线性代数课程设置构想
韩加坤++黄键
[摘 要]面对当代大学生学习兴趣淡化、多种新型学习形式的出现，结合应用型本科院校《线性代数》教学现状，对教与学过程中出现的问题展开分析。从教学理念及内容设置等方面对传统的线性代数课程进行尝试性改革，并从近几年的教学实践对这一想法进行了验证，效果比较理想。
[关键词]线性代数；在线学习；MOOC；课程设置
[中图分类号] O151.2 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）02-0143-03
一、问题引入
线性代数是数学的一个分支，其研究对象是向量、向量空间、线性变换及有限维的线性方程组。它被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中，通过解析几何线性代数被具体表示。由于科学研究中的非线性模型经常被线性模型来逼近，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数课程作为理工科专业的一门数学基础课，对培养学生线性问题的求解能力和线性空间的思维能力具有重要意义。以下仅对应用型本科院校线性代数课程教学过程中存在的问题进行分析，并给出课程设置如内容取舍及教材选择等方面的一些建议。
二、存在的问题
（一）教师把问题推向了抽象的一面
在线性代数课堂教学中，教师可能会发现这样一个问题：学生反映线性代数的学习比微积分抽象、难学。[1]为什么？原因在于高等数学处理的是三维空间的问题而线性代数把问题推广到n维空间。在微积分学习中常用的现实问题驱动、目的性较强的探究性教学方法[2]在线性代数的课堂上不易实现了。虽然线性代数的应用性例题很多，但不容易课堂实现，简单一些的例子不足以体现代数知识的应用，稍微复杂一些的例子计算又十分繁琐，达不到课堂上举例子说明问题的效果。例如[2]要求解图1所示的滤波器，需要列出13个线性方程，要想手工解决这一问题几乎是不可能的。鉴于此，传统教材以及任课老师只好避开“问题驱动”和“案例式”教学方法，走向了应用性的对立面，把知识向抽象的一面发展，更多地去探求数学知识本身。这样很容易让学生感觉这门课程过于抽象，导致厌学情绪。
（二）现代教育思潮对传统的教学方式提出了质疑
随着社会环境的不断变化，互联网在PC特别是移动端的普及，各种互联网思维巨浪般向社会上思维最活跃、最乐于体验各种新鲜事物的一个群体——在校大学生袭来。面对网络海量信息的诱惑，有的学生沉迷于网络游戏中，有的成天泡在各种社交APP上刷存在感，一时网络变成了老师家长在线眼中的洪水猛兽。也有一些教师趁势而为，创造性地提出了继网络公开课之后的微课、慕课（MOOC，Massive Open Online Course）等依赖网络的学习形式。国内外很多慕课平台如雨后春笋般爆发出来，受到世界各国学生的好评。围绕着慕课、后台数据分析及由此引发的一系列课程改革[3]的教研文章也多了起来，其中一些学者对传统的教学形式产生了怀疑，提出应该对传统的大学教学方式进行彻底的改革。同时，一些教育工作者也对慕课现象进行了深入的思考。[4]
三、问题分析
（一）教师要更新教学理念选择恰当的辅助教学工具
作为一门课程，从知识完整性、缜密性方面我们不应否认代数理论知识本身的重要性。线性代数课程教师几乎全部由经受过7-10年完整系统数学知识学习的人担任。长时间的逻辑思维锻炼使得这一群体习惯严密的逻辑思考，且十分乐于享受这种美，授课过程中比较容易进入陶醉状态。但作为一门公共基础课，线性代数的课程设计更应关注学生的感受，考虑到他们后续课程的衔接需求。
在应用型的本科院校，学生学习好比建房子，专业课老师看重的是房子的功能、外部造型是否与周围的建筑环境相融合；而数学老师则是在房子的里面，看每个房间的布置与内部构造。专业课老师希望学生经过数学的训练可以顺畅的进行一些运算，强调数学的工具性，而不过多的关心这个工具是怎么发明的、它的工作原理是什么。所以为了满足学生学习的顺畅，满足学生的发展要求，就要求数学老师要对传统的教学内容进行适当的调整，并在教学过程中适当关注线性代数实用性的一面。
