的调查问卷，并研究了现行的人教版高中课本以及高考丛书，分析断层形成的原因，并对大学高等数学与高中数学的衔接教学进行了探讨。
二、大学高等数学与新课标高中数学的断层问题
大学教育和高中教育存在断层。高等数学作为学生由高中进入大学的第一门数学课程，学生学习普遍感觉困难。在高中阶段学生主要进行的是逻辑思维，而高等数学的学习还必须进行辩证思维[6]。例如，极限的思想要求学生的思维需要由静到动，从精确等于到无限接近，从有限到无穷转变。大学知识量迅猛增大，学生由老师安排好的被动学习变为主动思考自己要学什么，怎么学[7]。这一切会使学生感到不适应，使大学教育和中学形成断层。
学生知识结构的变化、学生生源的差异等导致这种断层的产生和加深。新课标的大纲教材有很大的变化，有些大学数学所必须用到的知识在新课标高中数学中被删除或者弱化，同时加入了属于大学数学知识体系的导数等内容；文理科学生在高中阶段对数学的要求不同，授课内容有所差别；由于各地高考试卷不同，高考内容有所差异，导致高中数学授课内容的差别；我国民族众多，地区的发展及文化的差异导致教育发展的不同，学生的入学成绩相差较大，数学基础相差甚远。
（一）新课标高中数学教材的内容
以北京市为例，现行的高中课本实际讲课的内容有：必修1-4，选修2共有4册，选修4共有2册，共有10本教材。其他省市如山西、河北等地，讲授的内容稍微多一点。新课标教材紧跟时代步伐，内容及章节的编排上都与旧大纲教材迥然不同。
1）高中删减的内容
新课程标准进一步降低了过去高中数学内容中多数学生普遍感到难于接受的反函数的较深要求。认为此部分内容高中学生的年龄段难理解，打击了学生的学习积极性。
高中删减的内容对高等数学影响最大的莫过于三角函数部分。六个三角函数只讲了三个，即：sin x. cos x. tan x，反三角函数则只字未提。和差化积、积化和差等重要的三角公式未作要求。选修4-4中虽然有柱坐标、球坐标和常见的曲线方程，例如摆线方程、圆的渐开线方程等高等数学用到的重要内容，但是都属于高中不讲授的内容。排列组合与二项式定理在高等数学的一些证明及计算中经常用到，而文科的同学没有学过这部分内容。极坐标是高等数学积分中用到的重要内容，高中课本上有，但是强化不够，学生理解困难，需要重新讲解。
2）高中增加的内容
高中内容有增有减，增加了计算机编程的基础知识，概率统计初步知识，线性规划建模等较新的内容；微积分中简单的导数计算及其应用；定积分与微积分基本定理。
必修3中的算法初步、选修2中的逻辑用语都是为大学的计算机编程打基础的；必修5的线性规划问题则是为将来用数学解决实际问题——建模作铺垫；必修3中有统计和概率、选修2-3的独立性检验和回归分析属于大学概率统计的内容。选修2-2中有一章讲了大学高等数学中导数及其应用。
（二）学生文理科的差异
大学的部分专业文理兼招，学生思维方式、数学基础差异较大。以所调查的文理兼招的经管学院学生为例：文科同学没有讲必修3中中国古代数学中的算法案例，必修4中三角函数的积化和差与和差化积公式；选修2-2导数的概念引入文科与理科不同，没有要求导数的几何意义和实际应用；理科同学会简单的复合函数求导，文科只学过导数的四则运算；文科完全没有接触积分，而有些省市的理科生则学过定积分与微积分基本定理；选修2-3计数原理——包括排列组合和二项式定理，文科均没有讲。
（三）不同地区、不同类型高中的生源基础不同
不同地区学生所学内容不同。通过调查问卷得知，来自山西、河北、山东等地的学生接触过极限的描述性定义，学过定积分的应用，会计算简单的定积分。其余大部分学生完全没有接触过极限和积分。学生对于导数都比较熟悉，但掌握的程度也有很大区别，例如有的学过简单的隐函数的导数，导数的应用中学过洛必达法则，但有的学生只会计算简单的导数。导数的16个公式高中学过8个，即常数，幂函数，两个三角函数sin x，cos x ，指数函数和对数函数的4个求导公式。
