基于数形结合 培养初中学生推理能力的体会

    言晨栋

    [摘? 要] 文章作者通过“全等三角形”（苏教版）的知识教学发现，在教学过程中，学生思维的对象是“几何图形”（即三角形），推理的依据是“数量关系”（相等），推理所需要运用到的逻辑关系是“相等是否全等”. 在几乎所有数形结合的例子中，都可以找到这样三个要素，因此数形结合确是培养学生推理能力的机会.

    [关键词] 初中数学;数形结合;推理能力

    对于推理能力培养的关注，来源于两个主要原因：一是传统的初中数学教学中，原本就重视推理能力的培养，学生在建构数学知识及其结构的时候，推理能力的支撑必不可少，而且初中学生在进入抽象能力发展的高速阶段之后，更加习惯于通过推理来建构并运用数学知识;二是核心素养背景下的初中数学教学，在瞄准数学学科核心素养的时候，其中的六个要素中就有逻辑推理，尽管逻辑推理只是推理的一种，但对于初中数学知识的教学来说，已经进一步凸显了推理的价值与地位.

    纵观初中数学知识的教学，可以发现学生推理能力培养的时机实际上非常丰富，而利用数形结合来培养学生的推理能力，笔者发现效果非常理想. 下面就利用数形结合培养学生推理能力谈谈笔者的几点体会.

    初中数学数形结合中培养推理

    能力的意义

    众所周知，数学是一门研究空间形式与数量关系的自然科学，即人们常说的“数”与“形”. 人们在长期的认识和改造自然的过程中，发现“数”与“形”之间有着紧密的联系，数与形是数学研究中两个不同的侧面，在一定条件下，它们可以互相转化. 这样的阐述，实际上表明了一种关系，即数与形之间是存在密切关系的，这个关系可以理解为数与形之间可以互相描述——数可以描述形，形可以表示数，而要体现这样的关系，推理是必须存在的.

    在利用数形结合培养学生的推理能力之前，首先要明确的是数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题. 显然，这里所说的解决问题，既包括新的数学知识学习时的问题解决，也包括知识建构完毕之后解决相关的问题. 在这样的过程中，推理又起着什么样的作用呢？我们可以通过“全等三角形”（苏教版）的知识来说明.

    在建立全等形概念的时候，教材设计了一个体验的环节，即让学生在一组图形中寻找两个叠起来能够重合的图形（实际教学中可以根据这一思路，设计一个真实体验的学习环节，即让学生制作出两个能够完全重合的图形）. 这实际上是一个合情推理的过程，即通过感官信息的刺激结合经验来判定“完全重合”，即可认为“全等”. 尽管初中数学相对于此前的数学学习而言，合情推理已经减少了运用，但在实际教学中如果能够恰到好处地发挥作用，一样可以促进学生的数学知识建构.

    在“全等三角形的判定”知识的教学中，则存在着大量的逻辑推理能力的培养机会. 基于全等三角形的性质去探究全等三角形的判定法则，是一个具有探究意味的学习过程. 在这个过程中，学生主要通过证明中的证实或证伪，来判断自己所猜想的依据是否能够成为判定法则. 这里的逻辑推理首先存在于全等性质——三边相等，三角相等，去推理得出可能的判定依据（此时还不能叫法则），于是“边边边”（这是学生最容易猜想到的，实际上是基于全等形“完全重合”的认识，以近乎直觉思维的形式推理出来的）“角角角”“边角边”“角边角”“角角边”“边边角”等，会迅速地被猜想（推理）出来;其后，对这些猜想进行证实或证伪，就成为另一个充分运用推理（推理能力的培养蕴含其中）的过程.

    在这样的过程中，学生思维的对象是“几何图形”（即三角形），推理的依据是“数量关系”（相等），推理所需要运用到的逻辑关系是“相等是否全等”. 实际上，在几乎所有数形结合的例子中，都可以寻找到这样的三个要素，因而认为数形结合是培养学生推理能力的机会，是科学合理的.

    基于数形结合案例培养学生推

    理能力简析

    实际上，在类似于“全等三角形”的知识教学中，运用数形结合的思路培养学生的推理能力，也有同行做过类似研究，其中相关的结论是：培养学生具有一定的逻辑推理能力，是中学数学的教学目的之一. 对于这种能力的形成，初中数学教师有义不容辞的责任，而“全等三角形”有其特殊的地位和作用. 关于这个特殊地位与作用，笔者的观点就是结合上面的三个要素，让学生的思维真正沉浸到推理的过程中，推理能力的培养就必然具有相应的空间. 具体的教学过程可以这样设计：

    首先，帮学生回顾全等三角形的性质，提炼出“三边相等，三角相等”的结论.

