高等代数的过程性评价探索
方颖珏 尹乐
[摘 要]高等代数多采用一次终结性闭卷考试的评价方式，这种评价方式有所不足。结合高等代数的课程特点，采用过程性评价的具体方案，即阶段性考试、讨论课、课堂表现、自主学习等多种形式相结合的办法，可以对学生的学习作出综合评价。
[关键词]过程性评价；讨论课；积极性；自主学习
[中图分类号] G642.0；O15 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）03-0135-03
高等代数这门课程是数学专业的核心课程。它是中学代数的继续和提高，也是进一步学习代数和其他数学分支的基础。这门课程能够系统地培养学生的抽象思维能力、归纳概括能力等。学好这门课程，对于数学专业的学生在数学各后继学科的学习上来说是非常重要的。如何提高高等代数这门课程的教学水平和教学质量，提高学生的学习成绩，增强学生的学习能力以及使得学生所取得的课程成绩与学习态度、学习能力保持正比关系都是值得研究和探讨的重要问题。本文将结合深圳大学数学与统计学院数学与应用数学专业各方向班级的教学实践，着重从对学生的考核评价方式这个侧面来探讨。
一、高等代数课程的教学评价现状
考核评价是检查教学效果的主要手段，它既可以反映出学生的学习情况，又可以反映出教师的教学状况。一直以来，高等代数这门课程通常采用一次终结性闭卷考试的评价方式。这种单一的评价方式容易导致学生重结果、轻过程，比如平时学习散漫，考前忙于应付考试，围绕考核内容死记硬背等。这种机械训练的做法导致学生出现考试后很容易忘记，使用相关知识时慌乱的情况，容易禁锢学生的思维，不利于提高学生的自学能力、实践能力和创新能力。另一方面，期末一次终结性考试的考核评价方式不利于教师及时了解、掌握学生的学习情况，无法根据学生的学习情况适时地调整教学计划和教学过程，容易造成教与学的脱节。本文针对上述种种弊端，结合高等代数的特点，对该课程在教学评价体系上不断进行改革探索和尝试，在教学实践中广泛借鉴了不同学科许多教学改革的成果，并结合深圳大学教学平台的特点和功能，形成了一套过程性的评价方式。
二、过程性评价的教改实践
过程性评价是在课程实施的过程中对学生的学习进行评价的一种考评方式。过程性评价采取目标与过程并重的价值取向，对学习的动机、效果、过程以及与学习密切相关的非智力因素进行全面评价。[1]笔者所在的教研团队在近几年的教学实践中，结合多种传统的过程性评价方式，比如日常作业、阶段性测验、课堂表现和讨论课。同时充分利用深圳大学教学平台Blackboard提供的各种功能以及现代通信方式qq群、微信群等，积极探索促进学生发展的多元化评价内容的过程性考核评价体系。下面结合我们的实践对各项较有特色的评价方式做一些分析和探讨。
（一）阶段性测验
在阅读多种高等代数的中外教材后，我们知道它们的内容都包括多项式理论、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间和二次型五个方面。我们对以上五部分内容分阶段地进行测验，以此来取代期末的一次终结性考试。也就是说，先分别针对多项式理论、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间和二次型这五个单元进行测试，每次测试精心设计能反映该单元中重要核心内容的题目。然后根据课时长短，结合知识点的重要性按比例分配各次测验成绩所占的比重，详见下表1。
（二）课堂表现
