基于Mathematica的高等数学教学过程研究与实践
[摘 要]借助Mathematica通用数学软件，强化课堂直观描述、丰富课堂教学内容表现形式；开展数学实验，增强应用实践数学意识；借助WolframAlpha，丰富在线教学与学习资源；搭建在线互动平台，拓广师生互动维度的研究与实践，对创建高等数学课程在线教育优质教学视频，构建完善的配套资源平台，促进有效在线教育模式的研究与探索具有一定的参考与借鉴作用。
[关键词]高等数学；Mathematica；直观教学；数学实验；互动教学
[中图分类号] O13 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）02-0136-03
一、引言
高等数学作为理工科院校非数学专业学生必修的一门重要基础课，在培养学生发现、分析、探索和解决问题的能力和为后续相关课程学习及生活、工作打好基本数学知识基础等方面有着其他课程无法替代的作用；同时也在提高理工科院校教育、教学和人才培养质量的工作中起着举足轻重的作用。[1] [2]传统的高等数学教学过程一般由于教学时数少、内容多等条件限制和多方面的原因，一直遵循着“定义—定理—证明—推论—计算—大量练习与测试—考试”的教学过程，有些较好的课堂教学可能在定义引出之前会加上适当引例，在计算之后会简单地增加少量应用题的求解。这样的教学过程重点仍放在运算公式、法则和技巧训练上，数学思想与理论的教学与实践完全处于脱节的状态，没能让学生真正明白数学的精神实质和思想方法，也无法让学生知道数学的丰富内涵及其广泛的应用；同时把书面的闭卷考试作为学生学习成绩好坏的唯一评价标准；从而也就无法让学生知道数学在人类认识世界和改造世界中发挥的关键作用，也不会自觉地接受数学文化的熏陶，当然也就无法达到培养数学素质的目的，而且还会形成数学学习过程就是为了有个好成绩的错误学习动机。
借助现代信息技术构建数学情景，诠释概念、定义本质，展示定理、推论、公式内涵，提高数学学习兴趣和应用数学知识分析、探索、解决问题，并组织开展自主学习、探究性学习、协同式学习和在实践中学习的研究与探索，是当前大学数学教学改革的重要方向之一。尤其是通用数学软件功能的日益全面与丰富，更是对以传统课堂教学为主要形式的数学教学过程带来了极大冲击。数学教师熟练使用数学软件辅助教学，学生熟练使用数学软件进行学习，在信息技术的支持下构建思维、丰富知识结构、培养探索和实践数学的能力、形成数学素质，已成为现代数学教学信息化背景下的一种流行趋势。教师作为教学过程实施的引导者和协作者，研究和探索借助数学软件最大限度地调动教学过程中学生的参与意识、激发学习的主观能动性、培养正确的学习动机、增强实践数学的意识，对提升教学过程效率和实现人才培养目标具有重要意义。
二、数学软件Mathematica的功能与特点
Mathematica是一个集成数值、符号计算、图形与动画、程序设计与交互式演示于一体的，功能全面、效率极高的通用数学软件。用户既可以直接使用Mathematica来实现自己的计算需求，也可以借助于它丰富、扩展其他软件的计算与演示功能，甚至还可以将它的应用集成到其他应用程序和在保持其交互性等特征的基础上发布文档到网络上直接进行共享与交流。Mathematica软件目前被广泛地应用于教育，从中学到研究生，被全世界来自不同专业的学生首选为进行数学及相关课程的学习和应用的重要工具；也有很多老师以它为基础进行了教学和学习内容的设计，并借助Mathematica促进学生加强对课程内容的理解与应用，以此来提高教学与学习效果和质量[3]。
