例析处理超越方程的若干策略

王一棋



近几年高考中,函数与导数问题受到出题专家的青睐,每年的压轴题都是函数与导数问题,很多学生对于求导之后的求解方向不是很清晰,尤其是对于超越方程的处理感到棘手,在2017年新考纲出台的背景下,对于超越方程的考察又是怎样的方式?本文从4个方面给出关于超越方程的一些教学建议.
1 新高考大纲对于数学教学的新要求
考试大纲是高考命题的规范性文件和标准,是考试评价、复习备考的依据,是推进考试内容改革的切入点.2016年底国家教育部考试中心下发了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》,发布了考试大纲中部分修订的内容,教育部考试中心此次修订《考纲》是基于国家目前改革的进程和需要,基于高考的基本立场,关于数学学科,此次修订明确提出了从3个方面考查学生的数学学习情况,即数学思想方法、数学能力、数学的科学与人文价值.
2 新高考大纲要求下的超越方程呈现方式
超越方程(transcendental equation)是指包含超越函数的方程,也就是方程中有无法用自变量的多项式或开有理数次方表示的函数,与超越方程相对的是代数方程,大部分的超越方程求解,没有一般的公式也很难求得解析解,常见的超越方程如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等.
2017年的高考已经落下帷幕,现在我们可以站在过来人的角度去审视新大纲的要求和2017年的高考,其中全国卷I卷、II卷、III卷的压轴题,展现了关于超越方程在中学阶段的处理原则,其实不仅仅是2017年的考试,在历年的高考中,关于超越方程的处理一直都是学生感到棘手的问题,如果能对超越方程的处理方法做一些了解的话,那么对于解决压轴题可以说是大有裨益的,笔者将2010~2017近8年的全国及各地高考试题,逐一统计,发现解决的方法是有一些规律可循的.
3 超越方程的教学建议
3.1 可以直接求解的超越方程
在教学中笔者发现很多学生并不清楚为什么求导,遇到超越函数只是盲目求导,求导之后不知道要做什么,首先我们要明白,求导之后我们到底为了得到什么?其实求导的目的无非是两个,一是得到导函数的零点,二是得到导函数的正负,导函数的零点往往是原函数的极值点,与单调性结合,得到原函数的最值,从而达到破题的目的,下面我们以2017年高考全国I卷第21题的第一问为例说明.
这里我们仅就第一问进行分析,本题的情况是我们在解题中最愿意见到的一种情况,就是在求导之后,令导函数等于零,得到类似于二次方程的指数方程,这样我们就可以直接求解方程,得到极值点以及函数的单调性,从而比较顺利的解决问题,类似的题目还有2013年的全国I卷压轴题.
这一问表面看是含参数超越不等式恒成立的问题,其实不然,常见的参变量分离或者构造函数的手法是无法解决的,本题破题关键节点在于得到超越方程x-1- alnx=0的解是x=l,而x-l-alnx=0是无法求解的,那么我们怎么得到这个方程的根呢?方法就是通过观察函数的特征进行猜想,通过观察的方法得到超越方程的解,然后通过二次求导,判断导函数的单调性,进而得到原函数的极值点,猜根的方法在很多题目中都有体现,比如我们看2010年全国I卷的压轴题,也是这样的方法,
这里需要说明的是最值需要利用洛必达法则求出,类似的问题还有2011年全国卷的压轴题,2013年北京卷的压轴题等等,有时候我们遇到的超越方程是猜不出方程的根的,那么我们给出以下建议.
3.2.2 假设借代
下面我们看一下2017年的全国II卷的压轴题,此题非常好地诠释了不可求解的超越方程的第二种处理方法,
可以通过观察猜出一个极值点是1,有y= 2x-2和y=1nx圖象可以知道应该有2个极值点,有一个极小值点1,而另一个题目问的极值点无法求出,也无法猜出,那么怎么办呢?此时我们采用假设借代的方式予以解决.
4 结语
超越方程是数学中一个重要的研究方向,学习好超越方程对于学生的领悟数学思想,提高数学能力是大有好处的,这也符合新的高考大纲的要求,超越方程没有一般的求根公式,总是因其特殊性而采用各种特殊而有效的方法解决问题,本文从4个角度对于高中常见的超越方程进行解析,并给出一些建议,希望对于学生学习超越方程能有所帮,当然知易行难,上述内容还需要学生加强理解与训练才能灵活运用.
参考文献
[1]朱传美,增元——超越方程(组)中的“消元法”[J].中学数学教学,2017(05):42-44
[2]高雄英.导函数隐零点问题的处理策略[J].高中数学教与学,2017 (09):15-17
[3]吴晓英.例谈突破导数零点问题的几种策略[J].中学数学,2017 (01):55-57
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