对于图1所示的这一比较贴近生活实际的问题，教师只要在课堂上调用一下Matlab，花几秒钟写一段小程序就可以给出理想的结果。这样既当场解决了问题让学生了解处理问题的一般过程又可以吸引学生的注意力，让他们尽早接触程序设计并激起其学习兴趣。
（二）客观看待线上课程的教育功能
作者有幸先后参加了由浙江省教育厅高教处主办宁波大学承办的MOOC与翻转课堂研讨会以及由教育部爱课程网（http：//www.icourses.cn/home/）主办由浙江大学承办的在线课程学习研讨会，听了很多相关领域的专家学者、国内一些名牌大学教授的报告，受益良多。线上学习形式的产生使得优质教育大众化成为可能；使得大学能真正能称之为“大学”，因为它可以同时满足全球几十万人选修同一门课程；很大程度上为学生自主学习提供了更多便利，课下可以花时间有针对性的准备老师将要上的线下课程。
正如一位与会专家总结报告时所说的那样“在线课程学习可以让想要学习的学生更自主的学习”。
任何事物都具有两面性，有了在线课程并不等于老师可以高枕无忧，只需要给学生答疑就可以，因为教育心理学告诉我们学习活动的主体是学生。在线学习只是学生多种学习方式中的一种，在学生的学习活动中起主导作用的依然是学习兴趣。[5]同时在线学习缺乏有效的过程监督，且在线考试验收也只是停留在诚信自愿的层面上，所以它应该被定位于一种课堂教学的有意补充。对于学生基础好、层次高、主动性较强的名牌大学可以大力提倡在线学习，它可以把优质教育资源跟好的利用起来。对于一些学习兴趣不是特别强烈的学生应该想办法先调动起他们的学习兴趣来，甚至有事还应该施加一些课堂压力。由于多年的大学扩招、教育产业化使得很多以前没有大学读的学生走进校门，这种学生在一些学院、大专占有相当大的比重，所以大范围的推广在线课程在现在的中国是不太恰当的。在线学习的传媒意义在某种程度上大于教育意义，教育上的问题应该还是要教育来解决。
（三）充分了解学生的兴趣爱好，找到教育的突破口
2014年曾对学院大一大二学生做了有关学员兴趣爱好的抽样调查，结果显示仅有四分之一的学生具有较强的学习兴趣，课下时间会主动学习。很多学生喜欢把大量时间用在社团活动、浏览微信网络、体育锻炼等与文化课学习没有直接关系的活动上。他们比较喜欢自己认为比较时尚、炫的东西，比较在乎周围的人对自己的评价。这一结果应该比较能代表当代大学生的心理状态。正如国立台湾大学教学发展中心教师发展组组长叶丙成副教授讲的一样，任何一门课程要想取得比较理想的教学效果必须要找到学生的痛点，并在一定程度上去迎合他。现在学生的痛点便是“存在感”。
四、课程实施
（一）从应用出发，为后续课程服务
现在很多大学都在压缩公共基础课的学时，多数院校的线性代数课程一般会安排30-40学时左右。在这样一个时间段内学校希望学生能够较系统的了解代数的知识体系不是特别容易，本着知道够用的原则应该对现行教科书上的内容做适当的删减。因为绝大部分非数学专业的学生不会开设数学建模、数学实验这些课程，但想用数学不掌握这些数学工具几乎是寸步难行，所以考虑在线性代数课程的实例环节适当引入一些上述内容。西安电子科技大学陈怀琛教授在这方面做了很多工作[6]，并被教育部批准为“用MATLAB和建模实践改造线性代数课程”项目负责人。任课教师可以从陈怀琛教授出版的一些教材中找到课堂需要的实例及相应的处理方法。
Matlab实例：用函数eig求二次型的矩阵A的特征值D和特征向量矩阵P，所求的矩阵D即为系数矩阵A的标准形，矩阵P即为二次型的变换矩阵。
求一个正交变换x=Py，把二次型
这样，通过上述变换矩阵P，便把f标准化为
f = -2y12+y22+y32。
该过程在教材上占用3页篇幅，老师课堂推导至少需要10分钟。所以这类问题采用Matlab来处理既节省了课堂时间又锻炼了学生的思维，十分有意义。