    其次，让学生基于上述总结，猜想判断三角形全等的依据. 这个过程中，有可能会出现学生猜想“边边边”或“边边角”的可能，但这个证伪很容易，所运用的也是合情推理与逻辑推理的结合. 限于篇幅，此处不再赘述. 此处主要的推理过程就是证实或证伪过程中的逻辑运用.

    其中，“边边边”的证实是最容易的，甚至有学生结合“三角形的稳定性”就得出，只要三边对应相等，那三角形就必然全等的结论. 这个过程中，对“边角边”“角角边”“边边角”的证明是存在一定挑战性的. 学生在证明“边角边”的时候，推理的思路大概是这样的：由一边和一角的相等，确认两个三角形的这条边和这个角是可以“先全等”的——学生语. 虽然全等概念运用不准确，但可以表达学生的内在认识，教师此时可以不必纠纏;然后形成此角的另一条边也是相等的，学生就会发现第三条边必然相等. 通过这样的推理，证明思路也就初步形成. 但需要指出的是，正是在此形成的推理思路，使得学生在证明“边边角”的时候，也容易形成类似的认识，即当两个三角形的两边相等且非两边夹角的任意一个角相等时，这两个三角形也是“固定”的，因而就是全等的. 实际教学中，教师就是要引导学生通过推理，去发现这个“固定”实际上是错误的，具体的就是通过提供“反例”的思路去进行，这也是一个内涵丰富的推理过程，尤其是学生发现“边边角”还存在两种可能时，学生会有非常强烈的成就感.

    最后，引导学生反思探究过程. 反思是推理能力形成的重要环节，通过上述过程中的证明过程，让学生认识到结论的得出，归根到底是因為推理方法的运用，那么学生对推理这一方法就会产生高度的认同感，同时也就强化了学生回顾证明过程中的推理方法运用，这就让学生形成的推理能力可以得到强化与纯化.

    从数形结合培养推理能力看核

    心素养培育

    在上述案例（包括其他类似的诸多案例）中，数形结合是基本的思路，通过对全等三角形的“形”的认识，通过对蕴含在其中的“数”的逻辑关系的判断，完成了一个推理的过程，并且通过这样的推理过程，学生获得了正确的全等三角形判定法则. 因而这是一个完整的基于数形结合培养推理能力的教学过程. 这也印证了数形结合是重要的数学思想，在数学知识的建构与问题解决中具有广泛的应用.

    如同文章开头所说的那样，以逻辑推理为核心的推理在数学学科核心素养中有着重要的地位，在数学学科教学中培育学生的核心素养，主要就是数学学科核心素养的培育. 而数学学科核心素养的培育，往往不可能是六个要素全面开花，而应当有所侧重，于是在数学课堂上培养学生的推理能力，某种程度上就是数学学科核心素养落地的重要环节.

    通过上述案例可以发现，推理能力的培养作为方法的运用与能力的培养，是需要结合具体的数学知识学习或运用来进行的，而这个学习与运用又是需要方法支撑的. 数形结合既是数学知识的建构方法之一，同时又是重要的数学思想之一. 广泛存在的数形结合，为推理能力的培养提供了广阔的空间，只要学生在研究“形”，其就必然要通过“数”去描述这个“形”，而在描述的过程中，如果有其他的需要，譬如上面全等三角形判定法则证明的需要，那么数形结合就向推理能力的培养敞开了大门.

    通过案例研究还可以发现，推理能力的形成正是在数形结合建构知识或解决问题的过程中，通过对逻辑关系的认定与运用，通过证实或者是证伪来得到培养的. 于是我们就在基于数形结合培养推理能力与核心素养培育之间发现了千丝万缕的关系，这也就提醒初中数学教师，要实现数学学科核心素养的落地，不是要脱离原有教学思路而另起炉灶，而应当是在传统教学中进一步厘清逻辑关系，进而发现核心素养培育的契机. 对于数学教师来说，这实际上也是一个推理的过程，教师自身的推理能力培养契机，也存在于这个过程中. 应当说，教师带着这样的思路实施教学，能够更好地将自己与学生的学习过程融合起来，从而让教与学更好地融合为一体，进而成为核心素养培育的推动力量.