基于创新和应用能力的数值分析课程教学研究与实践
刘三明
[摘 要]数值分析的精髓在于其应用性，寻求近似解与精确解之间的平衡是实现数值分析价值的应用手段。做好数值分析课程的教学工作，既能提升学生的科学计算能力，又能加深其对数学应用问题的认识。数值分析课程作为我校电气工程专业学位研究生的一门重要的基础应用型课程，与电气工程专业的专业课程联系紧密。有效的数值分析课程教学不仅为学生提供了知识，更培养了其认识问题、解决问题的能力。
[关键词]数值分析；教学方法；数学建模；创新能力
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）02-0130-02
数值分析覆盖内容广泛，该门课程既保持了纯数学的抽象性与严密性，又突出了应用学科的广泛性和技术性，因此被学界认为是传授难、学习难的一门课程。针对数值分析课程上述特点与我校电气工程领域专业学位研究生的要求，笔者以在教学过程中的亲身实践作为基础，谈谈对该课程的一些认识。
一、优化教学内容
为了有效讲授数值分析课程，必须对教学内容进行合理取舍、突出重点，应以学生专业方向为基础，将教学时间主要安排在讲解误差分析、插值法、函数逼近、数值积分与数值微分、解线性方程组的直接法和迭代法、非线性方程数值解法等内容上。对于如矩阵特征值的计算，在有条件的情况下可以对其思想进行简单介绍，而对于如常微分方程初边值问题的数值解、多重积分、共轭梯度法、求根问题的敏感性与多项式的零点等内容可以忽略不讲，推荐学生自学。此外，根据研究生的特点，在教学时需尤其注重基础知识传递辅以实验的结合。对于数值分析的每一个知识模块，都必须融入课后实验。教师还必须增进将科研成果引入课堂的意识，引导学生构建符合自身研究方向或兴趣的问题，并以实际背景为依托，利用在课堂上学到的知识，通过查阅文献、选择算法进行个人实践并最终形成一份完整的研究报告。本校的数值分析课程教学利用的就是上述这一套办法。这既激发了学生对于该门课程的学习兴趣，同时也丰富了学生在各自研究领域的数学计算方法，让他们体验到了科研工作的乐趣，也让他们充分理解到运用好数学方法是其进行有效科研工作的强大后盾。
二、精心设计教学方法，注重教学效果
在教学中，我们采用参与型教学法与比较分析法，具体思路如下。
1.为了在课堂上尽量给学生提供参与的机会，每次课后习题作业批改后，不是将作业发给学生了事，而是邀请学生在课堂上对其解答过程及思路进行讲解，并和同学及教师进行讨论，教师仅对关键点进行总结讲评。学生们很喜欢这种给他们展示自己实力的机会，学生的学习主动性得到较好的发挥，教学效果好。
2.对于一些合适的教学内容，可以采取让学生课前自学有关章节的内容，然后在课堂上请学生讲课，其他同学提问，教师点评的教学方式。这种教学方式可以让学生对课堂知识的接受由被动变为主动探索。
3.数值分析的一个重要特点就是利用多种方法解决同一问题。因此将在同一问题框架下构建的多种方法进行优劣比较，既有助于学生搭建整体知识框架，又能有效锻炼学生的思考能力和分析能力。使用该方法时，需注意给学生充分的时间进行思考，教师可在学生独立思考期间适当地予以引导和鼓励。在数值分析的教学中，由于在学习中不断更新数值计算方法，往往在课程学习完成后，学生经常会面对掌握多种方法却不知道每种方法的应用范围的情况。为了解决上述问题，使学生充分掌握各类计算方法，就必须在教学过程中鼓励学生对各种方法进行比较、分析，总结出各自的应用特点并加以实践。例如，在对函数值进行近似计算时，课堂上主要介绍的是插值与拟合两种方法。通过比较可以发现：二者在应用上基本思想不同，插值方法的使用强调插值点的精确逼近，而拟合法的使用则需要整体平均逼近。
三、融合传统的教学方式和现代教学手段
传统的数学教学，大多利用黑板进行板书讲授，而此类教学模式于数值分析而言却不完全适用。因为传授计算方法是数值分析教学中的主要内容，而体现计算方法的主要是枯燥的数学符号及其运算，单纯地向学生教授数学符号背景下的数学方法既缺乏直观性，又缺乏连贯性，大部分学生难以理解。因为数值分析中的大量冗长公式，单纯利用板书向学生讲述，既费时费力，又难以充分展现整个推导过程，教师很难将前后联系在一起讲解。因此，对于数值分析的讲解，要充分将现代多媒体教学手段融入教学过程中，打破传统教学模式的壁垒，将传统的教学手段与现代的教学方式相结合，在课程教学中做到有效使用多媒体工具。对基本理论如概念、方法等的讲授可以传统的教学方法为主，而公式应用、复杂计算等则可以通过多媒体手段进行展示。比如在讲解插值法时，可根据多媒体教学内容信息量大和生动鲜明的特点对该方法进行充分阐述。又比如在教授迭代法稳定性和收敛性时，传统的教学手段缺乏图形解释，学生根据纯文字介绍很难理解其本质，而若改用多媒体对收敛和发散进行动态演示，学生根据图形联想很快就能理解其变化本质，学生接受知识更为容易。
