把握集合元素，解决集合问题

    王晓云

    在做集合习题时，经常需要探讨集合中的元素的取值、取值范围等问题，在分析集合元素的取值或取值范围时，需要抓住一些要点.在解决集合问题之前，要從理解元素的分类出发，结合集合元素的特性，将集合问题转化为其他的数学问题，从而解决问题，提高集合问题解答的效率.一、理解集合中元素的分类

    在做集合习题时，必须要了解元素的分类.因为组成集合的对象就是元素，所以在解集合问题之前需要将集合元素弄清楚，只有这样，才能进一步地去探讨集合问题.

    例1?设集合A={平面上的直线}，B={平面上的圆}，则A∩B中的元素最多为几个？

    本题易错误地认为是2个.在解题时出现这样的错误，是因为没有理解元素的分类.本题的解题思路为直线与圆的关系分为相离、相切、相交.直线和圆相交时，交点有2点.这种解题没有考虑集合的属性和分类探讨.根据题意可知，集合A探讨的元素属性是{平面上的直线}，集合B探讨的属性是{平面上的圆}，这两种元素的属性都不一样，相交就为空集.即一个几何图形不可能既是平面上的直线又是平面上的圆，于是相交的结果就是空集.

    从这一题中可以看到，在探讨集合问题时，必须先分析集合中的元素是点集、数集、方程还是函数，只有了解了集合元素的属性，才能探讨集合元素的运算问题.二、结合集合元素的特性

    在分析集合元素时，要根据元素的特性来探讨集合中有哪些元素.每一个元素都具有其本身的特性，为了保障集合问题的顺利解决，在探讨时，不能忽略其中的任何元素的特性，否则解答问题的时候就会出现错误.

    例2?集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0，b∈R}，求集合A中所有元素之和.

    

    这题最常见的错解为：由x2+（b+2）x+b+1=0，得（x+1）（x+b+1）=0.现分类探讨b的取值对集合A元素取值的影响：（1）当b=0时，x1=x2=-1，即方程有两个相等的实根，此时A中的元素之和为-2.（2）当b≠0时，由韦达定理可知方程x2+2x+1=0有两个不等的实根x1，x2，并且x1+x2=-b-2.综合以上的探讨可知集合A中元素之和为-b-2.

    然而在以上的解题过程中，忽略了b=0时，x1=x2=-1.依集合元素的互异性，此时集合元素只有一个，即-1.通过这一则案例可以看到，在探讨集合元素的问题，并且集合的元素中存在变量时，要分析变量的取值是否符合集合元素的所有性质，然后根据分析的结果去掉不符合元素特性的元素.三、转化为其他的数学问题

    在分析集合元素时，有时需要把集合问题转化为其他的数学问题，应用其它数学知识点的定理、公式来解决问题.在转化集合问题时，必须分析转化的结果是否是等价，有没有改变集合中的元素.

    例3?设集合M=（x，y）|y+1x-1=1，N=（x，y）|（a-1）x+y=1，并且M∩N=，求实数a.

    本题最常见的错解为：视集合M为直线y=x-2上的点的集合，视集合N为直线y=（1-a）x+1上的点的集合.根据M∩N=的条件可得两直线平行，故得a=0.显然，错解忽略了在转化集合M时x不能为1的情况.当x不能为1时，y便不能为-1，于是集合M中必须去除（1，-1）这个点.正确的思路为：视集合M为直线y=x-2上的点，但不包含（1，-1）.视集合N为直线y=（1-a）x+1上的点的集合.根据已知条件M∩N=的条件可得两直线平行，那么可得1-a=1，解得a=0.当集合N过点（1，-1），也满足M∩N=的条件，于是将（1，-1）代入方程y=（1-a）x+1，可得a=3.综上，a=0或a=3.四、验证集合元素的端点取值

    在探讨集合运算问题时，如果集合的元素表现形式是函数，在分析函数的运算时，要验证端点值是否成立.如果在探讨集合元素时，忽略了这一步的验证，则易造成错解.

    例4?已知集合A={x|x≥4，或x<-5}，集合B={x|a+1≤x≤a+3}，如果A∪B=A，求的取值范围.

    该题最常见的错解为：根据已知条件A∪B=A可得BA，于是可得a+3≤-5，或者a+1≥4，于是可得a≤-8或a≥3.现如果把a=-8代入到已知条件中，会发现与已知条件冲突，于是a=-8为虚假答案.为什么会这样？因为把A∪B=A变成BA这一步时，实际上包含着两个可能性，即B=A或B≠A的问题.

    在解答集合元素的取值或取值范围的习题时，只有了解集合的意义、理解集合元素的特性、能正确完成集合的等价转换、能根据集合运算的需求验证极端取值的正确性，才能避免出现解题错误.