（二）找准痛点，激励学生学习
现在的在校大学生是伴随着互联网成长起来的一代，社交网络就是他们的“空气”。教师可以建议每个班级建立一个自己的QQ群或微信群，要求每位学生匿名加入该群，并选择几个成绩比较好的同学作为教师的小助教，让学生对课程相关的问题进行讨论。鼓励学生间相互请教并定期评选先进给予虚拟奖励。这样就会使得人人觉得高手就在身边，既满足了先进学生的虚荣心又照顾了后进同学的面子。
（三）合理利用线上资源，辅助教学
线上课程十分丰富，可以作为学生课前预习的一个好抓手。线上微课等内容可以暂停、回放，十分利于学生对疑难问题的消化，有条件的学生应该充分利用这个资源。
五、结束语
本文对现在线性代数课程中出现的问题出现的原因及解决方法给出了自己粗浅的思考，并从学生兴趣心理及教学内容的选取等方面进行了讨论。线性代数及其他基础课程的教学相关问题的研究永远在路上。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 王海霞，孙和军，王青云.改进线性代数教学方法的几点想法[J].高等数学研究，2010（11）.
[2] 陈怀琛.线性代数要与科学计算结成好伙伴[J].大学数学，2010（10）.
[3] 张成武.“慕课”浪潮推动精品课程转型升级[J].太原大学教育学院学报，2014（1）.
[4] 吴万伟.“慕课热”的冷思考[J].复旦教育论坛，2014（1）.
[5] 吕福起，伍洪梅.线性代数学习兴趣的培养及分层次教学探析[J].教育界，2014（15）.
[6] 陈怀琛，高淑萍，杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究，2009（3）.
[7] 同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2011.
[责任编辑：王 品]
[摘 要]面对当代大学生学习兴趣淡化、多种新型学习形式的出现，结合应用型本科院校《线性代数》教学现状，对教与学过程中出现的问题展开分析。从教学理念及内容设置等方面对传统的线性代数课程进行尝试性改革，并从近几年的教学实践对这一想法进行了验证，效果比较理想。
[关键词]线性代数；在线学习；MOOC；课程设置
[中图分类号] O151.2 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）02-0143-03
一、问题引入
线性代数是数学的一个分支，其研究对象是向量、向量空间、线性变换及有限维的线性方程组。它被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中，通过解析几何线性代数被具体表示。由于科学研究中的非线性模型经常被线性模型来逼近，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数课程作为理工科专业的一门数学基础课，对培养学生线性问题的求解能力和线性空间的思维能力具有重要意义。以下仅对应用型本科院校线性代数课程教学过程中存在的问题进行分析，并给出课程设置如内容取舍及教材选择等方面的一些建议。
二、存在的问题
（一）教师把问题推向了抽象的一面
在线性代数课堂教学中，教师可能会发现这样一个问题：学生反映线性代数的学习比微积分抽象、难学。[1]为什么？原因在于高等数学处理的是三维空间的问题而线性代数把问题推广到n维空间。在微积分学习中常用的现实问题驱动、目的性较强的探究性教学方法[2]在线性代数的课堂上不易实现了。虽然线性代数的应用性例题很多，但不容易课堂实现，简单一些的例子不足以体现代数知识的应用，稍微复杂一些的例子计算又十分繁琐，达不到课堂上举例子说明问题的效果。例如[2]要求解图1所示的滤波器，需要列出13个线性方程，要想手工解决这一问题几乎是不可能的。鉴于此，传统教材以及任课老师只好避开“问题驱动”和“案例式”教学方法，走向了应用性的对立面，把知识向抽象的一面发展，更多地去探求数学知识本身。这样很容易让学生感觉这门课程过于抽象，导致厌学情绪。
