双目标控制选择Rayleigh阻尼系数的方法

2023.05.20

王淮峰楼梦麟张如林

摘要：合理选择确定Rayleigh阻尼矩阵比例阻尼系数的振型频率对于准确计算场地地震响应有重要影响。提出以土层表面的位移反应峰值误差与加速度反应峰值误差的加权平方和为控制目标，基于完全二次项平方根振型组合方法建立控制目标与Rayleigh阻尼系数的函数关系，以控制目标最小为原则形成求解Rayleigh阻尼系数的方法。随机选择28条具有代表性的地震波，通过对某典型深厚土层模型进行地震反应分析，并与其他研究成果进行对比，验证所建议方法的精度及适用性。关键词：地震响应分析； Rayleigh阻尼；阻尼系数；双目标控制；深覆盖土层

中图分类号： TU311.3； O322文献标志码： A文章编号： 10044523（2017）04063808

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.015

1概述

结构体系阻尼的形成涉及较多的影响因素，其形成机理极为复杂，目前尚难以定量。基于黏滞阻尼模型的Rayleigh阻尼矩阵由于数学处理的方便而得到广泛应用。Rayleigh阻尼矩阵是由结构体系的质量矩阵和刚度矩阵的线性组合而成C=αM+βK（1）式中M，C和K分别是结构体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，α为质量比例系数，β为刚度比例系数。根据振型的正交性，由Rayleigh阻尼矩阵计算所得的动力系统各阶振型阻尼比可表示为ζi=α2ωi+βωi2（2）式中ωi是第i阶振型的圆频率，ζi为第i阶振型阻尼比的近似计算值。通过选取结构的两个振型频率（ωj，ωk）及对应振型阻尼比（ζj，ζk），可确定质量比例系数和刚度比例系数。这样，除了这两阶振型之外，由Rayleigh阻尼矩阵确定的其他振型阻尼比都与真实的振型阻尼比不一致，由此，会高估或低估这些振型对结构动力响应的贡献，使得結构动力响应的计算结果出现偏差。

工程计算和研究工作中广泛使用Rayleigh阻尼矩阵，但是关于Rayleigh阻尼矩阵对结构动力响应计算结果带来影响的认识并不深入。其原因之一是：以往大量工程结构的基频高于或接近于外部动力作用主要分量的激励频率，而结构的低阶振型对结构总动力响应起主要控制作用，因此往往选取结构的两个低阶振型来确立Rayleigh阻尼矩阵，由于低阶振型的计算阻尼比与真实阻尼比相一致，Rayleigh阻尼矩阵带来的计算误差就很小。楼梦麟等[12]和马俊玲等[3]的研究表明：当结构基频远低于外部动力作用主要分量的激励频率时，仅选择结构的两个低阶振型对应的频率和阻尼比来计算Rayleigh阻尼矩阵的比例系数，将使结构的动力反应被低估。为改进Rayleigh阻尼矩阵的数值建模，有研究工作[47]选择结构或者地震波的某些特定频率（及对应的阻尼比）来确定Rayleigh阻尼矩阵的比例系数，这些特定频率包括结构基频、其他对结构反应有显著贡献的高阶振型频率、激励时程的反应谱（或傅氏谱）的峰值或谱曲线重心对应的频率、场地特征频率等。

为避免选取参考频率的经验性和任意性，刘红石[8]提出采用加权最小二乘法从振型阻尼比误差最小的角度计算Rayleigh阻尼矩阵的比例系数，建议以权重系数反映各阶振型对动力反应贡献的差异，但没有提出相应的权重系数。Yang等[9]提出以峰值应变能系数γ2iMiS2vi（其中γi为第i阶振型的参与系数，Mi为第i阶振型的广义质量，Svi为第i阶振型的速度反应谱值）作为权重系数，而潘旦光等[10]建议以γ2iφ2kiS′2ui（其中φki为第i阶振型向量的第k个元素，S′ui为第i阶振型的位移反应谱对振型阻尼比的导数）作为权重系数。这些方法都是双参数优化方法，董云等[11]提出基于结构基频的单参数优化方法，不仅考虑结构基本振型对结构地震反应的重要性，也使得计算过程简化，便于工程应用。除加权最小二乘法外，Spears等[12]提出以控制∑ni=1MeiAi（其中Mei为第i阶振型的有效质量，Ai为频率与第i阶振型频率一致的单自由度体系的最大加速度响应）接近于零为目标，通过迭代方法求解Rayleigh阻尼矩阵的比例系数。

