基于案例教学法的概率论与数理统计课程教学改革研究

    范亚静

    摘 ?要 概率论与数理统计是大学开设的一门重要的基础数学课，应用广泛。该课程研究的问题与日常生活息息相关，因而在教学过程中选取典型案例是激发学生兴趣的关键。基于案例教学法，研究如何加强概率论与数理统计课程的应用性教学。

    关键词 概率论与数理统计;案例教学;随机现象;教学改革

    中图分类号：G642.0文献标识码：B

    文章编号：1671-489X（2019）16-0092-03

    Research on Teaching Reform of Probability Theory and Mathe-

    matical Statistics Course based on Case Teaching Method//FAN Yajing

    Abstract Probability Theory and Mathematical Statistics is an impor-

    tant basic mathematics course in universities， which has wide appli-cations. The problems in this course are closely related to our daily life. Therefore， the key to stimulate students interest is to select ty-pical cases in the teaching process. The way to strengthen applied teaching of Probability Theory and Mathematical Statistics based on the case teaching method is expounded.

    Key words probability theory and mathematical statistic; case tea-ching method; random phenomenon; teaching reform

    1 引言

    概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一个数学分支，人们将其应用到很多科技领域、工农业生产以及国民经济许多部门中。在概率论与数理统计教学过程中，会发现大多数人侧重于理论教学而忽视了实践的重要性。此外，还有部分人讲授理论知识的过程中注重培养学生掌握运算的技巧而轻视了数学思想的渗透。这样就导致很多学生学过这门课程之后，只会做题，不懂应用，偏离了学以致用的教学理念，致使学生误认为学习这门课程没有用处，大大降低了学生学习的兴趣。

    为了解决这个问题，在教学过程中要加强理论与实践的结合，增加具有实际意义的案例，通过对案例进行分析，渗透概率论与数理统计方面的理论知识，增强学生学习积极性，进而培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力以及独立思考的能力。

    在基础课教学过程中一般会遇到以下几个方面的问题。

    1）学生学习缺乏兴趣和积极性，自学能力较差。由于民族院校生源质量参差不齐，学生的基础薄弱，在教学过程中会遇到各种问题，并且这些问题都比较复杂，使得学生在学习过程中很难找到解决问题的思路，时常会受到固定思维的影响，对一些随机现象做出错误理解。这就容易导致学生认为概率论与数理统计这门课程学习起来既抽象又枯燥，产生畏惧情绪以及一些心理负担，使得整个学习过程处于被动状态，从而对学习失去兴趣和信心。

    2）学生的应用意识和应用能力较差。首先，在概率论与数理统计课程教学中还没有打破传统的教学模式，即紧扣教学大纲、课堂讲解、布置作业，最后期末考试反馈学生学习的好坏。在整个一个学期的讲授过程中，主要培养学生的逻辑思维、抽象思维以及计算能力，对学生的创新思维、动手实践能力的培养还远远不够[1]。其次，网络教学平台的建设比较落后，只停留在初级阶段，未能建立一个完善、全面的教学资源库;已有平台利用率不高，学生利用其自学的并不多。

    3）教学课时相对不足，教学内容过剩。在教学过程中，对上课的学时、进度计划、教学大纲做了统一规定，并且要严格按照大纲内容讲授，不管其对今后的学习和工作是否有用，必须按计划完成所有教学内容，教学课时少但教学内容多的矛盾日益明显。这种现状即使教师增加课外辅导课，仍不能缓解课时紧缺的矛盾，教师教得辛苦，学生学得困难，然而达不到应有的教学效果。

    针对以上三个方面的问题，亟待对概率论与数理统计课程实施教学改革。

    2 案例教学法的特点和优势

    案例教学法是把实际问题作为一个案例，通过分析案例，结合所学的理论知识与实际生活问题，让学生参与讨论，进而培养学生分析问题和解决问题的能力[2]。

    概率论与数理统计课程与很多数学基础课程一样，理论深奥、难懂，题目种类繁多、复杂多变，学生很难掌握该门课程的理论知识以及解决问题的思想方法。教师必须采用灵活多样的教学方式，想方设法激发学生的学习兴趣。案例教学可以通过对实际问题进行分析、讨论、探究，得到一些结论，进而将其抽象出来，总结出一些概率论与数理统计的理论知识，这样可以调动学生学习的主动性和积极性，使其对所学知识具有深刻的理解。从教学法的角度来看，案例教学法把学生作为主体，化被动为主动，是以培养学生的自学能力、动手实践能力和创新能力为目的的一种有效的教学方法[3]，衔接了概率论与数理统计理论知识与实践应用。

    3 采用案例教学法需要注意的问题

    优化课程内容，突出知识点 ?教师在安排教学内容时可以分模块进行，每个模块涵盖一些理论知识;并且在每个模块中选取几个典型的案例，讓学生分组讨论;每个案例由一组学生派个代表来讲授，其他学生补充、更正;其他组的学生提出问题，进行分析讨论，最后进行总结。在此过程中，教师负责纠正错误，解答解决不了的问题，并进行有针对性的辅导，可以大大提高学生的自学能力以及学习兴趣。在整个过程中，可以将讲授的内容延伸到第九章“方差与回归分析”。针对概率论与数理统计课程前后知识点的衔接与实际应用，教师要明确教学内容的重点和难点，使学生更好地掌握关键的知识点，同时在讲授过程中对所讲内容把握得更自如。