Mathematica之所以得到老师、学生和科技工作者的广泛欢迎，除了其强大的功能外，更为重要的是Mathematica中的输入方式与内部函数名称符合用户的使用习惯，尤其是其数学公式与符号的输入、输出形式基本上能够与传统教材和通常书写格式保持一致。首先表现在其工作窗口对表达式的编辑、排版与通常的文字编辑工具操作方法基本一致，而且还提供了多种模版对所做的工作进行编排。其次，内部函数与命令的名称基本上就是完整的，且能描述其功能的英文单词或者英文单词的组合。第三，可以方便、快捷地导入常用文件格式中的数据和将处理的内容导出为满足多种需求的文件格式，并可以通过指定数据类型进行复制、粘贴，在各程序之间快速交换数据。第四，提供了满足多种需求的软件包，并能通过高效的、连接方式多样的编程方式扩展软件功能以满足不同用户多方面的需求。第五，提供了多种形式的，内容详细、丰富、完整的交互式帮助，用户几乎不需要借助其他参考书就可以获得需要的软件使用、甚至学科相关的帮助信息。另外，Mathematica能够将创建的文档保存为具有交互性的可计算CDF文档格式。CDF文件的交互性并不只是预先生成的，而是可以通过交互操作实时完成，并能将其嵌入到网页中进行网络实时交流。用户之间这样的文档交流除了传递内容外，更能很好地传递其中涵盖的思想，而且实时生成的结果与变化的内容可以形成一种参与度更深且具有建设性的讨论。
正因为如此，教师可以使用Mathematica方便、快捷地构建数据、图形、动画等教学素材，不仅使课堂教学课件系统图文并茂，生动直观，加强学生对数学知识的直观理解；而且也可以通过部署交互式文档以及丰富的素材与文件类型输出与交换功能，构建内容丰富的交互式虚拟数学教学与学习平台，达到拓广教学与学习维度，加强对数学知识的理解，并促进其分析、探索、解决问题能力的提升以及探索、实践数学意识的增强，从而为优质在线教育教学视频的构建和配套资源的建设提供了技术上的强有力支撑。
三、融入可视化演示案例，加强课堂直观教学
从小学到大学，数学应该是人一生中学的时间最长的课程。但是为什么要学数学，学数学到底有什么用，很多学生都终究没有弄明白，甚至有人认为学数学就是为了应付考试。之所以造成这样的现象，李大潜院士认为数学家和数学老师应该要负责任，与我们目前的传统教学模式有着极大的关系。他指出[4]：“从本质上说，学数学，并不是学定理、背公式，而是提高素养，数学教育本质上是一种素质教育。”
抽象性和逻辑性虽然是数学区别于其他学科的特点，但林群院士在一直致力于教育数学的研究的过程中，一再强调微积分教学其实可以更简单、更有趣。由于长期以来的数学教学缺乏直观性、应用性教学，缺乏“寻根究底”的情景教学，使得高等数学的教学模式相对单一，教学内容、教材和课堂枯燥乏味；学生的学习在某种程度上陷入到了“得意忘形”的境界；同时也忽略了数学本质上的实践性特征和其对科学技术发展、其他学科促进和支撑的作用[5]。也正因为如此，使得很多学生对高等数学望而却步，失去了学习的兴趣，缺乏能学好的信心；同时也出现了“唯分数”定成败的“功利性”学习动机。虽然这个问题不是可以依靠课堂教学就可以完全解决的，但采用直观教学法，并构建可视化的教学情景，在很大程度上有助于缓解这个问题的存在。直观的形象在记忆中一般比较清晰稳定，一张图片、一段视频，甚至一个可视化交互演示过程，绝对胜过千言万语的文字描述。
直观教学一般是指利用教具作为感官传递物，通过一定的方式、方法向学生展示，达到提高教学和学习效率或效果的一种教学方式。17世纪，捷克教育家夸美纽斯宣称直观教学是教学的一条金科玉律：“只要有可能，应该用感性去接受一切东西”。信息化教学环境下的直观教学则是指在教学过程中运用各种手段（如数据、图形、动画、视频、交互式演示与操作等），在概念、定理、证明、解题中突出其直观性，培养学生的数学直觉的教学方法。[6]直观性教学法有助于定义、定理和推导过程及公式的理解，可以培养学习兴趣，提高记忆品质，加深理论印象，促进思想、方法的理解，提高教学与学习效率。
下面就如何借助Mathematica软件的可视化交互功能，在高等数学概念理解，参数意义、定理结论说明、证明过程思路构建等几个方面以高等数学几何直观教学案例说明直观教学的作用与意义。
案例1：借助Mathematica的实时交互式操作功能，加强数学概念教学，促进学生加深与概念有关的条件、结论、思想与方法理解，并通过直观演示理清学生容易混淆的有关变量关系。如数列极限概念中N与ε之间的关系演示、函数极限中δ与ε之间的关系演示。
案例2：借助于Mathematica数据处理与图形演示功能，加强解题方法的理解和促进有关结论的引出与验证，构建数学思想的起源情景，加深学生对数学思想、方法及应用的认识，提升课堂教学效果。如单调性的分界点为函数的极值点，极值点不一定为函数单调性的分界点等结论，及元素法及定积分的概念、重积分的计算和无穷积分的积分和等。