随着国家少数民族政策的完善，越来越多的少数民族学生走出本地区，到发达地区读书。这些学生中有的一直是本民族语言授课，汉语是作为外语学习的，例如：有些新疆、西藏地区的学生在高二才开始学习汉语。由于地区和民族的差异造成学生数学基础不同，高等数学作为入学的第一门数学课程，一部分少数民族学生难以适应，出现学习困难的情况。
三、大学高等数学与高中数学的衔接教学
高等数学作为大学的第一门较难的数学课程，对学生今后的学习相当重要。怎样弥补大学数学与高中数学的断层，需要大学老师仔细研究高中数学教学大纲和高考知识点的变化，改革高等数学教学大纲和教材，根据学生专业、生源的情况研究教学方案。
（一）关注高中数学教学大纲和高考知识点的变化
大学数学老师应当关注高中数学教学大纲的变化，这决定我们学生的数学知识结构，与高等数学课程的讲授密切相关。每年9月迎接学习高等数学课程的新生，他们的数学基础都会不同，知识点都会略有差别。高考是高中老师授课的指挥棒，大学老师也应该深入了解每年高考知识点的变化，才能更好地动态把握每年学生的数学基础。
高中数学教学大纲的变化及生源的复杂性导致了高等数学与高中数学产生断层。怎样处理高中新课标删除的内容和高中讲过的高等数学内容，需要大学教师用心研究。例如：在计算定积分和二重积分时要用到极坐标。但是高考不考极坐标，学生掌握得不好，因而需要补充。可以引导学生自学，再给出公式加以解释；对数公式亦是如此；三角函数、反三角函数需要引起足够的重视，不仅公式内容多，而且贯穿了高等数学始末，必须花课时让学生掌握扎实，补充未学的cot x，sec x，csc x，以及四个反三角函数arcsin x，arccos x，arctan x，arccot x，达到随手画出图像，记熟所有公式。
（二）认真研究改革高等数学教学大纲和教材
新课标中小学教材理念一致，知识从小学开始，采取递进式螺旋上升的原则，为大学数学的学习作了必要的铺垫。例如：我们的高等数学中导数的部分讲解比较轻松。大学要乐观对待这种改革，而不是抱怨学生基础差。对于高中删减的部分要积极应对，在大学教学大纲和教材中应当有所体现。一般大学高等数学的教材会有一节复习初等数学的内容，新课改后，由于高中删减了部分内容，利用1-2次课讲授复习初等数学的内容显然不够。教材中也需要对补充的内容细化，而不是以复习知识点的形式出现。甚至需要做一些习题巩固，学生才能掌握。对于补充初等数学没有讲的部分，根据不同专业的要求给予不同的课时，给学生打下良好的基础。如果学时不够，可以在学生有基础的导数及其应用中适当调整。
（三）根据学生情况研究不同的教学方案
大学之间的差异，专业方向的不同，对高等数学的要求差别很大。因此不同专业的高等数学课时也相差较大。在具体实施教学时，要尽量采取措施减小同专业不同生源的差距，向学生仔细了解生源地区中学的数学教学情况，具体到每一个知识点，从而使高等数学与高中数学有针对性地衔接起来。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 王凤艳.中学微积分课程的教学研究[D].东北师范大学，2012.
[2] 夏庆，龚艳，李永红.大学数学与高中数学教学的衔接研究[J].科技创业月刊，2012，05：122-124.
[3] 高雪芬，周远，张建明.大学与高中数学课程衔接问题再探[J].高等数学研究，2012，05：50-53.
[4] 杨泽恒，付卓如.大学微积分与高中数学的衔接[J].大理学院学报，2014，06：90-94.
[5] 胡洪萍，周光亚.大学数学教学应对基础教育新课程改革的对策探究[J].西安文理学院学报（社会科学版），2014，04：79-82.
[6] 季素月，钱林.大学与中学数学学习衔接问题的研究[J]. 数学教育学报，2000，04：45-49.
[7] 李焱华.“非数学专业”大学数学教学的几点体会[J].山西财经大学学报（高等教育版），2007，S1：151.