    选取合适的案例进行分析讨论 ?数学类课程的教学方法比较传统，现在随着计算机技术应用得越来越广泛，概率论与数理统计课程的教学方法应该多样化。教师在讲授过程中除了注重对理论知识的讲解外，应加强对知识背景的介绍，提高学生学习的兴趣。教师应搜集与教学内容相关的应用案例，并在课堂上适当增加案例讨论课，让学生化被动为主动。通过教师布置任务，学生课下进行预习，课上讲解，进而发现问题、提出问题，通过课上讨论来解决问题。此外，如果遇到学生很难搞懂的案例，教师在课堂上就重点、难点内容进行讲解，可让学生提问，其他学生回答并允许进行辩论，最终给出正确作答并指出学生讨论过程中出现的问题，重点强调学生容易出现误区的地方。在这样的学习过程中，学生可以提高创新思维能力、实际应用能力以及自主学习能力。下面简单介绍几个实际案例。

    1）讲授古典概型时，可设计分派问题、生日问题、抽签问题等。对于生日问题，经计算可以得到，在有64人的班级里，“至少有两人生日相同”这个事件几乎是必然事件，这与学生实际生活经验相同。并说明计算随机事件的概率与样本空间的选取有关，而且必须在同一确定的样本空间中，计算基本事件总数以及某事件所包含的事件总数，如果其中一个考虑顺序，那么另一个也必须考虑顺序，否则结果不正确。

    2）讲授贝叶斯公式。如已知自然人患有某种疾病的概率为0.005，据以往记录，某种诊断该疾病的试验具有如下效果：被诊断患有该疾病的人试验反应为阳性的概率为0.95，被診断不患有该疾病的人试验反应为阳性的概率为0.06。在普查中发现某人试验反应为阳性，问他确实患有该疾病的概率是多少？在求解过程中，设事件B=“试验反应为阳性”，A=“被诊断者患有此疾病”，则A的对立事件为“被诊断者不患有此疾病”。进而利用全概率公式可计算试验反应为阳性的概率为0.644 5。再由贝叶斯公式，即可求出所要求的概率为0.073 7。

    3）讲授泊松分布。如从一大批规格相同的产品中抽出200个产品，每个产品是次品的概率为0.005。求解这200个产品中最可能的次品数及概率以及次品数小于6的概率。利用这个问题，可说明两点分布、二项式分布、泊松分布之间的关系：两点分布说的是在一次试验中事件A要么发生、要么不发生，把这样的试验独立地进行n次，考虑A发生的次数所服从的分布即二项分布;那么当试验的次数很大，而每次A发生的概率很小时，那么A发生的次数近似服从泊松分布，这也就给出判断一个分布是否服从泊松分布的基本准则。如在一段时间内某电话交换台收到的电话的呼唤次数，一本书中一页的印刷错误数，某地区一天内邮递遗失的信件数，某医院在一天内的急诊病人数，某地区一段时间内交通事故发生数，它们都满足“试验的次数很大，试验相互独立，且每次A发生的概率很小”这一条件，所以认为它们都是近似服从泊松分布的。

    由以上说明可知，在实际中服从泊松分布的随机变量是很多的，这体现出泊松分布是一种重要分布。

    4）讲授离散型随机变量及其分布律。如假设某一汽车开往目的地的路上会经过四个信号灯，每组信号灯以0.5的概率允许该车通过。用X表示汽车首次停下时已经通过的信号灯数，这里假设各组信号灯的工作是相互独立的，问X的可能取值有哪些以及它取不同值所对应的概率是多少？在回答这个问题时，可以先把这个问题一般化，假设汽车允许通过每个信号灯的概率是p，那么X的可能取值为0，1，2，3，4，所对应的概率分别为：

    P（X=k）=（1-p）kp，k=0，1，2，3，P（X=k）=（1-p）4

    因此，当p=0.5时，即可得到结论，并且可以通过列表的形式给出答案。这样便引出分布律的概念以及它的不同的表示方法。

    4 结语

    概率论与数理统计是本科院校开设的一门基础课程。概率论与数理统计研究的是随机变量，无论是概念的引入、定理的阐释，还是思想方法的科学解释，都带有很强的实际背景。因此，学生要学习和理解这些概念、定理以及思想方法并求解教材中的练习题，必须对实际问题有一定的认识和了解，能将实际问题进行转化，抽象出数学知识，并运用所学的概率论与数理统计知识解决实际问题。通过在概率论与数理统计课程中增加案例分析讨论课，增强学生学习的自主性和积极性，培养其兴趣，进而提高学生的自主创新能力、分析问题以及解决问题的能力。

    参考文献

    [1]郭长河，庞彦军.以应用为导向的《概率论与数理统计》教改研究[J].河北工程大学学报：社会科学版，2014，31（2）：

    98-100.

    [2]方茹，田波平，王勇.谈案例教学法在概率论与数理统计教学中的应用[J].大学数学，2014，30（z1）：59-62.

    [3]谢安.浅析概率与数理统计课程教学改革[J].统计教育，2005（4）：9-10.

    [4]王文文，张明.浅谈典型案例的选取在概率论与数理统计教学中的重要性[J].大学教育，2013（5）：75-76.

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    [6]张民悦，黎锁平，杨胜良.工科《概率论与数理统计》课程的教改研究[J].教育教学论坛，2013（26）：21-23.

    [7]齐雪林，王宁，赵仪娜.在《概率论与数理统计》课程中增加数学实验内容的探索与实践[J].高等数学研究，2016，

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