从0.9=1谈起
黄雄
1 问题的缘起
去年10月份，笔者被抽调担任某市中高级教师职称晋级片断教学的评委，同时承接该次片断教学的学科命题任务，当天上午，按照主管部门的要求分别命好初、高中片断教学课题后，还要命制一道学科专业的问答题，供所有参评教师在片断教学结束后回答，考虑到参评教师是该市即将要被聘任中学一级教师或中学高级教师的群体，其中既有高中教师也有初中教师，所以，命制的题目必须既要承载考核高中教师的功能，又不为难初中教师，当然，我们更想籍此从一个侧面检测即将担任中学一级或中学高级的数学教师的学科素养，连同命制片断教学试题的时间在内，命题总时长只有半小时，而且所命题目要适合参评教师进行现场问答，经过一番斟酌，决定以“等式0.9 =1正确吗？请说明理由”为题对参评教师进行考核.
2 问题的解答
当然，本问题还可以使用Dedekind分割及Cauchy序列等数学知识进行说理，于此不再赘述.
3 问题的反馈
当天上午，参加面试的数学教师总共38人（分三个小组），其中初中教师20人，高中教师18人，对该问题判断正确的初中教师仅7人，判断正确的高中教师10人，不难得出：认为“等式0.9 =1”正确的教师不足一半;其中，在判断正确的17名教师中，能正确说明理由的教师总共8人，而且均使用理由1和理由2进行解释;另外9名教师要么说不出所以然，要么表述为：无限接近1，因此可以认为两者相等，值得注意的一个现象是：参加面试的教师中，有18人来自该市一级达标校，其中13人认为“等式”正确，其比例远高于非一级达标校教师.
面试结束后，笔者与几位面试教师进行简短交流，从交流的信息来看，不少认为“等式”不正确的教师，大多表示自己在读小学时，就有的深刻印象，总觉得0.9比1总小那么一点点，两者不可能相等，同時表示，虽然大学期间学习过有关极限的数学知识，但在多年的教学工作中却极少遇到， 早已淡忘，而那些判断正确但又无法正确说理的教师表示：这个等式之所以正确，是因为大学时学习极限时留下的印象，该等式的正确性就像几何学中的公理一样理所当然，至于如何证明，平时就没有思考过.
4 启示
启示1 中学数学教师的学科专业素养亟待提升 考虑到面试教师都至少受过本科教育，执教多年，具备被聘中学高级或中学一级职称的基本条件，笔者命制本题的初衷只是想考查面试教师的学科基本素养，并不想难为他们，原以为绝大部分教师至少都能判断正确，但从面试教师的回答情况来看，与预期有较大出入，无独有偶，前不久面试一位申请调入新单位、具有10年教龄的教师，在他完成人教版九年级数学《随机事件与概率》片断教学后，我们针对教材内容：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n，提出以下三个问题：
问题1 是否存在：一次试验中，有n种可能的结果，但它们发生的可能性不都相等，
问题2 事件A指的是随机事件吗？
问题3 在一次试验中n可以无限吗？
遗憾的是，这位教师三个问题全部回答错误，尽管无论是参加职称晋级考核还是申请调动的面试，会给面试教师带来隐性压力，影响他们的正常发挥，但根植于内心的学科核心素养在很多情况下是可以自然显现的，以上两例从一个侧面反映出：当前中学数学教师的学科专业素养确实堪忧，目前，各地为了提高教师的教育教学水平，不断地举行各级各类培训，但大部分教师培训，传授的都是教学理念和方法，而学科知识本身反而受到冷落，人们对教学方法研究情有独钟：研究教学导入的艺术，研究指导探究的艺术……但唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深刻的数学知识.
实际上，“教什么”始终比“怎么教”重要，内容决定形式，先进理念首先关乎教学内容，从“教什么”的视角来看，数学教师教学水平的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上，低水平的教师，只会照本宣科，看到什么就教给学生什么，只是知识的低级搬运工;高水平的教师，能透过现象看到本质，在教教材显性知识的同时，能挖掘出其后的隐性知识，教到一些别人教不出来的内容，这些不易教到的隐性知识是什么呢？概括而言，是数学的本质、过程、思想和结构等四个方面，为此，笔者建议在教师专业培训时，一定要关注从以上四个方面提升教师的学科专业素养.