案例3：借助于Mathematica软件图形绘制功能，加强参数方程参数理解，直观演示与验证相关结论，并通过丰富多彩的曲线图形演示，展示数学的“艺术美”特征。如旋轮线参数方程定圆、动圆半径比值与生成曲线特征的关系及参数的几何意义，默比乌斯带单面特征的演示等。
案例4：在高等数学教学内容中，p-级数在级数、反常积分收敛性的判定和常值级数求和中占有重要地位。在一般的教材中，对其收敛性的证明思路一般都比较抽象而不易被学生所接受。要证明p-级数的收敛性，关键是证明如下不等式[7]
借助于不等式中三个式子的几何意义，构建证明思路则相对直接和熟悉。
四、借助数学实验平台，拓广教学学习维度
在高等数学课程内容多，任课教师教学、科研任务繁重的情况下，一般课堂教学时数不能满足教学需求；同时由于教学班人数众多，师生有效交流的机会很少，加上很多同学听课效率不高等因素的影响，使得高等数学课堂教学效果和学生学习质量很难达到预期目标。随着网络通信技术的迅速发展和网络覆盖面的扩大，如何借助网络平台，发展课程在线教育，拓广教学学习维度日益受到广大教育工作者的重视，并在国家和学校的大力支持下得到迅速发展。
（一）借助WolframAlpha丰富高等数学在线教学与学习资源库
与其他文化课程不同，要保证数学课程的教学质量和学习效率，离不开线下的课堂教学和师生的面对面互动交流，所以高等数学的在线教育只能是看作对课堂教学与线下学习的一个辅助和补充，为进一步丰富和完善课堂教学过程，拓广教学与学习时间和空间维度，提高教学和学习质量提供一个相对有效的途径；要充分发挥其预期的作用，关键在于平台内容的选择与设置。Mathematica软件的交互式电子文档、基于Alpha引擎的远程实验平台和在线测试系统（Wolfram Problem Generator）以及Wolfram网站的数学资源库[8]，不仅为高等数学的学习提供了丰富学习扩展资源，而且为师生之间的交流提供了一个很好的互动工具，同时也为学生开展数学实验，检验学习效果，应用实践数学提供了有效支持。凭借Mathematica丰富的知识库和在线测试系统，不仅丰富了高等数学课程的教学与学习内容，拓展了学生的认知结构，而且能让学生自己及时发现和了解学习过程中的错误和理解上的偏差。图文并茂的内容展示，甚至交互式的演示过程，以非常直观的形式有效地加深了学生印象，弥补了课堂与线下教育的局限与不足。学生也在知识不断丰富和探索的过程中，丰富了知识结构，发现了自己的不足，从而进一步促进其学习的欲望提升。
（二）开展高等数学实验，增强应用实践数学意识
数学实验是激发学生兴趣，实践、应用数学最为有效的手段。借助Mathematica提供的数学实验平台，在数学教学中，引入数学实验，利用数学软件进行多媒体教学，可以增加教与学之间的互动性。学生在教师的积极启发引导下，通过不断利用数学软件进行实验，由一些具体特例分析归纳出问题的特性，找出问题的关键并得到解决问题的思路，最终完成对命题的论证、总结和提高。这种教学方式，不仅增加了学生的参与意识，使学生变被动接受为主动求知，真正成为教学的主体；而且符合“直觉一探讨一出错一思考一猜想一证明”的数学认知规律，有利于培养学生综合分析问题和解决问题的能力，促进学生掌握数学的思想与方法。
在数学实验中，由于计算机的引入和数学软件包的应用，也为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有更多的时间去思考和做更多的创造性工作。为了保证高等数学实验化教学过程的有效实施，让学生认识、理解，并积极参与到实验化教学过程，我们编写了《高等数学课程实验》参考书，提供了近30个演示性、验证性与探索性的实验[9]；搭建了高等数学课程和数学建模与数学实验网站，建设了国家数理虚拟仿真实验教学中心，设置了专门的大学数学公共基础课程实验教学与学习模块；同时将Mathematica软件应用融入了教材、进入了课堂和考试，将“应用性教学”思想贯穿于整个教学过程，很好地促进了学生应用数学知识解决实际问题的能力和学生实践数学的意识提升[2]。
五、结束语
