方向引领方法
沈妍隽
[摘 ?要] 在数学教学中,或许教师在教给学生解题方法的时候,应该更多地帮助他们指明解题方向,让他们拥有解题之路的指南针. 所以教师的作用就是要通过平时的不断训练和经验总结,培养学生的直觉思维,让思维有一定的指向性,使学生的解题能力得到提高.
[关键词] 学科价值;方向性;直觉思维
数学家波利亚在《怎样解题》中写到:“是的,这个解答看起来是行的,它似乎是正确的,但怎样才能想到这个解答呢?是的,这个实验看起来可行,这似乎是事实,但是人们怎么发现这个事实的?而我自己如何才能想到或发现它们呢?”一语惊醒梦中人!这不正是我们初中数学教师在教学中的难点且需要突破的吗?我们经常面临这样的场景:当老师给学生讲解习题,尤其是略有难度的题目时,有时候可能只需要老师点一下,学生就茅塞顿开,惊呼:“我当时怎么没想到呢?这么简单!”学生真的是笨吗?真的是数学知识储备不足吗?做的题目还不够多吗?我们教师不应该反思吗……为什么我们给了学生这么多方法,这么多“武林秘籍”,他们就是不会用呢?
下面以一个初三习题为例,来说明解题方向对解题方法的影响.
在平面直角坐标系中,已知A(4,0),B(-6,0)两点,点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标是多少?
题目背景 ?此题是出现在初三学生的一次周末家庭作业中,第一轮复习已经结束,第二轮专题复习正在进行中,主要就是想强化学生的方法性思考,从而培养其数学直觉和能力. 笔者在周一的批改过程中,发现好几位同学都对了,所以在课堂上就尝试让学生上黑板讲解,尤其要求学生讲出他是怎么想到这种方法的. 结果发现,学生的思路真的很开阔,而且突破口抓得既巧妙又合情合理,甚至有的方法笔者自己都未曾想到. 这说明学生在第一轮复习中,已经很好地自我修复和构建了多种数学模型或者说思想方法. 课后,笔者将学生的思路提炼出了四种较经典的代表,整理如下.
思考方向1 ?学生甲提供,他是我们班级的学霸,很多时候,他总能透过现象看本质,从而巧解各类难题. 他的思考方向是由定边加定角想到构建隐圆. 根据动点C在动的过程中,保证∠BCA不变,所以联想到圆中同弧所对的圆周角都相等,且等于所对圆心角度数的一半,从而想到建立圆来解决问题,找到解题方法. 即建立隐圆如下:如图1,以P(-1,5)为圆心,PB=5 为半径的圆,交y轴于点C,结合△PCF用勾股定理求得CF=7,从而求得点C坐标(0,12)以及其对称点(0,-12).
思考方向2 ?学生乙提供,他从初一到初三的数学都是由笔者任教,所以对于笔者平时在教学中用到的模型,应用起来比其他同学更得心应手. 他的思考方向是由“一线三等角”模型展开. 所谓一线三等角模型即三个等角顶点在同一直线上,如图2所示,则总可以证明两侧两个三角形相似. 在学生熟知这个模型的基础上,确立了构建45°一线三等角模型的思考方向. 解题分析如图3所示.
解题思路如下:构建图3,∠D和∠E都等于45°,可证得△BCD∽△CAE,从而得到 = ,即 = ,可求得CO=12,即得点C(0,12)或对称点(0,-12).
思考方向3 ?由学生丙提供,此学生的数学成绩并不是非常突出,所以他能解决这个问题,确实让笔者比较惊喜. 他没有用什么模型,只是由45°角直觉想到构建等腰直角三角形,且充分利用已知数据6和4,从而得到一些新数据,并在构建等腰直角三角形的同时,用45°角观察到产生的一些相似三角形,由此可尝试解决. (其实此法也是上题一线三等角的变式)
解题思路如下:如图4,构建等腰直角三角形△BOE和△AOD,得到新数据BO=OE=6,BE=6 ,AO=DO=4,AD=4 ,DE=2,可证得△BCE∽△CAD,得到 = ,即 = ,可求得CE=6,故CO=12,即得点C(0,12)或对称点(0,-12).
思考方向4 ?由学生丁提供,该生记忆力比较好,曾经做过的题目,他都会有较深印象. 他的思路是由第一轮复习中的一个旋转题拓展而来. 他想到将两个独立小三角形分別往两侧旋转,从而构建出一个正方形,再借助勾股定理解决.
解题思路如下:旋转△AOC、△BOC得△BEC和△ADC,延长EB,DA交于点F,可证得正方形CEFD,CE=CD=EF=DF=CO,在△ABF中,由勾股定理:BF2+AF2=AB2,通过等量代换可得:(CO-4)2+(CO-6)2=102,解得CO=12,即得点C(0,12)或对称点(0,-12).
通过一道小小的练习题,学生们就根据自己的思考方向不同,得出来这么多精彩的方法,这不得不让笔者感到欣慰和感叹!数学的解题方法千千万万,我们要做的并不是让学生掌握每一种方法,而是要他们学会自己去思考、分析、解决. 这更坚定了笔者对“方向比方法更重要”这句话的认识,只有正确的思考方向才能引领好的解题方法. 这就需要我们教师在平时教学中引导学生多问为什么,如“这个题目为什么可以这么解?”“为什么他会想到这种方法?”教他们学会从条件和结论中,最大限度地提取有用信息,将显性、隐性信息和不同数学知识联系起来,再联系最近发展区中的数学知识结构,推动信息的延续,产生解题方向. 手握“指南针”,构建成已有数学模型,形成方法,最终化为行动.
这也正是学科教学根本价值的体现,让学生学会思维、形成习惯、积累教养,将学习中的思维过程、方法策略内化为学生走向社会解决具体问题的基本技能、基本思想、基本态度和基本素质. 这何尝不是我们生活的智慧呢?只有明确了人生努力的方向,才有可能尽最大力量去寻找最佳方法来实现它!