启示2 加强薄弱校教师的学科专业培训更加必要
从面试结果统计的情况来看，一级达标校教师的表现比非一级达标校教师的表现来得好，这也反映了：越是好的学校，由于自身的教科研氛围浓厚，学生素质高，教师的专业成长就更全面，对教材的把握也更加到位;越是薄弱校，由于自身的教科研氛围不足，学生素质相对弱，教师钻研教材的积极性也受影响，很多薄弱校长期以来，一直将无法提高学校的教育教学质量归咎于生源质量低下，然而，客观地说，教师自身的学科专业水平不高也是影响该校教学质量的重要因素之一.
我们欣喜地看到，目前从顶层设计层面，已经开始关注薄弱校教师的成长，在各地举行的各级各类教师培训、职称评定、评优评先等方面，都有专门的指标和项目向薄弱校倾斜，应该说，长期以来，薄弱校在多媒体等硬件配套设施方面存在先天不足，随着国家对薄弱校软硬件设施的改善，薄弱校教师要学习的东西很多，但如果通过各级各类培训，仅仅提高了使用硬件的技术，对提升教师学科专业素养关注不够，那么提高薄弱校的教学水平依然无法落到实处.
不难想象，如果不加强对薄弱校数学教师的学科专业培训，经过若干年后，这些教师能够保留解中、高考题的能力已经非常了不起了，如此陷入题海战术的教师，要引导学生跳出题海，根本就是件天方夜潭的事，那么培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的热情，提高学生的数学核心素养，让学生学到数学的本质将是一句空话，因此，加强薄弱校数学教师的学科专业培训显得更加必要.
启示3 居高临下提高教师学科素养
从面试结果统计的情况来看，高中教师判断该问题的正确性比初中教师好，在说理环节，没有人使用理由4（极限方法），大部分初中教师使用理由2（设元方式），有相当数量的高中教师采用：“0.9无限接近1，因此可以认为两者相等”的方式说理，尤为遗憾的是：没有一位高中教师使用理由3（无穷递降等比数列的求和公式）说理，众所周知，方程是初中数学教学的重要内容，极限知识在高中有所涉及，而无穷递降等比数列的求和公式在现今高中数学教学中已不做要求，这表明：教师对教材的把握、对数学本质的理解，受本人长期执教内容的影响颇深.
作为一名数学教师，如果要精准地把握数学教材，把教给学生的数学知识本质讲透讲明白，自身必须具备居高临下的学科素养，正如前面所述案例中，倘若那位申请调动的教师对概率的古典化定义、统计定义、公理化定义了然于胸，要正确解答评委提出的三个问题就不困难了，在教学过程中，教师不能从学科角度高观点把握新旧知识之间的联系與区别，往往还容易导致教学失误，使学生的学习误入歧途，如不少教师在教学切线概念时，受到圆切线概念的影响，错误地将“曲线与直线相切”当作“曲线与直线只有一个公共点”的充要条件，其实，曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，求曲线过某一点的切线方程，这一点未必是切点，有可能以另一点为切点的切线刚好过该点，同样地，曲线与直线只有一个公共点未必就是相切，如：平行于双曲线渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但此时该直线并不是双曲线的切线，而要深刻地掌握切线概念必须从大学课程微积分的角度来理解，唯有这样，才能避免相关概念的负迁移，可见，只有居高临下地提高教师的专业素养，才能有效避免本不该出现的教学失误.
因此，只有具备居高临下的学科素养、精准把握数学学科核心素养的教师，在具体的数学教学过程中，才能够将数学知识的本质讲清楚、教到位，真正将培养学生的学科核心素养落到实处，可见，提高教师学科素养，要有高站位，不能局限于自身长期执教的教学内容，有必要从更高角度系统化、组织化地加深对数学知识本质的理解.
5 结语
弗赖登塔尔曾经说过：“为了真正的数学及其进步，普通的常识必须要系统化和组织化，如同以前一样，普通常识的经验被结合成为规律（比如加法的交换律），并且这些规律再次成为普通的常识，即较高层次的常识，作为更高层次数学的基础——一个巨大的等级体系，是由于非凡的相互影响的力量来建立的.”
对一个教师来说：当教师明白数学知识的内在的知识特点，教师就明白在自己的讲课过程中，哪里是讲授之重点，才能够做到教师在课堂上因势利导地点拨，敢于让学生在数学的学习过程中放手，相信学生，讲清知识的来龙去脉，让学生理解知识的发生和发展过程，让学生加深理解，更重要的是教师才能够讲清知识点之间的关系，课堂上，教师才能够讲前面的知识会为后面的知识奠基，讲后面的知识时，与前面的知识相结合不断进行反思和温故.