第4期王淮峰，等：双目标控制选择Rayleigh阻尼系数的方法振动工程学报第30卷重大工程场地的地震安全性评价工作中通常需要对土层的地震反应进行分析。而深覆盖土层场地基频往往较低（如上海约300 m厚的土层，其基频约0.5 Hz），远低于常见基岩地震波主要分量的激励频率。因此，要较准确地计算此类场地的地震响应，首先需要合理选择确定Rayleigh阻尼矩阵比例系数的参考振型频率。本文作者[13]曾基于完全二次项平方根振型组合方法（CQC），以土层表面加速度反应峰值的误差为控制目标，同时将土层基频作为参考频率之一，建立加速度反应峰值误差与Rayleigh阻尼系数的函数关系，进而以误差最小为原则形成求解Rayleigh阻尼矩阵的比例系数的方法。采用此方法求解Rayleigh阻尼系数后，位移和加速度反应峰值的误差均在±30%以内，且基本为正值，即计算结果偏于安全，可以在工程实践中使用。

本文在前述研究基础[13]上，提出以土层表面的位移反应峰值误差与加速度反应峰值误差的加权平方和为控制目标，基于CQC方法建立控制目标与Rayleigh阻尼系数的函数关系，以控制目标最小为原则形成求解Rayleigh阻尼系数的方法，进一步减小Rayleigh阻尼模型带来的计算误差，以满足工程实践的需要。

2深覆盖土层Rayleigh阻尼系数优化理论[13]一致地震输入作用下，多自由度体系的强迫振动方程可表示为Mt+Ct+Kut=-M1gt（3）式中1是全部元素为1的列向量；gt是输入的加速度时程；ut，t，t分别是相对位移、相对速度、相对加速度列向量。

体系第i阶振型对第k自由度的最大响应量rkmax的贡献rkmax，i可表示为rkmax，i=γiφkiSrζi，ωi（4）式中Srζi，ωi是第i阶振型响应量r的反应谱。这里r是体系的位移反应、速度、加速度反应或其他动力响应量。

将反应谱在各阶振型处按一阶Taylor级数展开得到Sr ζi ，ωi ≈Srζ*i，ωi + S′r ζ*i，ωi ζi -ζ*i（5）式中S′r ζ*i，ωi = Sr ζ*i，ωi ζ*i是反应谱对第i阶振型精确阻尼比的偏导数。带“*”对应于精确阻尼比。

基于CQC方法，第k自由度的最大响应量的绝对误差Erkmax可表示为Erk max =∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′r ζ*i，ωi ·

S′r ζ*j，ωj ζi -ζ*iζj -ζ*j1/2（6）式中ρij是第i阶振型和第j阶振型的耦联系数。

将基频作为确定Rayleigh阻尼系数的一个参考频率，且假定所有振型的精确阻尼比相等，则由式可得：α=2ω1ζ*i-ω21β（7）

ζi= ωi-ω1ωiωi+ω12β+ω1ωiζ*i（8）为了使Erkmax取得最小值，将式（8）代入式（6）后令Erkmax2β=0（9）得到β=-D2/D1（10）式中D1 = 2∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′r ζ*i，ωi S′r ζ*j，ωj ·

ωi -ω1 ωi ωj -ω1 ωj ωi + ω1 2ωj + ω1 2

D2 =-∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′r ζ*i，ωi S′r ζ*j，ωj ·