（二）现代教育思潮对传统的教学方式提出了质疑
随着社会环境的不断变化，互联网在PC特别是移动端的普及，各种互联网思维巨浪般向社会上思维最活跃、最乐于体验各种新鲜事物的一个群体——在校大学生袭来。面对网络海量信息的诱惑，有的学生沉迷于网络游戏中，有的成天泡在各种社交APP上刷存在感，一时网络变成了老师家长在线眼中的洪水猛兽。也有一些教师趁势而为，创造性地提出了继网络公开课之后的微课、慕课（MOOC，Massive Open Online Course）等依赖网络的学习形式。国内外很多慕课平台如雨后春笋般爆发出来，受到世界各国学生的好评。围绕着慕课、后台数据分析及由此引发的一系列课程改革[3]的教研文章也多了起来，其中一些学者对传统的教学形式产生了怀疑，提出应该对传统的大学教学方式进行彻底的改革。同时，一些教育工作者也对慕课现象进行了深入的思考。[4]
三、问题分析
（一）教师要更新教学理念选择恰当的辅助教学工具
作为一门课程，从知识完整性、缜密性方面我们不应否认代数理论知识本身的重要性。线性代数课程教师几乎全部由经受过7-10年完整系统数学知识学习的人担任。长时间的逻辑思维锻炼使得这一群体习惯严密的逻辑思考，且十分乐于享受这种美，授课过程中比较容易进入陶醉状态。但作为一门公共基础课，线性代数的课程设计更应关注学生的感受，考虑到他们后续课程的衔接需求。
在应用型的本科院校，学生学习好比建房子，专业课老师看重的是房子的功能、外部造型是否与周围的建筑环境相融合；而数学老师则是在房子的里面，看每个房间的布置与内部构造。专业课老师希望学生经过数学的训练可以顺畅的进行一些运算，强调数学的工具性，而不过多的关心这个工具是怎么发明的、它的工作原理是什么。所以为了满足学生学习的顺畅，满足学生的发展要求，就要求数学老师要对传统的教学内容进行适当的调整，并在教学过程中适当关注线性代数实用性的一面。
对于图1所示的这一比较贴近生活实际的问题，教师只要在课堂上调用一下Matlab，花几秒钟写一段小程序就可以给出理想的结果。这样既当场解决了问题让学生了解处理问题的一般过程又可以吸引学生的注意力，让他们尽早接触程序设计并激起其学习兴趣。
（二）客观看待线上课程的教育功能
作者有幸先后参加了由浙江省教育厅高教处主办宁波大学承办的MOOC与翻转课堂研讨会以及由教育部爱课程网（http：//www.icourses.cn/home/）主办由浙江大学承办的在线课程学习研讨会，听了很多相关领域的专家学者、国内一些名牌大学教授的报告，受益良多。线上学习形式的产生使得优质教育大众化成为可能；使得大学能真正能称之为“大学”，因为它可以同时满足全球几十万人选修同一门课程；很大程度上为学生自主学习提供了更多便利，课下可以花时间有针对性的准备老师将要上的线下课程。
正如一位与会专家总结报告时所说的那样“在线课程学习可以让想要学习的学生更自主的学习”。
任何事物都具有两面性，有了在线课程并不等于老师可以高枕无忧，只需要给学生答疑就可以，因为教育心理学告诉我们学习活动的主体是学生。在线学习只是学生多种学习方式中的一种，在学生的学习活动中起主导作用的依然是学习兴趣。[5]同时在线学习缺乏有效的过程监督，且在线考试验收也只是停留在诚信自愿的层面上，所以它应该被定位于一种课堂教学的有意补充。对于学生基础好、层次高、主动性较强的名牌大学可以大力提倡在线学习，它可以把优质教育资源跟好的利用起来。对于一些学习兴趣不是特别强烈的学生应该想办法先调动起他们的学习兴趣来，甚至有事还应该施加一些课堂压力。由于多年的大学扩招、教育产业化使得很多以前没有大学读的学生走进校门，这种学生在一些学院、大专占有相当大的比重，所以大范围的推广在线课程在现在的中国是不太恰当的。在线学习的传媒意义在某种程度上大于教育意义，教育上的问题应该还是要教育来解决。