1 问题的缘起
去年10月份，笔者被抽调担任某市中高级教师职称晋级片断教学的评委，同时承接该次片断教学的学科命题任务，当天上午，按照主管部门的要求分别命好初、高中片断教学课题后，还要命制一道学科专业的问答题，供所有参评教师在片断教学结束后回答，考虑到参评教师是该市即将要被聘任中学一级教师或中学高级教师的群体，其中既有高中教师也有初中教师，所以，命制的题目必须既要承载考核高中教师的功能，又不为难初中教师，当然，我们更想籍此从一个侧面检测即将担任中学一级或中学高级的数学教师的学科素养，连同命制片断教学试题的时间在内，命题总时长只有半小时，而且所命题目要适合参评教师进行现场问答，经过一番斟酌，决定以“等式0.9 =1正确吗？请说明理由”为题对参评教师进行考核.
2 问题的解答
当然，本问题还可以使用Dedekind分割及Cauchy序列等数学知识进行说理，于此不再赘述.
3 问题的反馈
当天上午，参加面试的数学教师总共38人（分三个小组），其中初中教师20人，高中教师18人，对该问题判断正确的初中教师仅7人，判断正确的高中教师10人，不难得出：认为“等式0.9 =1”正确的教师不足一半;其中，在判断正确的17名教师中，能正确说明理由的教师总共8人，而且均使用理由1和理由2进行解释;另外9名教师要么说不出所以然，要么表述为：无限接近1，因此可以认为两者相等，值得注意的一个现象是：参加面试的教师中，有18人来自该市一级达标校，其中13人认为“等式”正确，其比例远高于非一级达标校教师.
面试结束后，笔者与几位面试教师进行简短交流，从交流的信息来看，不少认为“等式”不正确的教师，大多表示自己在读小学时，就有的深刻印象，总觉得0.9比1总小那么一点点，两者不可能相等，同時表示，虽然大学期间学习过有关极限的数学知识，但在多年的教学工作中却极少遇到， 早已淡忘，而那些判断正确但又无法正确说理的教师表示：这个等式之所以正确，是因为大学时学习极限时留下的印象，该等式的正确性就像几何学中的公理一样理所当然，至于如何证明，平时就没有思考过.
4 启示
启示1 中学数学教师的学科专业素养亟待提升 考虑到面试教师都至少受过本科教育，执教多年，具备被聘中学高级或中学一级职称的基本条件，笔者命制本题的初衷只是想考查面试教师的学科基本素养，并不想难为他们，原以为绝大部分教师至少都能判断正确，但从面试教师的回答情况来看，与预期有较大出入，无独有偶，前不久面试一位申请调入新单位、具有10年教龄的教师，在他完成人教版九年级数学《随机事件与概率》片断教学后，我们针对教材内容：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n，提出以下三个问题：
问题1 是否存在：一次试验中，有n种可能的结果，但它们发生的可能性不都相等，
问题2 事件A指的是随机事件吗？
问题3 在一次试验中n可以无限吗？
遗憾的是，这位教师三个问题全部回答错误，尽管无论是参加职称晋级考核还是申请调动的面试，会给面试教师带来隐性压力，影响他们的正常发挥，但根植于内心的学科核心素养在很多情况下是可以自然显现的，以上两例从一个侧面反映出：当前中学数学教师的学科专业素养确实堪忧，目前，各地为了提高教师的教育教学水平，不断地举行各级各类培训，但大部分教师培训，传授的都是教学理念和方法，而学科知识本身反而受到冷落，人们对教学方法研究情有独钟：研究教学导入的艺术，研究指导探究的艺术……但唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深刻的数学知识.
实际上，“教什么”始终比“怎么教”重要，内容决定形式，先进理念首先关乎教学内容，从“教什么”的视角来看，数学教师教学水平的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上，低水平的教师，只会照本宣科，看到什么就教给学生什么，只是知识的低级搬运工;高水平的教师，能透过现象看到本质，在教教材显性知识的同时，能挖掘出其后的隐性知识，教到一些别人教不出来的内容，这些不易教到的隐性知识是什么呢？概括而言，是数学的本质、过程、思想和结构等四个方面，为此，笔者建议在教师专业培训时，一定要关注从以上四个方面提升教师的学科专业素养.