将通用数学软件融入数学课程教学过程，不仅丰富了教学手段，改变了高等数学课程的教学与学习方式，也改变了数学的研究方法和应用模式。在大力推动在线教育发展和优质教育资源开放、共享的阶段，如何发展在线教育优势，探索有效教育模式受到广大教育工作者的广泛关注[10]。在线教育的主体除了优质的视频教学内容外，更需要完善的相关优质配套资源作为补充以促进教学和学习质量的提升。数学软件与课程的整合不仅为视频教学提供了丰富的表现手段，更为优质资源的创建提供了支撑和保障。但是，由于受到网络以及知识产权和受益人群等因素的限制，教学过程的信息化和在线教育平台的构建还处于“百花齐放”的状态，在一定程度上造成了不必要的资源浪费，也脱离了信息化和在线教育发起的初衷。因此，如何在现代信息技术高速发展的今天，根据各个学校的人才培养目标，构建有效的教学资源，探索有效的教学模式，还需要不断的探索与实践。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 高建，黄廷祝，干泰彬.提高“微积分”课堂教学质量的几点思考[J].中国大学教学，2008（1）：35-37.
[2] 刘雄伟，王晓.高等数学实验化教学模式的理论研究与实践[J].高等理科学刊，2012（6）：75-78.
[3] Wolfram.Mathematica Features：http：//www.wolfram.com/mathematica/features/.
[4] 李大潜.数学学习的本质是提高素质[N].中国青年报，2012-07-16（12）.
[5] 杨孝平，许春根.加强直观性和应用性教学 提高大学数学教育质量[J].大学数学，2006（6）：1-3.
[6] 杨立敏.重视直观性教学法在高等数学教学中的应用[J].大学数学，2008（2）：34-37.
[7] 朱健民，李建平.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[8] Wolfram MathWorld：http：//mathworld.wolfram.com/.
[9] 李建平，朱健民，刘雄伟，等.高等数学课程实验[M].北京：科学出版社，2011.
[10] 吴剑平，赵可，等.大学的革命：MOOC时代的高等教育[M].北京：清华大学出版社，2014.
[责任编辑：王 品]
[关键词]高等数学；Mathematica；直观教学；数学实验；互动教学
[中图分类号] O13 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）02-0136-03
一、引言
高等数学作为理工科院校非数学专业学生必修的一门重要基础课，在培养学生发现、分析、探索和解决问题的能力和为后续相关课程学习及生活、工作打好基本数学知识基础等方面有着其他课程无法替代的作用；同时也在提高理工科院校教育、教学和人才培养质量的工作中起着举足轻重的作用。[1] [2]传统的高等数学教学过程一般由于教学时数少、内容多等条件限制和多方面的原因，一直遵循着“定义—定理—证明—推论—计算—大量练习与测试—考试”的教学过程，有些较好的课堂教学可能在定义引出之前会加上适当引例，在计算之后会简单地增加少量应用题的求解。这样的教学过程重点仍放在运算公式、法则和技巧训练上，数学思想与理论的教学与实践完全处于脱节的状态，没能让学生真正明白数学的精神实质和思想方法，也无法让学生知道数学的丰富内涵及其广泛的应用；同时把书面的闭卷考试作为学生学习成绩好坏的唯一评价标准；从而也就无法让学生知道数学在人类认识世界和改造世界中发挥的关键作用，也不会自觉地接受数学文化的熏陶，当然也就无法达到培养数学素质的目的，而且还会形成数学学习过程就是为了有个好成绩的错误学习动机。
借助现代信息技术构建数学情景，诠释概念、定义本质，展示定理、推论、公式内涵，提高数学学习兴趣和应用数学知识分析、探索、解决问题，并组织开展自主学习、探究性学习、协同式学习和在实践中学习的研究与探索，是当前大学数学教学改革的重要方向之一。尤其是通用数学软件功能的日益全面与丰富，更是对以传统课堂教学为主要形式的数学教学过程带来了极大冲击。数学教师熟练使用数学软件辅助教学，学生熟练使用数学软件进行学习，在信息技术的支持下构建思维、丰富知识结构、培养探索和实践数学的能力、形成数学素质，已成为现代数学教学信息化背景下的一种流行趋势。教师作为教学过程实施的引导者和协作者，研究和探索借助数学软件最大限度地调动教学过程中学生的参与意识、激发学习的主观能动性、培养正确的学习动机、增强实践数学的意识，对提升教学过程效率和实现人才培养目标具有重要意义。