课堂表现是指学生的课堂参与以及课堂学习状态。在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生理解教学内容的最佳方法就是参与到教学活动中来。我们把课堂参与这一随机评价列入过程性评价体系当中，主要的目的是提高学生的课堂参与水平，创建一个积极的师生相互支持、教学相长的学习环境。一方面我们针对课程内容精心设计了不同层次、富有启发性的问题，来检查学生课前预习、课堂学习以及课后复习的效果，从而启发学生深入思考，引导学生理解抽象思维过程。比如在导出n级行列式的概念时，让学生依次分析二级、三级行列式展开式形式上的规律，包括：1.包含的总项数？哪些项带正号？哪些项带负号？有多少项带正号？有多少项带负号？2.每项均有些什么共同的特点，比如每项是多少个元素的乘积？这些元素分别位于行列式的行、列什么位置？3.展开式中每项的符号有什么规律，如何确定？再由此规律抽象出n级行列式的一般定义。[2]这对于培养学生的抽象概括能力很有帮助。再如，在讲解复系数和实系数多项式因式分解定理时，向学生依次提出以下三个问题：1.为什么要研究复系数和实系数多项式的因式分解？2.复系数和实系数多项式的因式分解定理的理论基础是什么？由它如何推得相应的定理？3.复系数和实系数多项式的因式分解定理与多项式的根有什么关系？然后引导学生自己归纳总结出复系数和实系数多项式的因式分解定理。[3]这能够培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。另一方面，教师可以根据学生在课堂上回答问题的表现了解学生对知识点的掌握情况，通过课后谈话等方式了解学习状况，协助解决学习中遇到的问题，并及时调整授课进度及内容。教学实践证明，这些做法可以引导学生积极思考，使其主动表达自己的想法，提高他们参与的程度和学习的积极性。
（三）讨论课
讨论课是指教师把一些疑难问题、热点问题或者与实际紧密结合的问题布置给学生，指导学生搜集、查阅、筛选相关资料，组织学生进行探讨，以期达到消化吸收所学的理论知识、增强实践技能的目的。这种方法能够给学生留出自由想象的空间，让他们有发表个人见解的机会，对于提高学生学习的兴趣、培养思维能力、体现学生在学习中的主体地位大有裨益。[4]高等代数是一门有着广泛应用背景的数学课程，可以利用讨论课的形式把一些相关的数学建模思想贯穿到教学过程中。把讨论课纳入该课程的评价当中，能够反映出一些对学生发展非常重要的，且无法通过终结性评价体现出来的能力。比如PPT制作能力、口头演讲表达能力、团队分工合作能力、归纳概括总结的能力以及应用数学理论知识解决实际问题的能力。
如何在高等代数课程中设置讨论课内容以及如何对学生在讨论课的表现进行评价呢？可以从高等代数课程的五部分内容出发，设定相应的一些讨论议题供授课教师根据教学进度和学生兴趣共同来选择安排。比如在讲授矩阵乘法时，我们可以让学生构造图的邻接矩阵，并请学生根据矩阵乘法推理出图中不同顶点之间路的条数，使学生体会到学以致用的快乐。学习多项式时，可以让学生查找密码学中的线密码、序列密码的介绍来讨论，让他们了解与高等代数关联一些学科的发展动态，这可以开阔学生视野。至于线性方程组，各种各样的应用实例都可以适时地选为学生理论联系实际的讨论话题。比如根据交通流量设计简单的城市道路模型，根据生产销售情况合理制订生产计划等。在讲授向量空间时，选择利用线性码来检错和纠错0-1无线电信号来讨论。在学习酉空间的部分，可以简单介绍它在量子力学中的应用。
（四）自主学习
自主学习是学习过程中非常重要的环节，它体现了学生这一学习主体的主观能动性在学习过程中的主动发挥。我们重视鼓励学生自主学习，并提供了多种渠道协助学生进行自主学习，比如利用深圳大学信息中心和教务处提供的Blackboard网络教学平台，学生可以通过该平台随时下载教师更新上传的各种教学资料，同时，该平台中还有模拟测试、学习博客以及讨论区等特色模块来记录学生自主学习的过程和结果。另外，我们和选课学生建立了qq群、微信群，师生有任何需要沟通的问题都可以及时交流讨论。这样既便于师生交流，也便于学生与学生相互交流和学习，形成一个很好的交流渠道。我们希望通过上述渠道和方式，可将学生引导到深层次的自主学习方向上来，让他们有意识地主动学习，自发地探寻适合自己的学习策略，从而提高学习的质量和效果。