（三）充分了解学生的兴趣爱好，找到教育的突破口
2014年曾对学院大一大二学生做了有关学员兴趣爱好的抽样调查，结果显示仅有四分之一的学生具有较强的学习兴趣，课下时间会主动学习。很多学生喜欢把大量时间用在社团活动、浏览微信网络、体育锻炼等与文化课学习没有直接关系的活动上。他们比较喜欢自己认为比较时尚、炫的东西，比较在乎周围的人对自己的评价。这一结果应该比较能代表当代大学生的心理状态。正如国立台湾大学教学发展中心教师发展组组长叶丙成副教授讲的一样，任何一门课程要想取得比较理想的教学效果必须要找到学生的痛点，并在一定程度上去迎合他。现在学生的痛点便是“存在感”。
四、课程实施
（一）从应用出发，为后续课程服务
现在很多大学都在压缩公共基础课的学时，多数院校的线性代数课程一般会安排30-40学时左右。在这样一个时间段内学校希望学生能够较系统的了解代数的知识体系不是特别容易，本着知道够用的原则应该对现行教科书上的内容做适当的删减。因为绝大部分非数学专业的学生不会开设数学建模、数学实验这些课程，但想用数学不掌握这些数学工具几乎是寸步难行，所以考虑在线性代数课程的实例环节适当引入一些上述内容。西安电子科技大学陈怀琛教授在这方面做了很多工作[6]，并被教育部批准为“用MATLAB和建模实践改造线性代数课程”项目负责人。任课教师可以从陈怀琛教授出版的一些教材中找到课堂需要的实例及相应的处理方法。
Matlab实例：用函数eig求二次型的矩阵A的特征值D和特征向量矩阵P，所求的矩阵D即为系数矩阵A的标准形，矩阵P即为二次型的变换矩阵。
求一个正交变换x=Py，把二次型
这样，通过上述变换矩阵P，便把f标准化为
f = -2y12+y22+y32。
该过程在教材上占用3页篇幅，老师课堂推导至少需要10分钟。所以这类问题采用Matlab来处理既节省了课堂时间又锻炼了学生的思维，十分有意义。
（二）找准痛点，激励学生学习
现在的在校大学生是伴随着互联网成长起来的一代，社交网络就是他们的“空气”。教师可以建议每个班级建立一个自己的QQ群或微信群，要求每位学生匿名加入该群，并选择几个成绩比较好的同学作为教师的小助教，让学生对课程相关的问题进行讨论。鼓励学生间相互请教并定期评选先进给予虚拟奖励。这样就会使得人人觉得高手就在身边，既满足了先进学生的虚荣心又照顾了后进同学的面子。
（三）合理利用线上资源，辅助教学
线上课程十分丰富，可以作为学生课前预习的一个好抓手。线上微课等内容可以暂停、回放，十分利于学生对疑难问题的消化，有条件的学生应该充分利用这个资源。
五、结束语
本文对现在线性代数课程中出现的问题出现的原因及解决方法给出了自己粗浅的思考，并从学生兴趣心理及教学内容的选取等方面进行了讨论。线性代数及其他基础课程的教学相关问题的研究永远在路上。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 王海霞，孙和军，王青云.改进线性代数教学方法的几点想法[J].高等数学研究，2010（11）.
[2] 陈怀琛.线性代数要与科学计算结成好伙伴[J].大学数学，2010（10）.
[3] 张成武.“慕课”浪潮推动精品课程转型升级[J].太原大学教育学院学报，2014（1）.
[4] 吴万伟.“慕课热”的冷思考[J].复旦教育论坛，2014（1）.
[5] 吕福起，伍洪梅.线性代数学习兴趣的培养及分层次教学探析[J].教育界，2014（15）.
[6] 陈怀琛，高淑萍，杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究，2009（3）.
[7] 同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2011.
[责任编辑：王 品]