ωi -ω1 ωi ωi + ω1 2ωj -ω1 ωj ζ*j +

ωj -ω1 ωj ωj + ω1 2ωi -ω1 ωi ζ*i（11）由式（10）求解出β后再代入式（7）求解α。

3双目标控制的Rayleigh阻尼系数优化理论本文作者在文献[13]中所采用的以上方法仅选择单一響应量（加速度）峰值的误差为控制目标，为使位移和加速度响应的误差均较小，在此基础上作者以位移反应峰值误差与加速度反应峰值误差的加权平方和为控制目标，建立双目标控制的Rayleigh阻尼系数优化理论。

基于CQC方法，第k自由度的最大响应量rkmax及其相对误差erkmax可分别表示为：rkmax=∑ni=1∑nj=1（ρijγiγjφkiφkjSrζi，ωi·

Sr（ζj，ωj））1/2（12）

erk max =∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′r ζ*i，ωi ·

S′r ζ*j，ωj ζi-ζ*iζj-ζ*j1/2/

∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj Sr ζ*i，ωi Sr ζ*j，ωj 1/2（13）当选取响应量r为位移反应u或者加速度反应a时，则Srζi，ωi为第i阶振型的位移反应谱Suζi，ωi或者加速度反应谱Saζi，ωi，可分别表示为：Suζi，ωi=-1ωiD∫t0gτexp-ζiωit-τ·

sinωiDt-τdτmax（14）

Saζi，ωi=ω2iωiD∫t0gτexp-ζiωit-τ·

sinωiDt-τ+2θidτmax（15）式中ωiD=ωi1-ζ2i是第i阶振型的有阻尼圆频率，θi=arctanζi1-ζ2i是第i阶振型的相位角。

将式（2），（14），式（15）代入式（13）可得到第k自由度的位移反应峰值的相对误差eukmax和加速度反应峰值的误差eakmax分别为：euk max =∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′u ζ*i，ωi S′u ζ*j，ωj ·

α2ωi + βωi 2-ζ*iα2ωj +βωj 2-ζ*j1/2/

∑ni=1∑nj=1（ρij γi γj φki φkj Su ζ*i，ωi Suζ*j，ωj）1/2（16）

eakmax =∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′a ζ*i，ωi S′a ζ*j，ωj ·

α2ωi+βωi 2-ζ*iα2ωj+βωj 2-ζ*j1/2/

∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj Sa ζ*i，ωi Sa ζ*j，ωj 1/2（17）为同时控制位移反应和加速度反应的误差，令ek2=Queukmax2+Qaeakmax2（18）式中Qu，Qa分别为位移反应和加速度反应的权重系数。

为使ek2取得最小值，令ek2对α和β的偏导数为零，即可得到求解α和β的二元一次方程组ek2α=A11Q2uα+A12Q2uβ+A13Q2u+

B11Q2aα+B12Q2aβ+B13Q2a=0

ek2β=A21Q2uα+A22Q2uβ+A23Q2u+

B21Q2aα+B22Q2aβ+B23Q2a=0 （19）式中：A11=

∑ni=1∑nj=1ρij γi γj φki φkj S′u ζ*i，ωi S′u ζ*j，ωj 12ωi 12ωj ∑ni=1∑nj=1ρij γi γj φki φkj Suζ*i，ωi Su ζ*j，ωj

A12=A21=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′u ζ*i，ωiS′u ζ*j，ωj12ωiωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSuζ*i，ωiSuζ*j，ωj

A22=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′u ζ*i，ωiS′u ζ*j，ωjωi2ωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSuζ*i，ωiSuζ*j，ωj

A13=

-∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′u ζ*i，ωiS′u ζ*j，ωjζ*j12ωi∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSuζ*i，ωiSuζ*j，ωj

A23=

-∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′u ζ*i，ωiS′u ζ*j，ωjζ*iωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSuζ*i，ωiSuζ*j，ωj（20）

B11=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωj12ωi12ωj∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj

B12=B21=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωj12ωiωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj

B22=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωjωi2ωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj

B13=

-∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωjζ*j12ωi∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj

