例谈数学文化试题的三个层次
丘远青
近年，在高三数学试卷中频繁出现具有“数学文化”背景的试题，试题出现伊始确实给人耳目一新之感.但见得多了，我们就会发现，大部分此类试题的命制方式就是把一道数学题从古代搬到现代，这样造成的一个结果是，学生对这种题仅停留在“就题解题”的层面，也许见到了“文化”，但很难领会到“数学文化”中蕴含的数学思维价值，甚至很多教师对数学文化的认识也比较浅薄.高质量的数学文化试题应源于数学文化而高于数学文化，体现数学文化的过程性特点，考查数学文化背后所蕴含的数学思想和数学方法，将数学文化试题置于整个数学思维训练的大局中，而不只是一种穿越到今天的数学题.
面对数学文化，究竟应该考什么？怎样考？通过对近几年大量的数学文化试题的研究，笔者认为高质量、有价值的数学文化试题应有如下三个层次.
第一层次以数学文化为试题，渗透中国古代传统文化
以数学文化为试题的特点是直接取材于数学名著或名题，借数学名著或名题中提出的数学问题，检验考生数学基本知识和基本技能掌握的情况.
例1（2015年新课标I卷.6）《九章算术>是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图1，米堆为一个圆锥的四分之一）米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
A. 14斛
B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛
例2（2017年高考全国I卷·理2）如图2所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A.1/4
B.π/8
C.1/2
D.π/4
评析例1源于中国古代数学名著《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，例2图中圆形区域为中国古代的“太极图”，两道试题均取材于中国传统文化，又巧妙地将中国传统文化与现代教育元素相结合，对培养学生认识中华传统文化有着深刻的教育意义，如例2，“太极”是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源，太极图形象地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化的哲理，试题以此为情境，设计一个几何概型以及几何概率计算问题，贴近考生实际生活，通过问题的求解，使考生体会概率在生活中的应用，又传播了中国传统文化.
以数学史为试题情景材料，可以引导学生理解数学、培养学习数学的兴趣，可以引导学生探究解决数学问题的过程，这样设计的试题，可以考查学生的基础知识和基本技能，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注中华传统文化.
第二层次以数学文化为背景，渗透数学精神
以数学文化为背景的试题，其特点是渗透数学精神，考查学生应用数学文化中所蕴含的数学思想方法解决问题的迁移能力.
例3 如图3，圆锥SO的轴截面ASAB是边长为4的正三角形，M为母线SB的中点，过直线AM作平面β⊥面SAB，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C，则椭圆C的短半轴为____.
A.√2 B.√10/2 c.√3 D.2
分析历史上，许多人从纯几何角度出发对“一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆”这个问题进行过研究，其中数学家Germinal Dandelin的方法非常巧妙，本题的命制是以“Dandelin双球探究圆锥曲线的生成”为背景，取材于人教A版数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程的“探究与发现一为什么截口曲线是椭圆”的内容，在这道试题中，通过设问将不同知识和方法有机整合，对知识的考查侧重理解和运用，让学生独立思考，分析问题，研究问题，并最终解决问题，而采用“Dandelin双球”实验所蕴含的思想方法，无疑是最有效的.
解析 如图4，作球O与圆锥侧面及平面β相切，切点分别为C，F，则F为椭圆的一个焦点.
评析数学是学习、培养理性思维的一个主要途径，数学精神就是重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系的精神，在试题中渗透数学精神，可以体现反思性、体现探究性、体现独立思考、体现迁移能力等，该解法延续了“GerminalDandelin双球”的解法，解法筒捷高效，使“GerminalDandelin双球”这一数学文化又重现生机，发挥了巨大威力，不禁令人拍案叫绝.
第三层次 以数学文化为载体，渗透数学应用
以数学文化为载体的试题，其特点是在试题中渗透数学应用，通过设计适合的试题情境，要求学生能够利用所蕴含的数学文化知识分析、解决实际问题，考查考生分析问题、解决问题的能力.
分析 对该题的解答多数考生，甚至教师都是采用特殊法解决，这无疑背离了该题命制的意图和考查目的，本题在试题呈现上似乎與数学文化无关，而实质上是以著名的“阿波罗尼斯圆”为背景（在人教A版教材上与其相关的题目也有两处）.如果没有阿波罗尼斯圆的知识，你可能发现不了题中的圆0就是阿波罗尼斯圆这是一个巧妙的隐含条件，这样就会给问题的解决带来困难，甚至无法理解问题的数学本质.