二、数学软件Mathematica的功能与特点
Mathematica是一个集成数值、符号计算、图形与动画、程序设计与交互式演示于一体的，功能全面、效率极高的通用数学软件。用户既可以直接使用Mathematica来实现自己的计算需求，也可以借助于它丰富、扩展其他软件的计算与演示功能，甚至还可以将它的应用集成到其他应用程序和在保持其交互性等特征的基础上发布文档到网络上直接进行共享与交流。Mathematica软件目前被广泛地应用于教育，从中学到研究生，被全世界来自不同专业的学生首选为进行数学及相关课程的学习和应用的重要工具；也有很多老师以它为基础进行了教学和学习内容的设计，并借助Mathematica促进学生加强对课程内容的理解与应用，以此来提高教学与学习效果和质量[3]。
Mathematica之所以得到老师、学生和科技工作者的广泛欢迎，除了其强大的功能外，更为重要的是Mathematica中的输入方式与内部函数名称符合用户的使用习惯，尤其是其数学公式与符号的输入、输出形式基本上能够与传统教材和通常书写格式保持一致。首先表现在其工作窗口对表达式的编辑、排版与通常的文字编辑工具操作方法基本一致，而且还提供了多种模版对所做的工作进行编排。其次，内部函数与命令的名称基本上就是完整的，且能描述其功能的英文单词或者英文单词的组合。第三，可以方便、快捷地导入常用文件格式中的数据和将处理的内容导出为满足多种需求的文件格式，并可以通过指定数据类型进行复制、粘贴，在各程序之间快速交换数据。第四，提供了满足多种需求的软件包，并能通过高效的、连接方式多样的编程方式扩展软件功能以满足不同用户多方面的需求。第五，提供了多种形式的，内容详细、丰富、完整的交互式帮助，用户几乎不需要借助其他参考书就可以获得需要的软件使用、甚至学科相关的帮助信息。另外，Mathematica能够将创建的文档保存为具有交互性的可计算CDF文档格式。CDF文件的交互性并不只是预先生成的，而是可以通过交互操作实时完成，并能将其嵌入到网页中进行网络实时交流。用户之间这样的文档交流除了传递内容外，更能很好地传递其中涵盖的思想，而且实时生成的结果与变化的内容可以形成一种参与度更深且具有建设性的讨论。
正因为如此，教师可以使用Mathematica方便、快捷地构建数据、图形、动画等教学素材，不仅使课堂教学课件系统图文并茂，生动直观，加强学生对数学知识的直观理解；而且也可以通过部署交互式文档以及丰富的素材与文件类型输出与交换功能，构建内容丰富的交互式虚拟数学教学与学习平台，达到拓广教学与学习维度，加强对数学知识的理解，并促进其分析、探索、解决问题能力的提升以及探索、实践数学意识的增强，从而为优质在线教育教学视频的构建和配套资源的建设提供了技术上的强有力支撑。
三、融入可视化演示案例，加强课堂直观教学
从小学到大学，数学应该是人一生中学的时间最长的课程。但是为什么要学数学，学数学到底有什么用，很多学生都终究没有弄明白，甚至有人认为学数学就是为了应付考试。之所以造成这样的现象，李大潜院士认为数学家和数学老师应该要负责任，与我们目前的传统教学模式有着极大的关系。他指出[4]：“从本质上说，学数学，并不是学定理、背公式，而是提高素养，数学教育本质上是一种素质教育。”
抽象性和逻辑性虽然是数学区别于其他学科的特点，但林群院士在一直致力于教育数学的研究的过程中，一再强调微积分教学其实可以更简单、更有趣。由于长期以来的数学教学缺乏直观性、应用性教学，缺乏“寻根究底”的情景教学，使得高等数学的教学模式相对单一，教学内容、教材和课堂枯燥乏味；学生的学习在某种程度上陷入到了“得意忘形”的境界；同时也忽略了数学本质上的实践性特征和其对科学技术发展、其他学科促进和支撑的作用[5]。也正因为如此，使得很多学生对高等数学望而却步，失去了学习的兴趣，缺乏能学好的信心；同时也出现了“唯分数”定成败的“功利性”学习动机。虽然这个问题不是可以依靠课堂教学就可以完全解决的，但采用直观教学法，并构建可视化的教学情景，在很大程度上有助于缓解这个问题的存在。直观的形象在记忆中一般比较清晰稳定，一张图片、一段视频，甚至一个可视化交互演示过程，绝对胜过千言万语的文字描述。
