一类非线性偏微分方程的数值求解

    李颖

    【摘 要】 采用有限差分法求解一类特殊的非线性拋物型偏微分方程。非线性微分方程通常采用隐式方法求解，对微分方程进行简化后可以进行显示求解。当非线性方程含有的幂次较高时，依然可以给出较为精确的结果。最后，给出了几种特殊情形的结果，结果表明程序在不同参数下依然有效。

    【关键词】 非线性偏微分方程；有限差分法；数值解

    【中图分类号】 G64.23 【文獻标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2017）13-0-02

    引言：

    偏微分方程可以用来描述真实世界的实际问题。简单的拋物型偏微分方程即热传导方程有效地表征了物体内温度随着时间的演化过程与温度分布。对于具有简单边界条件的偏微分方程，解析解可以通过分离变量法或拉普拉斯变化得到[1]。由于问题本身的复杂性，非线性偏微分方程目前主要采用数值方法求解且没有统一的求解方法。因此，针对非线性微分方程的特点选取合理的求解方法是十分重要的。有限差分法是求解偏微分方程普遍采用的数值方法之一。基于有限差分法，目前已有很多学者针对偏微分方程的数值求解展开了相关研究[2-4]，如：二维波动方程的差分方法[5]，以及有限差分法在求解一类非线性微分方程时的稳定性问题[6]。

    1 一类非线性偏微分方程的化简

    验证的例子中选取幂指数。当幂指数增大时，方程的非线性会增强，因此选取的时间步长也应相应的减小。需要指出的是，对于这类特殊的非线性微分方程，幂指数应该选取偶数，当选择奇数时计算会出现不收敛。为简化计算，和分别取为-1和1。数值计算中将整个区间划分为100个网格，时间步长为且函数取为1。

    2 数值结果

    图1给出函数值随值的变化规律，其中。从图1中可以发现，函数值在处有较为明显的转折。即使当值取值为51时，程序依然能够很好的收敛。

    3 结束语

    本文针对一类特殊的非线性拋物型偏微分方程，对方程简化后利用有限差分法对微分方程进行了数值求解。数值结果表明对于该类特殊的非线性微分方程，普通的显示方法依然可以得到较高的精度。最后给出了几种不同的条件下的数值结果验证了程序的通用性。本文的方法对求解类似非线性偏微分方程有一定的借鉴意义。

    参考文献：

    [1]顾樵.数学物理方法[M].北京：科学出版社，2012.

    [2]池永日.一类高精度非线性延迟抛物偏微分方程的紧差分格式[J].延边大学学报：自然科学版，2010，36（4）：287-290.

    [3]潘树龙，孙维夫.抛物型偏微分方程的多步有限差分法计算方法[J].烟台职业学院学报，2011，17（1）.

    [4]张文生.科学计算中的偏微分方程有限差分法[M].北京：高等教育出版社，2006.

    [5]任军号，解丹蕊.二维波动方程的一种高精度紧致差分方法[J].计算机应用研究，2012，29（6）：2112-2113.

    [6]徐琛梅.一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析[J].江西科学，2008，26（2）：245-247.