启示2 加强薄弱校教师的学科专业培训更加必要
从面试结果统计的情况来看，一级达标校教师的表现比非一级达标校教师的表现来得好，这也反映了：越是好的学校，由于自身的教科研氛围浓厚，学生素质高，教师的专业成长就更全面，对教材的把握也更加到位;越是薄弱校，由于自身的教科研氛围不足，学生素质相对弱，教师钻研教材的积极性也受影响，很多薄弱校长期以来，一直将无法提高学校的教育教学质量归咎于生源质量低下，然而，客观地说，教师自身的学科专业水平不高也是影响该校教学质量的重要因素之一.
我们欣喜地看到，目前从顶层设计层面，已经开始关注薄弱校教师的成长，在各地举行的各级各类教师培训、职称评定、评优评先等方面，都有专门的指标和项目向薄弱校倾斜，应该说，长期以来，薄弱校在多媒体等硬件配套设施方面存在先天不足，随着国家对薄弱校软硬件设施的改善，薄弱校教师要学习的东西很多，但如果通过各级各类培训，仅仅提高了使用硬件的技术，对提升教师学科专业素养关注不够，那么提高薄弱校的教学水平依然无法落到实处.
不难想象，如果不加强对薄弱校数学教师的学科专业培训，经过若干年后，这些教师能够保留解中、高考题的能力已经非常了不起了，如此陷入题海战术的教师，要引导学生跳出题海，根本就是件天方夜潭的事，那么培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的热情，提高学生的数学核心素养，让学生学到数学的本质将是一句空话，因此，加强薄弱校数学教师的学科专业培训显得更加必要.
启示3 居高临下提高教师学科素养
从面试结果统计的情况来看，高中教师判断该问题的正确性比初中教师好，在说理环节，没有人使用理由4（极限方法），大部分初中教师使用理由2（设元方式），有相当数量的高中教师采用：“0.9无限接近1，因此可以认为两者相等”的方式说理，尤为遗憾的是：没有一位高中教师使用理由3（无穷递降等比数列的求和公式）说理，众所周知，方程是初中数学教学的重要内容，极限知识在高中有所涉及，而无穷递降等比数列的求和公式在现今高中数学教学中已不做要求，这表明：教师对教材的把握、对数学本质的理解，受本人长期执教内容的影响颇深.
作为一名数学教师，如果要精准地把握数学教材，把教给学生的数学知识本质讲透讲明白，自身必须具备居高临下的学科素养，正如前面所述案例中，倘若那位申请调动的教师对概率的古典化定义、统计定义、公理化定义了然于胸，要正确解答评委提出的三个问题就不困难了，在教学过程中，教师不能从学科角度高观点把握新旧知识之间的联系與区别，往往还容易导致教学失误，使学生的学习误入歧途，如不少教师在教学切线概念时，受到圆切线概念的影响，错误地将“曲线与直线相切”当作“曲线与直线只有一个公共点”的充要条件，其实，曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，求曲线过某一点的切线方程，这一点未必是切点，有可能以另一点为切点的切线刚好过该点，同样地，曲线与直线只有一个公共点未必就是相切，如：平行于双曲线渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但此时该直线并不是双曲线的切线，而要深刻地掌握切线概念必须从大学课程微积分的角度来理解，唯有这样，才能避免相关概念的负迁移，可见，只有居高临下地提高教师的专业素养，才能有效避免本不该出现的教学失误.
因此，只有具备居高临下的学科素养、精准把握数学学科核心素养的教师，在具体的数学教学过程中，才能够将数学知识的本质讲清楚、教到位，真正将培养学生的学科核心素养落到实处，可见，提高教师学科素养，要有高站位，不能局限于自身长期执教的教学内容，有必要从更高角度系统化、组织化地加深对数学知识本质的理解.
5 结语
弗赖登塔尔曾经说过：“为了真正的数学及其进步，普通的常识必须要系统化和组织化，如同以前一样，普通常识的经验被结合成为规律（比如加法的交换律），并且这些规律再次成为普通的常识，即较高层次的常识，作为更高层次数学的基础——一个巨大的等级体系，是由于非凡的相互影响的力量来建立的.”
对一个教师来说：当教师明白数学知识的内在的知识特点，教师就明白在自己的讲课过程中，哪里是讲授之重点，才能够做到教师在课堂上因势利导地点拨，敢于让学生在数学的学习过程中放手，相信学生，讲清知识的来龙去脉，让学生理解知识的发生和发展过程，让学生加深理解，更重要的是教师才能够讲清知识点之间的关系，课堂上，教师才能够讲前面的知识会为后面的知识奠基，讲后面的知识时，与前面的知识相结合不断进行反思和温故.