B23=

-∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωjζ*iωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj（21）这里，当取加速度反应的权重系数Qa=0（Qa/Qu=0）时，本文方法退化为仅以位移反应峰值的误差为控制目标求解Rayleigh阻尼系数的方法；当取位移反应的权重系数Qu=0（Qa/Qu=∞）时，本文方法退化为仅以加速度反应峰值的误差为控制目标求解Rayleigh阻尼系数的方法。

4数值分析讨论〖*2〗4.1土层模型和输入地震波下面以文献[13]所选用的上海某处地质剖面及28条具有代表性的地震波来建立土层有限元模型并进行地震反应分析，从而讨论以上双目标控制选择Rayleigh阻尼系数方法的精度。土层参数如表1所示，土层基频0.49 Hz。本文研究的是线性问题，因此不考虑土体的非线性特性，采用有阻尼的线弹性模型，阻尼比5%。参照文献[14]的研究，水平向土层范围取为20倍土层深度，并约束边界节点的竖直向自由度。为考虑地震波能量在土体中的传播，参照文献[15]的研究，沿波传播方向有限元网格的最大尺寸为λmin/16，这里λmin=CS/fmax，CS为土层的剪切波速，fmax为最大截止频率，取fmax=25 Hz。随机选择28条具有代表性的地震波作为地震动输入，地震波信息如表2所示，加速度峰值取单位1（因本文研究的是线性问题，可以统一加速度峰值以方便比较分析）。图1为地震波的加速度时程及反应谱（鉴于篇幅有限，本文仅给出TMZ000地震波的数据）。

表1土层参数

Tab.1Parameters of soil layers

序号土层性质土层厚

度/m剪切波速/

（m·s-1）密度/

（kg·m-3）1杂填土2.110019002粉质黏土1.211018603淤泥质粉质

黏土夹砂6.212018404淤泥质黏土5.515017605黏土920018206粉质黏土3.526020107砂质粉土10.528019008粉细砂2233019409砂质粉土12.5350190010粉细砂6360193011粉砂夹中粗砂21.5380194012粉细砂夹中砂10420197013粉细砂夹中砂10480197014粉细砂夹中砂10520197015粉细砂夹中砂10540197016粉细砂夹中砂10520197017粉质黏土15480200018粉细砂夹粗砂12500195019粉细砂夹粗砂12530195020粉细砂夹粗砂11530195021粉细砂夹粗砂10530195022黏土夹粉砂10530200023黏土夹粉砂10530200024黏土夹粉砂10530200025黏土夹粉砂10530200026基岩-8002400图1地震波加速度时程及反应谱

Fig.1Acceleration time histories and its spectra表2输入地震波

Tab.2Earthquake ground motions

序号代号地震时间1R13%人工波（超越概率3%）2R110%人工波（超越概率10%）3R163%人工波（超越概率63%）4CPM030Northern California1975/6/75GGP100San Francisco1957/3/226GRN180Landers1992/6/287KAUNSChiChi1999/9/208LAMEWDuzce1999/11/129LIT180Northridge1994/1/1710LUACUTWenchuan2008/5/1211MCH000Loma Prieta1989/10/1812MSKEWKocaeli1999/8/1713TTNNSChiChi， Taiwan1999/9/2014TVY045Anza （Horse Cany）， USA1980/2/2515WON075Whittier Narrows1987/10/116C08050Parkfield， USA1966/6/2817CPE045Victoria， Mexico1980/6/918DVD246Livermore， USA1980/1/2419EILEWAqaba， Jordan1995/11/2220ELCNSImperial Valley， USA1940/5/1821FERT1Tabas， Iran1978/9/1622MLS270Mammoth Lakes， USA1980/5/2523ORR090Northridge， USA1994/1/1724S3270Nahanni， Canada1985/12/2325SHP010Victoria， Mexico1980/6/926STG000Loma Prieta， USA1989/10/1827TAZ090Kobe， Japan1995/1/1628TMZ000Friuli， Italy1976/5/64.2Rayleigh阻尼系數计算方法