解析 根据阿波罗尼斯圆的定义可知，题中的点M，N都在阿波罗尼斯圆上，如图6，设圆0与y轴的两个交点分别为P，Q，则P（O，1），Q（0，-1）.
例5（人教A版必修五第104页B组第6题）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济？能把所得结论作一些推广吗？
分析 本题以两个实际购物方案为背景，引导学生应用不等式有关知识分析两种购物方式的相互关系，试题的设计源于社会实际，体现了数学与我们社会生活的密切相关性.
评析 本题以两个实际购物方案为背景，设计实际问题，考查学生处理数据及运用不等式知识（调和平均数、几何平均数、算术平均数以及平方和平均数）解决问题的能力，试题贴近生活，具有现实意义，在提高学生学习数学的兴趣，培养学生的应用意识，提升学生解决实际问题的能力等方面有着很好的引导作用.
数学文化是数学学科的一个有机组成部分，数学试题在渗透数学文化时，应当注意与数学知识有机结合，注重体现其理性思维的本质内涵;数学试题在渗透数学文化时，可以通过创设新的情境、改变设问方式，选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化，渗透现代数学思想和方法，增加基础性、综合性、应用性、创新性的要求;高考试题渗透数学文化的重要意义在于能充分发挥高考命题的育人功能，可以适当引导中学数学的教学，使得更多的教师关注数学文化，研究数学文化，将数学的本质教授给学生，而学生通过数学文化的熏陶，可以形成和践行社会主义核心价值观，这就是数学文化试题应具有的三个层次.
高质量、有价值的数学文化试题，一定是将数学文化、数学知识、思想方法融为一体，一定是渗透中国古代传统优秀文化，一定是源于数学文化而高于数学文化.
参考文献
[1]陈昂，任子朝.突出理性思维，弘扬数学文化[J].中国考试，2015 （3）：10—13
[2]齐建民.高中数学解题研究第3辑（数学文化高考专题）[M].杭州：浙扛大学出版社，2017
[3]教育部考试中心.高考理科试题分析（语文、数学、英语分册）[M].北京：高等教育出版社，2017
近年，在高三数学试卷中频繁出现具有“数学文化”背景的试题，试题出现伊始确实给人耳目一新之感.但见得多了，我们就会发现，大部分此类试题的命制方式就是把一道数学题从古代搬到现代，这样造成的一个结果是，学生对这种题仅停留在“就题解题”的层面，也许见到了“文化”，但很难领会到“数学文化”中蕴含的数学思维价值，甚至很多教师对数学文化的认识也比较浅薄.高质量的数学文化试题应源于数学文化而高于数学文化，体现数学文化的过程性特点，考查数学文化背后所蕴含的数学思想和数学方法，将数学文化试题置于整个数学思维训练的大局中，而不只是一种穿越到今天的数学题.
面对数学文化，究竟应该考什么？怎样考？通过对近几年大量的数学文化试题的研究，笔者认为高质量、有价值的数学文化试题应有如下三个层次.
第一层次以数学文化为试题，渗透中国古代传统文化
以数学文化为试题的特点是直接取材于数学名著或名题，借数学名著或名题中提出的数学问题，检验考生数学基本知识和基本技能掌握的情况.
例1（2015年新课标I卷.6）《九章算术>是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图1，米堆为一个圆锥的四分之一）米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
A. 14斛
B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛
例2（2017年高考全国I卷·理2）如图2所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A.1/4
B.π/8
C.1/2
D.π/4
评析例1源于中国古代数学名著《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，例2图中圆形区域为中国古代的“太极图”，两道试题均取材于中国传统文化，又巧妙地将中国传统文化与现代教育元素相结合，对培养学生认识中华传统文化有着深刻的教育意义，如例2，“太极”是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源，太极图形象地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化的哲理，试题以此为情境，设计一个几何概型以及几何概率计算问题，贴近考生实际生活，通过问题的求解，使考生体会概率在生活中的应用，又传播了中国传统文化.
以数学史为试题情景材料，可以引导学生理解数学、培养学习数学的兴趣，可以引导学生探究解决数学问题的过程，这样设计的试题，可以考查学生的基础知识和基本技能，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注中华传统文化.