直观教学一般是指利用教具作为感官传递物，通过一定的方式、方法向学生展示，达到提高教学和学习效率或效果的一种教学方式。17世纪，捷克教育家夸美纽斯宣称直观教学是教学的一条金科玉律：“只要有可能，应该用感性去接受一切东西”。信息化教学环境下的直观教学则是指在教学过程中运用各种手段（如数据、图形、动画、视频、交互式演示与操作等），在概念、定理、证明、解题中突出其直观性，培养学生的数学直觉的教学方法。[6]直观性教学法有助于定义、定理和推导过程及公式的理解，可以培养学习兴趣，提高记忆品质，加深理论印象，促进思想、方法的理解，提高教学与学习效率。
下面就如何借助Mathematica软件的可视化交互功能，在高等数学概念理解，参数意义、定理结论说明、证明过程思路构建等几个方面以高等数学几何直观教学案例说明直观教学的作用与意义。
案例1：借助Mathematica的实时交互式操作功能，加强数学概念教学，促进学生加深与概念有关的条件、结论、思想与方法理解，并通过直观演示理清学生容易混淆的有关变量关系。如数列极限概念中N与ε之间的关系演示、函数极限中δ与ε之间的关系演示。
案例2：借助于Mathematica数据处理与图形演示功能，加强解题方法的理解和促进有关结论的引出与验证，构建数学思想的起源情景，加深学生对数学思想、方法及应用的认识，提升课堂教学效果。如单调性的分界点为函数的极值点，极值点不一定为函数单调性的分界点等结论，及元素法及定积分的概念、重积分的计算和无穷积分的积分和等。
案例3：借助于Mathematica软件图形绘制功能，加强参数方程参数理解，直观演示与验证相关结论，并通过丰富多彩的曲线图形演示，展示数学的“艺术美”特征。如旋轮线参数方程定圆、动圆半径比值与生成曲线特征的关系及参数的几何意义，默比乌斯带单面特征的演示等。
案例4：在高等数学教学内容中，p-级数在级数、反常积分收敛性的判定和常值级数求和中占有重要地位。在一般的教材中，对其收敛性的证明思路一般都比较抽象而不易被学生所接受。要证明p-级数的收敛性，关键是证明如下不等式[7]
借助于不等式中三个式子的几何意义，构建证明思路则相对直接和熟悉。
四、借助数学实验平台，拓广教学学习维度
在高等数学课程内容多，任课教师教学、科研任务繁重的情况下，一般课堂教学时数不能满足教学需求；同时由于教学班人数众多，师生有效交流的机会很少，加上很多同学听课效率不高等因素的影响，使得高等数学课堂教学效果和学生学习质量很难达到预期目标。随着网络通信技术的迅速发展和网络覆盖面的扩大，如何借助网络平台，发展课程在线教育，拓广教学学习维度日益受到广大教育工作者的重视，并在国家和学校的大力支持下得到迅速发展。
（一）借助WolframAlpha丰富高等数学在线教学与学习资源库
与其他文化课程不同，要保证数学课程的教学质量和学习效率，离不开线下的课堂教学和师生的面对面互动交流，所以高等数学的在线教育只能是看作对课堂教学与线下学习的一个辅助和补充，为进一步丰富和完善课堂教学过程，拓广教学与学习时间和空间维度，提高教学和学习质量提供一个相对有效的途径；要充分发挥其预期的作用，关键在于平台内容的选择与设置。Mathematica软件的交互式电子文档、基于Alpha引擎的远程实验平台和在线测试系统（Wolfram Problem Generator）以及Wolfram网站的数学资源库[8]，不仅为高等数学的学习提供了丰富学习扩展资源，而且为师生之间的交流提供了一个很好的互动工具，同时也为学生开展数学实验，检验学习效果，应用实践数学提供了有效支持。凭借Mathematica丰富的知识库和在线测试系统，不仅丰富了高等数学课程的教学与学习内容，拓展了学生的认知结构，而且能让学生自己及时发现和了解学习过程中的错误和理解上的偏差。图文并茂的内容展示，甚至交互式的演示过程，以非常直观的形式有效地加深了学生印象，弥补了课堂与线下教育的局限与不足。学生也在知识不断丰富和探索的过程中，丰富了知识结构，发现了自己的不足，从而进一步促进其学习的欲望提升。