在计算Rayleigh阻尼系数时，采用本文提出的双目标控制选择Rayleigh阻尼系数的方法，分别取位移反应和加速度反应的权重系数之比为Qa/Qu=0，Qa/Qu=0.1，Qa/Qu=0.5，Qa/Qu=1，Qa/Qu=2，Qa/Qu=10，Qa/Qu=∞。此外，同时也采用文献[6]和文献[13]建议的方法计算Rayleigh阻尼系数以进行对比分析。

4.3计算结果

为验算本文方法的精度，土层模型地震反应分析的精确解采用振型叠加法计算，假定各阶振型的精确阻尼比均为5%（假定各阶振型的精确阻尼比相等在地震反应分析中被广泛采用[6]，此假定的合理性不在本文的研究范围之内，但本文方法并不局限于此情况，对于各阶振型的精确阻尼比不相等的情况同样适用）。

下面以土层地表点动力反应的误差来讨论Rayleigh阻尼系数计算方法的精度，定义为e=rRmax-rMmaxrMmax×100%（22）式中rMmax是采用振型叠加法计算所得对应于精确阻尼的最大反应（位移或者加速度），rRmax是采用本文方法、文献[6]或文献[13]建议方法计算Rayleigh阻尼系数时对应于Rayleigh阻尼的最大反应（位移或者加速度）。

表3为确定Rayleigh阻尼系数的两阶参考频率，图2为Rayleigh阻尼带来的地表点位移反应峰图2地表点动力反应的相对误差

Fig.2Relative errors表3确定Rayleigh阻尼系数的两阶参考频率

Tab.3Two reference frequencies for calculation of Rayleigh damping coefficients

地震波

编号文献[6]

推荐方法文献[13]

推荐方法本文方法

Qa/Qu=0本文方法

Qa/Qu=0.1本文方法

Qa/Qu=0.5本文方法

Qa/Qu=1本文方法

Qa/Qu=2本文方法

Qa/Qu=10本文方法

Qa/Qu=∞fjfkfjfkfjfkfjfkfjfkfjfkfjfkfjfkfjfkCPM0300.497.140.496.471.565.281.575.401.666.221.836.472.196.572.776.652.826.65GGP1000.494.550.495.010.572.810.593.170.694.680.884.991.385.212.445.762.545.85GRN1800.491.220.491.790.491.340.491.430.501.730.511.770.521.790.551.800.551.80KAUNS0.4910.000.495.260.491.660.503.620.515.160.565.270.655.350.795.450.815.46LAMEW0.495.560.494.500.501.760.513.270.544.430.614.510.784.581.064.681.084.69LIT1800.493.330.494.160.491.250.501.530.523.380.553.970.634.250.844.580.864.62LUACUT0.490.500.491.820.491.500.491.670.491.810.491.820.491.820.491.820.491.82MCH0000.496.250.494.160.492.140.492.680.503.960.504.110.534.160.684.220.724.23MSKEW0.495.880.494.430.531.650.572.540.714.340.934.631.204.891.415.101.425.11TTNNS0.492.940.493.730.491.900.492.600.503.620.523.710.573.750.683.800.693.81TVY0450.4911.110.496.411.824.411.874.712.096.332.276.732.436.882.536.942.536.95WON0750.4910.000.495.480.561.810.582.210.654.650.725.320.925.621.536.061.616.12R13%0.495.560.494.420.492.580.502.710.514.240.554.390.654.460.944.580.984.60R110%0.494.170.494.260.491.520.502.050.513.880.544.180.614.300.864.470.894.50R163%0.494.760.494.560.501.820.493.720.504.500.514.550.554.570.704.610.734.61C080500.496.250.495.110.501.620.502.290.524.630.565.020.685.221.035.571.075.63CPE0450.494.350.492.910.551.420.561.500.682.360.812.891.023.281.263.701.283.74DVD2460.494.760.493.870.492.020.493.040.493.810.503.860.513.870.543.890.543.89EILEW0.492.220.493.450.491.600.502.470.513.380.563.460.643.500.733.550.743.55ELCNS0.494.000.493.050.501.260.511.420.562.590.653.050.823.391.033.831.043.87FERT10.497.690.494.610.501.520.511.890.533.940.574.460.694.701.045.091.095.14MLS2700.497.140.493.960.491.970.502.130.513.330.543.780.654.001.324.631.494.88ORR0900.493.850.492.810.521.260.551.420.712.530.862.951.063.241.223.491.233.51S32700.4916.670.496.250.493.000.495.750.496.230.506.250.536.260.586.280.586.28SHP0100.494.550.493.620.491.970.492.650.513.530.543.610.633.650.853.740.873.75STG0000.496.250.494.740.491.650.493.540.514.680.554.750.624.800.714.850.724.85TAZ0900.492.130.493.580.501.680.502.220.523.420.573.570.703.660.963.800.993.82TMZ0000.493.850.492.800.531.570.531.650.592.360.692.720.912.951.373.411.413.47值和加速度反應峰值的相对误差e，表4为相对误差e的平均值和标准差。