[责任编辑：林志恒]
[摘 要]大学高等数学和高中数学存在断层。学生知识结构的变化、学生生源差异等导致这种断层产生和加深。高中新课标的教学大纲和教材有很大的变化，删除或者弱化了大学数学所必须用到的三角函数等知识，同时加入了属于大学数学知识体系的导数等内容；文理科、不同地区或民族的学生数学基础相差很大。大学高等数学与高中数学的衔接教学需要关注高中教学大纲和高考知识点的变化，认真研究改革高等数学教学大纲和教材，根据学生情况研究不同的教学方案。
[关键词]高中数学；大学数学；断层；衔接
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）05-0108-03
一、引言
早在20世纪80年代，微积分就进入了我国的高中数学课本，到2002年的教学大纲中列为选修内容，并成为全国高考考试内容[1]。教育部在2003年颁发了《普通高中数学课程标准（实验）》（后面简称新课标），并从2004年开始进入新课改实验阶段[2]。新课标的教育方法和理念，课程结构与内容都有所改变。高中数学在内容及知识结构体系上做了较大的修改，有增有减。删除了一部分大学《高等数学》教学中必须用到内容，如极坐标、反三角函数的知识，微积分导数的部分有所增加[3]。我国大学的高等数学教材种类繁多，但都是以传统的高中数学课程做基础编制的。这样造成大学数学与高中数学知识的不连贯，形成一个知识的断层。对断层中知识的补充以及怎样处理高中已经讲过的微积分部分内容，成为大学高等数学教材和教学改革中的一个现实问题。
新课标提出了“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三位一体的课程目标；在学习方式上倡导自主、探究、合作式的学习；在教学方式上倡导探究式、参与式教学，注重信息技术的运用，强调开展课题研究，体现数学的来龙去脉[4]。学生从小学到高中知识采用螺旋式上升的知识体系。与中小学的教学改革相比，大学数学课程理念比较陈旧，与现行的中学大纲缺乏有效的衔接[5]。大学现有的教学改革更关注各专业对数学的需求，几乎没有考虑中学数学改革的影响。事实上，各大学、专业之间差异非常大，不可能像中学一样制定一个统一的教学大纲。即使同一所大学同一个专业学生的数学基础也存在很大的差异。因此，作为大学新生入学的第一门数学课程，如何解决高等数学与新课标下高中数学的断层与衔接问题，值得教育者们关注。通过对经管学院、植物科学学院、园林学院共240余名学生的调查问卷，并研究了现行的人教版高中课本以及高考丛书，分析断层形成的原因，并对大学高等数学与高中数学的衔接教学进行了探讨。
二、大学高等数学与新课标高中数学的断层问题
大学教育和高中教育存在断层。高等数学作为学生由高中进入大学的第一门数学课程，学生学习普遍感觉困难。在高中阶段学生主要进行的是逻辑思维，而高等数学的学习还必须进行辩证思维[6]。例如，极限的思想要求学生的思维需要由静到动，从精确等于到无限接近，从有限到无穷转变。大学知识量迅猛增大，学生由老师安排好的被动学习变为主动思考自己要学什么，怎么学[7]。这一切会使学生感到不适应，使大学教育和中学形成断层。
学生知识结构的变化、学生生源的差异等导致这种断层的产生和加深。新课标的大纲教材有很大的变化，有些大学数学所必须用到的知识在新课标高中数学中被删除或者弱化，同时加入了属于大学数学知识体系的导数等内容；文理科学生在高中阶段对数学的要求不同，授课内容有所差别；由于各地高考试卷不同，高考内容有所差异，导致高中数学授课内容的差别；我国民族众多，地区的发展及文化的差异导致教育发展的不同，学生的入学成绩相差较大，数学基础相差甚远。
（一）新课标高中数学教材的内容
以北京市为例，现行的高中课本实际讲课的内容有：必修1-4，选修2共有4册，选修4共有2册，共有10本教材。其他省市如山西、河北等地，讲授的内容稍微多一点。新课标教材紧跟时代步伐，内容及章节的编排上都与旧大纲教材迥然不同。
1）高中删减的内容
新课程标准进一步降低了过去高中数学内容中多数学生普遍感到难于接受的反函数的较深要求。认为此部分内容高中学生的年龄段难理解，打击了学生的学习积极性。
高中删减的内容对高等数学影响最大的莫过于三角函数部分。六个三角函数只讲了三个，即：sin x. cos x. tan x，反三角函数则只字未提。和差化积、积化和差等重要的三角公式未作要求。选修4-4中虽然有柱坐标、球坐标和常见的曲线方程，例如摆线方程、圆的渐开线方程等高等数学用到的重要内容，但是都属于高中不讲授的内容。排列组合与二项式定理在高等数学的一些证明及计算中经常用到，而文科的同学没有学过这部分内容。极坐标是高等数学积分中用到的重要内容，高中课本上有，但是强化不够，学生理解困难，需要重新讲解。
2）高中增加的内容
高中内容有增有减，增加了计算机编程的基础知识，概率统计初步知识，线性规划建模等较新的内容；微积分中简单的导数计算及其应用；定积分与微积分基本定理。
必修3中的算法初步、选修2中的逻辑用语都是为大学的计算机编程打基础的；必修5的线性规划问题则是为将来用数学解决实际问题——建模作铺垫；必修3中有统计和概率、选修2-3的独立性检验和回归分析属于大学概率统计的内容。选修2-2中有一章讲了大学高等数学中导数及其应用。