四、将数学建模思想融入数值分析教学中
数学建模是将数学与实际紧密联系在一起的桥梁，亦是数学作为一种工具在各个领域发挥作用的媒介，是数学作为一种科学动力向应用转换的主要手段。随着数学建模的不断发展，其作用逐渐被数学与工程界重视，如今，它已经成为了现代科学研究人员不可缺少的重要能力之一。在数值分析课堂教学中，教师要注意将数学建模的思想融入日常课堂教学的过程中。为了贯彻这种思想，教师可以采取下述方式：在新问题、新方法出现时，通过介绍该问题的应用背景渗透数学建模思想，让学生知道所学的知识在不同领域的应用。教师也可以自己构建一个实际问题，根据数学建模的步骤对问题进行分析并创立数学模型，利用上述途径完成对数值方法的引入。采用上述方法不仅可以直观地增进学生对理论和实际应用的认识，还能强化学生对某一实际问题的分析与解决能力。如在数值积分章节，教师可以通过铝制波纹瓦的长度问题为引导，帮助学生根据问题构建曲线积分数学模型，并根据相应数学方法构建出定积分数学模型。因为某些函数求取原函数存在困难，牛顿莱布尼茨公式很难对上述内容进行求解，可从此引出数值积分思想。又如在插值法中，教师在教学过程中可以首先提出问题：如何根据已经获得的某处海洋不同深度处的水温而合理地估计其他深度处的水温？以此为契机介绍插值法。在讲曲线拟合时，先提出问题：根据我国自1900到2014年的人口数，如何才能预测出未来的人口数？以此为前提介绍曲线拟合。在数值分析教学过程中引入数学建模思想，既可以使学生充分掌握数值分析的相关理论和方法，还可以进一步培养学生的科研创新能力，为日后从事科学研究工作打下一定的基础。
五、强化课程实践，打造应用能力
在数值分析课程的理论教学中需引入实验性思想，具体如下。
1.强化基础实验部分：对基本的实验项目，通过讲解算法的框图、多媒体演示和直接用Matlab软件的求解，然后在教师的指导下进行实际编程、调试、计算结果。
2.综合性补充实验和创新型实验部分：向学生提供若干科研分析实际问题中遇到的和数值分析相关的综合实验，并给出辅助材料，允许学生自选与数值分析相关的题目，要求学生分小组协作完成，让每个小组的学生作课堂展示。课堂展示要求学生将自己的报告通过多媒体形式进行展示，其他同学根据该学生的展示内容进行提问和讨论。该方式可以在增进学生之间交流的同时，从多角度巩固学生对某一难点问题的理解，提升同学们合作创新的能力。教师对每个报告进行总结，并作进一步阐述。
3.强调实验结果的总结并规范实验报告的书写：鼓励学生总结自己的问题和成果，在总结中强化对问题和方法的认识；同时提升学生的科研表述能力，为日后研究文章的撰写和专利的设计打下基础。
通过实验训练，学生巩固了课堂内容，锻炼了实践能力，培养了创新能力和应用能力，为进入科研课题的学生利用数值分析方法解决在专业领域的应用问题打下了基础。
六、结束语
数值分析课程作为我校电气工程专业学位研究生的一门重要的基础应用型课程，与电气工程专业的专业课程联系紧密。有效的数值分析课程教学不仅为学生提供了知识，更培养了其认识问题、解决问题的能力。我校自2012年开始招生以来，数值分析课程教学不断得到完善和深化。然而，随着科学技术的日新月异和高等教育改革的不断深化，数值分析课程改革仍旧需要在实践中不断探索总结。尽管新的教学方式、教学方法得到了学生们的肯定，也取得了一些成绩，但同时我们也应清醒地认识到教学改革是一个持续的过程，需要包括学生在内的各类教学元素的共同努力。在实际教学中，我们还要不断总结经验，根据实际不断更新教学内容和教学手段，将创新能力和实际应用能力作为教学的两大基本目标点，从而实现数值分析对电气工程领域专业学位研究生培养目标的要求。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 涂俐兰.研究生“数值分析”精品课程建设与实践[J].大学数学，2012（6）.
[2] 马慧彬，张忠武. 工科硕士研究生《数值分析》课程的改革实践[J]. 当代教育论坛（ 综合研究），2011（3）.