表4相对误差统计数据/%

Tab.4Statistical data of relative errors /%

Rayleigh阻尼系数

计算方法位移加速度平均值标准差平均值标准差文献[6]推荐方法6.1 10.4 17.9 24.8 文献[13]推荐方法4.7 7.8 9.7 12.5 本文方法Qa/Qu=00.0 2.1 -14.3 17.1 本文方法Qa/Qu=0.10.6 2.5 -6.2 11.7 本文方法Qa/Qu=0.51.6 3.8 5.8 8.9 本文方法Qa/Qu=10.4 3.5 6.9 9.1 本文方法Qa/Qu=2-2.6 4.4 6.1 8.0 本文方法Qa/Qu=10-8.1 9.6 4.1 6.2 本文方法Qa/Qu=∞-8.6 10.2 3.9 6.0 4.4分析与讨论

显然，当权重系数之比Qa/Qu=0时，除CPM030和TVY045地震波外，第一个参考频率均等于或略高于土层基频。这是因为当权重系数之比Qa/Qu=0时，本文的控制目标仅关注位移响应，而当激励地震波能量没有非常集中于高频时，体系第1阶振型对于位移响应的贡献最大。CPM030和TVY045地震波因其能量非常集中于高频，故此时体系第1阶振型对于位移响应的贡献并非最大。当权重系数之比Qa/Qu增大时，两阶参考频率也随之增大，这是因为此时控制目标更加关注加速度响应，而相较于位移响应，体系高阶振型对于加速度响应的贡献较显著。

采用文献[6]推荐的方法，误差较大且基本为正值（位移反应峰值的误差在-2.8%～32.9%之间，加速度反应峰值的误差在-4.3%～59.4%之间），应用于工程实践中将使得计算结果基本过于保守。采用文献[13]推荐的方法，位移反应的误差范围基本不变而加速度反应的精度有了较好的提升（位移反应峰值的误差在-2.4%～27.3%之间，加速度反应峰值的误差在-0.5%～30.3%之间），同样误差基本为正值。

采用本文方法，当Qa/Qu=0时，位移反应峰值的相对误差为所有方法中最小（在-7.0%～4.1%之间），且标准差最小（2.1），即离散性最小；但加速度反应峰值的相对误差较大，且基本为负值（在-29.2%～0%之间），应用于工程实践中将使得计算结果偏于危险。因此当仅关注土层场地的位移反应时可取Qa/Qu=0。当Qa/Qu=∞时，加速度反应峰值的相对误差为所有方法中最小（在-7.0%～15.5%之间），且标准差最小（6.0），即离散性最小；但位移反应峰值的相对误差较大，且基本为负值（在-19.3%～0.2%之间），应用于工程实践中将使得计算结果偏于危险。因此当仅关注土层场地的加速度反应时可取Qa/Qu=∞。