（二）开展高等数学实验，增强应用实践数学意识
数学实验是激发学生兴趣，实践、应用数学最为有效的手段。借助Mathematica提供的数学实验平台，在数学教学中，引入数学实验，利用数学软件进行多媒体教学，可以增加教与学之间的互动性。学生在教师的积极启发引导下，通过不断利用数学软件进行实验，由一些具体特例分析归纳出问题的特性，找出问题的关键并得到解决问题的思路，最终完成对命题的论证、总结和提高。这种教学方式，不仅增加了学生的参与意识，使学生变被动接受为主动求知，真正成为教学的主体；而且符合“直觉一探讨一出错一思考一猜想一证明”的数学认知规律，有利于培养学生综合分析问题和解决问题的能力，促进学生掌握数学的思想与方法。
在数学实验中，由于计算机的引入和数学软件包的应用，也为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有更多的时间去思考和做更多的创造性工作。为了保证高等数学实验化教学过程的有效实施，让学生认识、理解，并积极参与到实验化教学过程，我们编写了《高等数学课程实验》参考书，提供了近30个演示性、验证性与探索性的实验[9]；搭建了高等数学课程和数学建模与数学实验网站，建设了国家数理虚拟仿真实验教学中心，设置了专门的大学数学公共基础课程实验教学与学习模块；同时将Mathematica软件应用融入了教材、进入了课堂和考试，将“应用性教学”思想贯穿于整个教学过程，很好地促进了学生应用数学知识解决实际问题的能力和学生实践数学的意识提升[2]。
五、结束语
将通用数学软件融入数学课程教学过程，不仅丰富了教学手段，改变了高等数学课程的教学与学习方式，也改变了数学的研究方法和应用模式。在大力推动在线教育发展和优质教育资源开放、共享的阶段，如何发展在线教育优势，探索有效教育模式受到广大教育工作者的广泛关注[10]。在线教育的主体除了优质的视频教学内容外，更需要完善的相关优质配套资源作为补充以促进教学和学习质量的提升。数学软件与课程的整合不仅为视频教学提供了丰富的表现手段，更为优质资源的创建提供了支撑和保障。但是，由于受到网络以及知识产权和受益人群等因素的限制，教学过程的信息化和在线教育平台的构建还处于“百花齐放”的状态，在一定程度上造成了不必要的资源浪费，也脱离了信息化和在线教育发起的初衷。因此，如何在现代信息技术高速发展的今天，根据各个学校的人才培养目标，构建有效的教学资源，探索有效的教学模式，还需要不断的探索与实践。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 高建，黄廷祝，干泰彬.提高“微积分”课堂教学质量的几点思考[J].中国大学教学，2008（1）：35-37.
[2] 刘雄伟，王晓.高等数学实验化教学模式的理论研究与实践[J].高等理科学刊，2012（6）：75-78.
[3] Wolfram.Mathematica Features：http：//www.wolfram.com/mathematica/features/.
[4] 李大潜.数学学习的本质是提高素质[N].中国青年报，2012-07-16（12）.
[5] 杨孝平，许春根.加强直观性和应用性教学 提高大学数学教育质量[J].大学数学，2006（6）：1-3.
[6] 杨立敏.重视直观性教学法在高等数学教学中的应用[J].大学数学，2008（2）：34-37.
[7] 朱健民，李建平.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[8] Wolfram MathWorld：http：//mathworld.wolfram.com/.
[9] 李建平，朱健民，刘雄伟，等.高等数学课程实验[M].北京：科学出版社，2011.
[10] 吴剑平，赵可，等.大学的革命：MOOC时代的高等教育[M].北京：清华大学出版社，2014.
[责任编辑：王 品]