高等代数的过程性评价由平时作业、阶段性测验、课堂表现、讨论课、自主学习各个部分有机组成，相辅相成。平时作业能够使学生及时复习课堂讲授的内容，帮助学生及时加深理解课堂内容；阶段性测验能够促进学生在章节内容结束后及时梳理和总结学习成果，检测学习效果；课堂表现能够考察学生对学习内容的理解程度；讨论课能够指引学生找到学习新知识的方向，增强学生对基础课程的学习兴趣，培养他们的团队合作精神；自主学习鼓励和倡导学生利用多元化的渠道主动学习。最终，我们结合本课程的特点和课程的目标，按下表所述比例来构建整个过程的量化评价体系。
三、过程性评价方案实施的效果
按照上述过程性评价方案，对修读高等代数课程的学生进行课程学习的评价，是笔者及所在的教学团队近年来在深圳大学教授该课程时进行的一项教学改革实验。深圳大学对本科课程在每学期授课结束后要组织学生对课程进行测评。测评结果与学生成绩是独立的，能够真实地反映出学生对教学的认可程度。通过对比实验前后学生取得的成绩、学生对该课程的评价，我们可以看出实验已取得了一定的成效。下面的表3是实施过程性评价前后，学生对同一位高等代数课程的教师的教学测评比较。
从上述的测评可以看出，采用过程性评价前后高等代数课程在全校本科生课程的相对排名从72%的中游水平上升到了17.86%的前列，说明过程性评价方案实施后，学生对授课教师的评价，无论在教学态度、教学方法方面，还是在教学效果方面，都给予了更高的评价。
另一方面，通过对比分析过程性评价方案实施前后学生取得的成绩以及对课程的反馈，我们可以看出，过程性评价有助于提高学生的课程成绩、改善学生的学习效果。同时，可以促进教师和学生的充分沟通，促使教师及时对教学作出调整，进而获得学生的良好评价，真正做到教学相长。下面的表4是讲授高等代数课程的同一位教师在实施过程性评价实施前后、学生在难度相当的高等代数测试题中取得的成绩分布比较。
从上述成绩分布可以看出，过程性评价实施后，大多数学生的成绩得到了普遍提高，尤其是取得85分及以上成绩的优秀学生人数大幅增加，这说明采用的过程性评价方案及其实施总体上有利于提高学生成绩，改善教学效果。但也要注意到，0-59分不及格的学生人数并未有显著减少。
综上所述，过程性评价方案实施后大部分学生的学习成绩提高了，学生对教师的教学方法、教学态度的评价都有了显著的提升。这说明了对高等代数课程实施过程性评价的方案取得了良好的效果，是一项较为有效的改革措施。
四、结语
在高等代数课程中采用过程性评价能够促进学生的自主管理和自主学习，更好地掌握课程内容，提高学习成绩。同时，教师可以更加及时地了解到学生的学习状况以及对知识点的掌握情况，从而适时地调整和改进教学进度、教学方法以改善教学效果和收获学生较高的评价。
当然，在实践中我们也意识到，过程性评价也有它的局限性。由于过程性评价自始至终贯穿于教与学的全过程，这容易使得个别学生不堪其烦，自甘掉队，丧失学习兴趣，尤其是一些早期不能及时跟上学习进度的学生。同时，教师的工作量大大增加了，给教师增添了许多负担。如何改进过程性评价的技术，简化评价的工具，提高评价效率，仍然需要广泛借鉴其他学科的做法，结合本课程的特点做进一步探索。
[ 注 释 ]
[1] 高凌飚.关于过程性评价的思考[J].课程·教材·教法，2004（10）：15-19.
[2] 田元生.数学建模思想融入高等代数课程教学探究[J].湖南第一师范学院学报，2014（14）：76-77.
[3] 巫丽芸.讨论课教学过程设计与分析——以高校“经济地理学”课程为例[J].北京城市学院学报，2010（6）：72-75.
[4] 方颖珏，尹乐.离散数学的过程性评价探索[J].计算机教育，2013（22）：98-101.