当Qa/Qu在0到∞之间变化时，随着Qa/Qu的增大，位移反应峰值的误差及其标准差增大，而加速度反应的误差及其标准差减小。当Qa/Qu=10时，计算结果已接近Qa/Qu=∞的计算结果。当Qa/Qu=1时，位移反应和加速度反应的误差均控制在较好的范围之内（位移反应峰值的误差在-8.1%～7.8%之间，加速度反应峰值的误差在-2.2%～18.6%之间），位移反应峰值的误差在±10%以内，而加速度反应峰值的误差相对较大，但也控制在±20%以内，且基本为正值，即应用于工程实践中将使得计算结果偏于安全。因此土层地震反应分析时，当同时关注场地的位移反应和加速度反应时可取Qa/Qu=1。

当Qa/Qu=∞时，第一个参考频率为Qa/Qu=0时的1.0～4.4倍，第二個参考频率为Qa/Qu=0时的1.2～3.4倍，两个参考频率的变化均十分显著。当Qa/Qu=0时，控制目标仅关注位移响应；当Qa/Qu=∞时，控制目标仅关注加速度响应。即关注响应量不同时，两个参考频率的变化均十分显著。因此，对于体系基频远高于外部动力作用主要分量激励频率的情况，当阻尼矩阵采用Rayleigh阻尼矩阵建模时，很难将不同响应量的误差均控制在较小（±10%）的范围内。

5结论

重大工程场地的地震安全性评价工作中通常需要对土层的地震反应进行分析。而深覆盖土层场地基频往往较低，远低于基岩地震波主要分量的激励频率。因此，要较准确地计算此类场地的地震响应，首先需要合理选择确定Rayleigh阻尼矩阵比例系数的参考振型频率。本文在作者之前的研究基础[13]上，提出以土层表面的位移反应峰值误差与加速度反应峰值误差的加权平方和为控制目标，基于完全二次项平方根的振型组合方法建立控制目标与Rayleigh阻尼系数（α和β）的函数关系，以控制目标最小为原则形成求解Rayleigh阻尼系数的方法，以满足工程实践中同时关注土层场地位移和加速度反应的需要。最后以上海某处土层模型为例，计算其在28条各具代表性的地震波激励下的动力反应，并与其他研究成果进行对比，验证了本文所建议方法的精度及适用性。

参考文献：

[1]楼梦麟，张静. 结构爆破地震反应计算中的阻尼模型[J]. 防护工程， 2009，31（10）：15—19.

LOU Menglin， ZHANG Jing. Damping model for blasting seismic response analysis of structure[J].Protective Engineering， 2009，31（10）：15—19.

[2]楼梦麟，隋磊，沈飞. 不同阻尼矩阵建模对超高层结构地震反应分析的影响[J]. 结构工程师， 2013（01）：55—61.

LOU Menglin， SHUI Lei， SHEN Fei. Effects of damping matrix modeling on seismic response of super highrise structure[J]. Structural Engineering， 2013（01）：55—61.

[3]马俊玲，丁海平. 土层地震反应分析中不同阻尼取值的影响比较[J]. 防灾减灾工程学报， 2013，（05）：517—523.

MA Junling， DING Haiping. Comparative study on influence of different damping values in soillayer seismic response analysis[J]. Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering， 2013，（05）：517—523.

[4]Chopra A K. Dynamics of Structures： Theory and Applications to Earthquake Engineering[M]， 2nd edition. New Jersey： Upper Saddle River， PrenticeHall， 2001.

[5]Hudson M， Idriss I M， Beikae M. User's Manual for QUAD4M：A Computer Program to Evaluate the Seismic Response of Soil Structures Using Finite Element Procedures and Incorporating a Compliant Base[R].Berkeley： University of California， 1994.

[6]楼梦麟，邵新刚. 深覆盖土层Rayleigh阻尼矩阵建模问题的讨论[J]. 岩土工程学报， 2013，35（07）：1272—1279.

LOU Menglin， SHAO Xingang. Discussion on modeling issues of Rayleigh damping matrix in soil layers with deep deposit[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2013， 35（7）： 1272—1279.