第二层次以数学文化为背景，渗透数学精神
以数学文化为背景的试题，其特点是渗透数学精神，考查学生应用数学文化中所蕴含的数学思想方法解决问题的迁移能力.
例3 如图3，圆锥SO的轴截面ASAB是边长为4的正三角形，M为母线SB的中点，过直线AM作平面β⊥面SAB，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C，则椭圆C的短半轴为____.
A.√2 B.√10/2 c.√3 D.2
分析历史上，许多人从纯几何角度出发对“一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆”这个问题进行过研究，其中数学家Germinal Dandelin的方法非常巧妙，本题的命制是以“Dandelin双球探究圆锥曲线的生成”为背景，取材于人教A版数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程的“探究与发现一为什么截口曲线是椭圆”的内容，在这道试题中，通过设问将不同知识和方法有机整合，对知识的考查侧重理解和运用，让学生独立思考，分析问题，研究问题，并最终解决问题，而采用“Dandelin双球”实验所蕴含的思想方法，无疑是最有效的.
解析 如图4，作球O与圆锥侧面及平面β相切，切点分别为C，F，则F为椭圆的一个焦点.
评析数学是学习、培养理性思维的一个主要途径，数学精神就是重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系的精神，在试题中渗透数学精神，可以体现反思性、体现探究性、体现独立思考、体现迁移能力等，该解法延续了“GerminalDandelin双球”的解法，解法筒捷高效，使“GerminalDandelin双球”这一数学文化又重现生机，发挥了巨大威力，不禁令人拍案叫绝.
第三层次 以数学文化为载体，渗透数学应用
以数学文化为载体的试题，其特点是在试题中渗透数学应用，通过设计适合的试题情境，要求学生能够利用所蕴含的数学文化知识分析、解决实际问题，考查考生分析问题、解决问题的能力.
分析 对该题的解答多数考生，甚至教师都是采用特殊法解决，这无疑背离了该题命制的意图和考查目的，本题在试题呈现上似乎與数学文化无关，而实质上是以著名的“阿波罗尼斯圆”为背景（在人教A版教材上与其相关的题目也有两处）.如果没有阿波罗尼斯圆的知识，你可能发现不了题中的圆0就是阿波罗尼斯圆这是一个巧妙的隐含条件，这样就会给问题的解决带来困难，甚至无法理解问题的数学本质.
解析 根据阿波罗尼斯圆的定义可知，题中的点M，N都在阿波罗尼斯圆上，如图6，设圆0与y轴的两个交点分别为P，Q，则P（O，1），Q（0，-1）.
例5（人教A版必修五第104页B组第6题）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济？能把所得结论作一些推广吗？
分析 本题以两个实际购物方案为背景，引导学生应用不等式有关知识分析两种购物方式的相互关系，试题的设计源于社会实际，体现了数学与我们社会生活的密切相关性.
评析 本题以两个实际购物方案为背景，设计实际问题，考查学生处理数据及运用不等式知识（调和平均数、几何平均数、算术平均数以及平方和平均数）解决问题的能力，试题贴近生活，具有现实意义，在提高学生学习数学的兴趣，培养学生的应用意识，提升学生解决实际问题的能力等方面有着很好的引导作用.
数学文化是数学学科的一个有机组成部分，数学试题在渗透数学文化时，应当注意与数学知识有机结合，注重体现其理性思维的本质内涵;数学试题在渗透数学文化时，可以通过创设新的情境、改变设问方式，选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化，渗透现代数学思想和方法，增加基础性、综合性、应用性、创新性的要求;高考试题渗透数学文化的重要意义在于能充分发挥高考命题的育人功能，可以适当引导中学数学的教学，使得更多的教师关注数学文化，研究数学文化，将数学的本质教授给学生，而学生通过数学文化的熏陶，可以形成和践行社会主义核心价值观，这就是数学文化试题应具有的三个层次.
高质量、有价值的数学文化试题，一定是将数学文化、数学知识、思想方法融为一体，一定是渗透中国古代传统优秀文化，一定是源于数学文化而高于数学文化.
参考文献
[1]陈昂，任子朝.突出理性思维，弘扬数学文化[J].中国考试，2015 （3）：10—13
[2]齐建民.高中数学解题研究第3辑（数学文化高考专题）[M].杭州：浙扛大学出版社，2017
[3]教育部考试中心.高考理科试题分析（语文、数学、英语分册）[M].北京：高等教育出版社，2017