[责任编辑：钟 岚]
[摘 要]高等代数多采用一次终结性闭卷考试的评价方式，这种评价方式有所不足。结合高等代数的课程特点，采用过程性评价的具体方案，即阶段性考试、讨论课、课堂表现、自主学习等多种形式相结合的办法，可以对学生的学习作出综合评价。
[关键词]过程性评价；讨论课；积极性；自主学习
[中图分类号] G642.0；O15 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）03-0135-03
高等代数这门课程是数学专业的核心课程。它是中学代数的继续和提高，也是进一步学习代数和其他数学分支的基础。这门课程能够系统地培养学生的抽象思维能力、归纳概括能力等。学好这门课程，对于数学专业的学生在数学各后继学科的学习上来说是非常重要的。如何提高高等代数这门课程的教学水平和教学质量，提高学生的学习成绩，增强学生的学习能力以及使得学生所取得的课程成绩与学习态度、学习能力保持正比关系都是值得研究和探讨的重要问题。本文将结合深圳大学数学与统计学院数学与应用数学专业各方向班级的教学实践，着重从对学生的考核评价方式这个侧面来探讨。
一、高等代数课程的教学评价现状
考核评价是检查教学效果的主要手段，它既可以反映出学生的学习情况，又可以反映出教师的教学状况。一直以来，高等代数这门课程通常采用一次终结性闭卷考试的评价方式。这种单一的评价方式容易导致学生重结果、轻过程，比如平时学习散漫，考前忙于应付考试，围绕考核内容死记硬背等。这种机械训练的做法导致学生出现考试后很容易忘记，使用相关知识时慌乱的情况，容易禁锢学生的思维，不利于提高学生的自学能力、实践能力和创新能力。另一方面，期末一次终结性考试的考核评价方式不利于教师及时了解、掌握学生的学习情况，无法根据学生的学习情况适时地调整教学计划和教学过程，容易造成教与学的脱节。本文针对上述种种弊端，结合高等代数的特点，对该课程在教学评价体系上不断进行改革探索和尝试，在教学实践中广泛借鉴了不同学科许多教学改革的成果，并结合深圳大学教学平台的特点和功能，形成了一套过程性的评价方式。
二、过程性评价的教改实践
过程性评价是在课程实施的过程中对学生的学习进行评价的一种考评方式。过程性评价采取目标与过程并重的价值取向，对学习的动机、效果、过程以及与学习密切相关的非智力因素进行全面评价。[1]笔者所在的教研团队在近几年的教学实践中，结合多种传统的过程性评价方式，比如日常作业、阶段性测验、课堂表现和讨论课。同时充分利用深圳大学教学平台Blackboard提供的各种功能以及现代通信方式qq群、微信群等，积极探索促进学生发展的多元化评价内容的过程性考核评价体系。下面结合我们的实践对各项较有特色的评价方式做一些分析和探讨。
（一）阶段性测验
在阅读多种高等代数的中外教材后，我们知道它们的内容都包括多项式理论、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间和二次型五个方面。我们对以上五部分内容分阶段地进行测验，以此来取代期末的一次终结性考试。也就是说，先分别针对多项式理论、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间和二次型这五个单元进行测试，每次测试精心设计能反映该单元中重要核心内容的题目。然后根据课时长短，结合知识点的重要性按比例分配各次测验成绩所占的比重，详见下表1。
（二）课堂表现