（二）学生文理科的差异
大学的部分专业文理兼招，学生思维方式、数学基础差异较大。以所调查的文理兼招的经管学院学生为例：文科同学没有讲必修3中中国古代数学中的算法案例，必修4中三角函数的积化和差与和差化积公式；选修2-2导数的概念引入文科与理科不同，没有要求导数的几何意义和实际应用；理科同学会简单的复合函数求导，文科只学过导数的四则运算；文科完全没有接触积分，而有些省市的理科生则学过定积分与微积分基本定理；选修2-3计数原理——包括排列组合和二项式定理，文科均没有讲。
（三）不同地区、不同类型高中的生源基础不同
不同地区学生所学内容不同。通过调查问卷得知，来自山西、河北、山东等地的学生接触过极限的描述性定义，学过定积分的应用，会计算简单的定积分。其余大部分学生完全没有接触过极限和积分。学生对于导数都比较熟悉，但掌握的程度也有很大区别，例如有的学过简单的隐函数的导数，导数的应用中学过洛必达法则，但有的学生只会计算简单的导数。导数的16个公式高中学过8个，即常数，幂函数，两个三角函数sin x，cos x ，指数函数和对数函数的4个求导公式。
随着国家少数民族政策的完善，越来越多的少数民族学生走出本地区，到发达地区读书。这些学生中有的一直是本民族语言授课，汉语是作为外语学习的，例如：有些新疆、西藏地区的学生在高二才开始学习汉语。由于地区和民族的差异造成学生数学基础不同，高等数学作为入学的第一门数学课程，一部分少数民族学生难以适应，出现学习困难的情况。
三、大学高等数学与高中数学的衔接教学
高等数学作为大学的第一门较难的数学课程，对学生今后的学习相当重要。怎样弥补大学数学与高中数学的断层，需要大学老师仔细研究高中数学教学大纲和高考知识点的变化，改革高等数学教学大纲和教材，根据学生专业、生源的情况研究教学方案。
（一）关注高中数学教学大纲和高考知识点的变化
大学数学老师应当关注高中数学教学大纲的变化，这决定我们学生的数学知识结构，与高等数学课程的讲授密切相关。每年9月迎接学习高等数学课程的新生，他们的数学基础都会不同，知识点都会略有差别。高考是高中老师授课的指挥棒，大学老师也应该深入了解每年高考知识点的变化，才能更好地动态把握每年学生的数学基础。
高中数学教学大纲的变化及生源的复杂性导致了高等数学与高中数学产生断层。怎样处理高中新课标删除的内容和高中讲过的高等数学内容，需要大学教师用心研究。例如：在计算定积分和二重积分时要用到极坐标。但是高考不考极坐标，学生掌握得不好，因而需要补充。可以引导学生自学，再给出公式加以解释；对数公式亦是如此；三角函数、反三角函数需要引起足够的重视，不仅公式内容多，而且贯穿了高等数学始末，必须花课时让学生掌握扎实，补充未学的cot x，sec x，csc x，以及四个反三角函数arcsin x，arccos x，arctan x，arccot x，达到随手画出图像，记熟所有公式。
（二）认真研究改革高等数学教学大纲和教材
新课标中小学教材理念一致，知识从小学开始，采取递进式螺旋上升的原则，为大学数学的学习作了必要的铺垫。例如：我们的高等数学中导数的部分讲解比较轻松。大学要乐观对待这种改革，而不是抱怨学生基础差。对于高中删减的部分要积极应对，在大学教学大纲和教材中应当有所体现。一般大学高等数学的教材会有一节复习初等数学的内容，新课改后，由于高中删减了部分内容，利用1-2次课讲授复习初等数学的内容显然不够。教材中也需要对补充的内容细化，而不是以复习知识点的形式出现。甚至需要做一些习题巩固，学生才能掌握。对于补充初等数学没有讲的部分，根据不同专业的要求给予不同的课时，给学生打下良好的基础。如果学时不够，可以在学生有基础的导数及其应用中适当调整。
（三）根据学生情况研究不同的教学方案
大学之间的差异，专业方向的不同，对高等数学的要求差别很大。因此不同专业的高等数学课时也相差较大。在具体实施教学时，要尽量采取措施减小同专业不同生源的差距，向学生仔细了解生源地区中学的数学教学情况，具体到每一个知识点，从而使高等数学与高中数学有针对性地衔接起来。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 王凤艳.中学微积分课程的教学研究[D].东北师范大学，2012.
[2] 夏庆，龚艳，李永红.大学数学与高中数学教学的衔接研究[J].科技创业月刊，2012，05：122-124.
[3] 高雪芬，周远，张建明.大学与高中数学课程衔接问题再探[J].高等数学研究，2012，05：50-53.
[4] 杨泽恒，付卓如.大学微积分与高中数学的衔接[J].大理学院学报，2014，06：90-94.
[5] 胡洪萍，周光亚.大学数学教学应对基础教育新课程改革的对策探究[J].西安文理学院学报（社会科学版），2014，04：79-82.
[6] 季素月，钱林.大学与中学数学学习衔接问题的研究[J]. 数学教育学报，2000，04：45-49.
[7] 李焱华.“非数学专业”大学数学教学的几点体会[J].山西财经大学学报（高等教育版），2007，S1：151.
[责任编辑：林志恒]
