规律问题递推化
李德安
数学中带有规律的问题很常见，该类问题通常会问一个一般性的结论，解决的途径通常是由具体的情况，归纳出一般结论，该途径存在两个缺点：一是耗时，二是不严谨，解決这两缺点的一有效途径是将问题递推化，下面通过5道例题，体会多题一解的递推化.
注 将规律化的内容，一步到位反应到递推公式，再由递推式求通项公式，就言简意赅了，
例2 如图1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，金属片大小不同且从大到小到依次叠套在1号针上，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
（1）每次只能移动一个金属片;
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面，将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），求f（n）的表达式.
例4 一张正方形纸片内有1000个点，这些点及正方形的顶点中任意3点不共线，在这些点及正方形顶点之间连一线段，将正方形全部分成小三角形（以所连线段及正方形的边为边，且所连线段除端点外，两两无公共点），问一共连有多少条线段？一共得到多少个三角形？
以上列举了几道规律化问题递推化的解法，值得说明的是，每一道题目还有常规的解法，即算出具体的前几项，再归纳出一个一般的结论，该途径对归纳、推理、猜想的训练是非常好的，但有失严谨，还须再加上严谨的证明，当然，每一道题目还有其它的灵活解法，在此就不赘述了，将规律性的问题一般化、符号化、递推化，解题也就自然化了.
数学中带有规律的问题很常见，该类问题通常会问一个一般性的结论，解决的途径通常是由具体的情况，归纳出一般结论，该途径存在两个缺点：一是耗时，二是不严谨，解決这两缺点的一有效途径是将问题递推化，下面通过5道例题，体会多题一解的递推化.
注 将规律化的内容，一步到位反应到递推公式，再由递推式求通项公式，就言简意赅了，
例2 如图1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，金属片大小不同且从大到小到依次叠套在1号针上，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
（1）每次只能移动一个金属片;
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面，将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），求f（n）的表达式.
例4 一张正方形纸片内有1000个点，这些点及正方形的顶点中任意3点不共线，在这些点及正方形顶点之间连一线段，将正方形全部分成小三角形（以所连线段及正方形的边为边，且所连线段除端点外，两两无公共点），问一共连有多少条线段？一共得到多少个三角形？
以上列举了几道规律化问题递推化的解法，值得说明的是，每一道题目还有常规的解法，即算出具体的前几项，再归纳出一个一般的结论，该途径对归纳、推理、猜想的训练是非常好的，但有失严谨，还须再加上严谨的证明，当然，每一道题目还有其它的灵活解法，在此就不赘述了，将规律性的问题一般化、符号化、递推化，解题也就自然化了.