课堂表现是指学生的课堂参与以及课堂学习状态。在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生理解教学内容的最佳方法就是参与到教学活动中来。我们把课堂参与这一随机评价列入过程性评价体系当中，主要的目的是提高学生的课堂参与水平，创建一个积极的师生相互支持、教学相长的学习环境。一方面我们针对课程内容精心设计了不同层次、富有启发性的问题，来检查学生课前预习、课堂学习以及课后复习的效果，从而启发学生深入思考，引导学生理解抽象思维过程。比如在导出n级行列式的概念时，让学生依次分析二级、三级行列式展开式形式上的规律，包括：1.包含的总项数？哪些项带正号？哪些项带负号？有多少项带正号？有多少项带负号？2.每项均有些什么共同的特点，比如每项是多少个元素的乘积？这些元素分别位于行列式的行、列什么位置？3.展开式中每项的符号有什么规律，如何确定？再由此规律抽象出n级行列式的一般定义。[2]这对于培养学生的抽象概括能力很有帮助。再如，在讲解复系数和实系数多项式因式分解定理时，向学生依次提出以下三个问题：1.为什么要研究复系数和实系数多项式的因式分解？2.复系数和实系数多项式的因式分解定理的理论基础是什么？由它如何推得相应的定理？3.复系数和实系数多项式的因式分解定理与多项式的根有什么关系？然后引导学生自己归纳总结出复系数和实系数多项式的因式分解定理。[3]这能够培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。另一方面，教师可以根据学生在课堂上回答问题的表现了解学生对知识点的掌握情况，通过课后谈话等方式了解学习状况，协助解决学习中遇到的问题，并及时调整授课进度及内容。教学实践证明，这些做法可以引导学生积极思考，使其主动表达自己的想法，提高他们参与的程度和学习的积极性。
（三）讨论课
讨论课是指教师把一些疑难问题、热点问题或者与实际紧密结合的问题布置给学生，指导学生搜集、查阅、筛选相关资料，组织学生进行探讨，以期达到消化吸收所学的理论知识、增强实践技能的目的。这种方法能够给学生留出自由想象的空间，让他们有发表个人见解的机会，对于提高学生学习的兴趣、培养思维能力、体现学生在学习中的主体地位大有裨益。[4]高等代数是一门有着广泛应用背景的数学课程，可以利用讨论课的形式把一些相关的数学建模思想贯穿到教学过程中。把讨论课纳入该课程的评价当中，能够反映出一些对学生发展非常重要的，且无法通过终结性评价体现出来的能力。比如PPT制作能力、口头演讲表达能力、团队分工合作能力、归纳概括总结的能力以及应用数学理论知识解决实际问题的能力。
如何在高等代数课程中设置讨论课内容以及如何对学生在讨论课的表现进行评价呢？可以从高等代数课程的五部分内容出发，设定相应的一些讨论议题供授课教师根据教学进度和学生兴趣共同来选择安排。比如在讲授矩阵乘法时，我们可以让学生构造图的邻接矩阵，并请学生根据矩阵乘法推理出图中不同顶点之间路的条数，使学生体会到学以致用的快乐。学习多项式时，可以让学生查找密码学中的线密码、序列密码的介绍来讨论，让他们了解与高等代数关联一些学科的发展动态，这可以开阔学生视野。至于线性方程组，各种各样的应用实例都可以适时地选为学生理论联系实际的讨论话题。比如根据交通流量设计简单的城市道路模型，根据生产销售情况合理制订生产计划等。在讲授向量空间时，选择利用线性码来检错和纠错0-1无线电信号来讨论。在学习酉空间的部分，可以简单介绍它在量子力学中的应用。
（四）自主学习
自主学习是学习过程中非常重要的环节，它体现了学生这一学习主体的主观能动性在学习过程中的主动发挥。我们重视鼓励学生自主学习，并提供了多种渠道协助学生进行自主学习，比如利用深圳大学信息中心和教务处提供的Blackboard网络教学平台，学生可以通过该平台随时下载教师更新上传的各种教学资料，同时，该平台中还有模拟测试、学习博客以及讨论区等特色模块来记录学生自主学习的过程和结果。另外，我们和选课学生建立了qq群、微信群，师生有任何需要沟通的问题都可以及时交流讨论。这样既便于师生交流，也便于学生与学生相互交流和学习，形成一个很好的交流渠道。我们希望通过上述渠道和方式，可将学生引导到深层次的自主学习方向上来，让他们有意识地主动学习，自发地探寻适合自己的学习策略，从而提高学习的质量和效果。