[7]丁海平，马俊玲. 基于場地特征周期的瑞利阻尼确定方法[J]. 岩土力学， 2013，（S2）：35—40.

DING Haiping， MA Junling. A method for determining Rayleigh damping based on site characteristic period[J]. Rock and Soil Mechanics， 2013，（S2）： 35—40.

[8]刘红石. 相对误差与Rayleigh阻尼比例系数的确定[J]. 湖南工程学院学报， 2001，11（34）：36—38.

LIU Hongshi. Relative error and determination of Rayleigh damping proportionality coefficient[J]. Journal of Hunan Institute of Engineering， 2001， 11（34）： 36—38.

[9]Yang D B， Zhang Y G， Wu J Z. Computation of Rayleigh damping coefficients inseismic timehistory analysis of spatial structures[J]. Journal of the International Association for Shell and Spatial Structures， 2010，51（2）：125—135.

[10]潘旦光，高莉莉，李小翠. 求解Rayleigh阻尼系数的加权最小二乘法[J]. 计算力学学报， 2015，（01）：70—76.

PAN Danguang， GAO Lili， LI Xiaocui. Weighted least squares method for solving Rayleigh damping coefficients[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2015，（01）：70—76.

[11]董云，楼梦麟. 基于结构基频确定Rayleigh阻尼系数的优化方法及其讨论[J]. 湖南大学学报（自然科学版）， 2014，41（2）：8—13.

DONG Yun， LOU Menglin. An optimization solution for Rayleigh damping coefficients based on the fundamental frequency of structure[J]. Journal of Hunan University （Natural Science）， 2014，41（2）：8—13.

[12]Spears R E， Jensen S R. Approach for selection of Rayleigh damping parameters used for time history analysis[J]. Journal of Pressure Vessel Technology， 2012，134（6）：61801—61807.

[13]王淮峰，楼梦麟，张如林. 深覆盖土层动力响应时程分析中Rayleigh阻尼系数的确定[J]. 岩土工程学报， 2016，38（3）：468—476.

WANG Huaifeng， LOU Menglin， ZHANG Rulin. Determining Rayleigh damping parameters for time history analysis of soil layers with deep deposit[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2016， 38（3）：468—476.

[14]楼梦麟，潘旦光，范立础. 土层地震反应分析中侧向人工边界的影响[J]. 同济大学学报（自然科学版）， 2003，31（7）：757—761.

Lou Menglin， Pan Danguang， Fan Lichu. Effect of vertical artificial boundary on seismic response of soil layer[J]. Journal of Tongji University（Natural Science） 2003，31（7）：757—761.

[15]宗福开. 波传播问题中有限元分析的频散特性及离散化准则[J]. 爆炸与冲击， 1984，4（4）：16—23.

Zong Fukai. Frequency Dispersion Characteristics and Discretization of the Finite Element Analysis in Wave Propagation Problems[J]. Explosion and Shock Waves， 1984，4（4）：16—23.

A method for determining Rayleigh damping parameters based

on dualobject control

WANG Huaifeng1， LOU Menglin2， ZHANG Rulin3

（1. School of Civil Engineering and Architecture， Xiamen University of Technology， Xiamen 361024， China；

2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China；

3. College of Pipeline and Civil Engineering， China University of Petroleum， Qingdao 266580， China）

Abstract： The appropriate selection of frequencies for determining Rayleigh damping parameters is significant for the accurate analysis of soil layers with deep deposit. The square weighted sum of errors of peak displacement response and peak acceleration response is proposed to be control objective and its functional relation with Rayleigh damping parameters is established based on complete quadratic combination method. Then a method for determining Rayleigh damping parameters is formed by minimizing the control objective. Dynamic response of a typical soil model with deep deposit， exciting by 28 typical seismic waves， is analyzed to verify the calculation accuracy and applicability of the proposed method. Key words： dynamic response analysis； Rayleigh damping； damping parameters； dualobjective control； soil layers with deep deposit作者簡介：王淮峰（1986—），男，讲师。电话：（0595）22886883； Email： whf_tj@163.com