高等代数的过程性评价由平时作业、阶段性测验、课堂表现、讨论课、自主学习各个部分有机组成，相辅相成。平时作业能够使学生及时复习课堂讲授的内容，帮助学生及时加深理解课堂内容；阶段性测验能够促进学生在章节内容结束后及时梳理和总结学习成果，检测学习效果；课堂表现能够考察学生对学习内容的理解程度；讨论课能够指引学生找到学习新知识的方向，增强学生对基础课程的学习兴趣，培养他们的团队合作精神；自主学习鼓励和倡导学生利用多元化的渠道主动学习。最终，我们结合本课程的特点和课程的目标，按下表所述比例来构建整个过程的量化评价体系。
三、过程性评价方案实施的效果
按照上述过程性评价方案，对修读高等代数课程的学生进行课程学习的评价，是笔者及所在的教学团队近年来在深圳大学教授该课程时进行的一项教学改革实验。深圳大学对本科课程在每学期授课结束后要组织学生对课程进行测评。测评结果与学生成绩是独立的，能够真实地反映出学生对教学的认可程度。通过对比实验前后学生取得的成绩、学生对该课程的评价，我们可以看出实验已取得了一定的成效。下面的表3是实施过程性评价前后，学生对同一位高等代数课程的教师的教学测评比较。
从上述的测评可以看出，采用过程性评价前后高等代数课程在全校本科生课程的相对排名从72%的中游水平上升到了17.86%的前列，说明过程性评价方案实施后，学生对授课教师的评价，无论在教学态度、教学方法方面，还是在教学效果方面，都给予了更高的评价。
另一方面，通过对比分析过程性评价方案实施前后学生取得的成绩以及对课程的反馈，我们可以看出，过程性评价有助于提高学生的课程成绩、改善学生的学习效果。同时，可以促进教师和学生的充分沟通，促使教师及时对教学作出调整，进而获得学生的良好评价，真正做到教学相长。下面的表4是讲授高等代数课程的同一位教师在实施过程性评价实施前后、学生在难度相当的高等代数测试题中取得的成绩分布比较。
从上述成绩分布可以看出，过程性评价实施后，大多数学生的成绩得到了普遍提高，尤其是取得85分及以上成绩的优秀学生人数大幅增加，这说明采用的过程性评价方案及其实施总体上有利于提高学生成绩，改善教学效果。但也要注意到，0-59分不及格的学生人数并未有显著减少。
综上所述，过程性评价方案实施后大部分学生的学习成绩提高了，学生对教师的教学方法、教学态度的评价都有了显著的提升。这说明了对高等代数课程实施过程性评价的方案取得了良好的效果，是一项较为有效的改革措施。
四、结语
在高等代数课程中采用过程性评价能够促进学生的自主管理和自主学习，更好地掌握课程内容，提高学习成绩。同时，教师可以更加及时地了解到学生的学习状况以及对知识点的掌握情况，从而适时地调整和改进教学进度、教学方法以改善教学效果和收获学生较高的评价。
当然，在实践中我们也意识到，过程性评价也有它的局限性。由于过程性评价自始至终贯穿于教与学的全过程，这容易使得个别学生不堪其烦，自甘掉队，丧失学习兴趣，尤其是一些早期不能及时跟上学习进度的学生。同时，教师的工作量大大增加了，给教师增添了许多负担。如何改进过程性评价的技术，简化评价的工具，提高评价效率，仍然需要广泛借鉴其他学科的做法，结合本课程的特点做进一步探索。
[ 注 释 ]
[1] 高凌飚.关于过程性评价的思考[J].课程·教材·教法，2004（10）：15-19.
[2] 田元生.数学建模思想融入高等代数课程教学探究[J].湖南第一师范学院学报，2014（14）：76-77.
[3] 巫丽芸.讨论课教学过程设计与分析——以高校“经济地理学”课程为例[J].北京城市学院学报，2010（6）：72-75.
[4] 方颖珏，尹乐.离散数学的过程性评价探索[J].计算机教育，2013（22）：98-101.
[责任编辑：钟 岚]