[责任编辑：陈 明]
[摘 要]数值分析的精髓在于其应用性，寻求近似解与精确解之间的平衡是实现数值分析价值的应用手段。做好数值分析课程的教学工作，既能提升学生的科学计算能力，又能加深其对数学应用问题的认识。数值分析课程作为我校电气工程专业学位研究生的一门重要的基础应用型课程，与电气工程专业的专业课程联系紧密。有效的数值分析课程教学不仅为学生提供了知识，更培养了其认识问题、解决问题的能力。
[关键词]数值分析；教学方法；数学建模；创新能力
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）02-0130-02
数值分析覆盖内容广泛，该门课程既保持了纯数学的抽象性与严密性，又突出了应用学科的广泛性和技术性，因此被学界认为是传授难、学习难的一门课程。针对数值分析课程上述特点与我校电气工程领域专业学位研究生的要求，笔者以在教学过程中的亲身实践作为基础，谈谈对该课程的一些认识。
一、优化教学内容
为了有效讲授数值分析课程，必须对教学内容进行合理取舍、突出重点，应以学生专业方向为基础，将教学时间主要安排在讲解误差分析、插值法、函数逼近、数值积分与数值微分、解线性方程组的直接法和迭代法、非线性方程数值解法等内容上。对于如矩阵特征值的计算，在有条件的情况下可以对其思想进行简单介绍，而对于如常微分方程初边值问题的数值解、多重积分、共轭梯度法、求根问题的敏感性与多项式的零点等内容可以忽略不讲，推荐学生自学。此外，根据研究生的特点，在教学时需尤其注重基础知识传递辅以实验的结合。对于数值分析的每一个知识模块，都必须融入课后实验。教师还必须增进将科研成果引入课堂的意识，引导学生构建符合自身研究方向或兴趣的问题，并以实际背景为依托，利用在课堂上学到的知识，通过查阅文献、选择算法进行个人实践并最终形成一份完整的研究报告。本校的数值分析课程教学利用的就是上述这一套办法。这既激发了学生对于该门课程的学习兴趣，同时也丰富了学生在各自研究领域的数学计算方法，让他们体验到了科研工作的乐趣，也让他们充分理解到运用好数学方法是其进行有效科研工作的强大后盾。
二、精心设计教学方法，注重教学效果
在教学中，我们采用参与型教学法与比较分析法，具体思路如下。
1.为了在课堂上尽量给学生提供参与的机会，每次课后习题作业批改后，不是将作业发给学生了事，而是邀请学生在课堂上对其解答过程及思路进行讲解，并和同学及教师进行讨论，教师仅对关键点进行总结讲评。学生们很喜欢这种给他们展示自己实力的机会，学生的学习主动性得到较好的发挥，教学效果好。
2.对于一些合适的教学内容，可以采取让学生课前自学有关章节的内容，然后在课堂上请学生讲课，其他同学提问，教师点评的教学方式。这种教学方式可以让学生对课堂知识的接受由被动变为主动探索。
3.数值分析的一个重要特点就是利用多种方法解决同一问题。因此将在同一问题框架下构建的多种方法进行优劣比较，既有助于学生搭建整体知识框架，又能有效锻炼学生的思考能力和分析能力。使用该方法时，需注意给学生充分的时间进行思考，教师可在学生独立思考期间适当地予以引导和鼓励。在数值分析的教学中，由于在学习中不断更新数值计算方法，往往在课程学习完成后，学生经常会面对掌握多种方法却不知道每种方法的应用范围的情况。为了解决上述问题，使学生充分掌握各类计算方法，就必须在教学过程中鼓励学生对各种方法进行比较、分析，总结出各自的应用特点并加以实践。例如，在对函数值进行近似计算时，课堂上主要介绍的是插值与拟合两种方法。通过比较可以发现：二者在应用上基本思想不同，插值方法的使用强调插值点的精确逼近，而拟合法的使用则需要整体平均逼近。
三、融合传统的教学方式和现代教学手段
传统的数学教学，大多利用黑板进行板书讲授，而此类教学模式于数值分析而言却不完全适用。因为传授计算方法是数值分析教学中的主要内容，而体现计算方法的主要是枯燥的数学符号及其运算，单纯地向学生教授数学符号背景下的数学方法既缺乏直观性，又缺乏连贯性，大部分学生难以理解。因为数值分析中的大量冗长公式，单纯利用板书向学生讲述，既费时费力，又难以充分展现整个推导过程，教师很难将前后联系在一起讲解。因此，对于数值分析的讲解，要充分将现代多媒体教学手段融入教学过程中，打破传统教学模式的壁垒，将传统的教学手段与现代的教学方式相结合，在课程教学中做到有效使用多媒体工具。对基本理论如概念、方法等的讲授可以传统的教学方法为主，而公式应用、复杂计算等则可以通过多媒体手段进行展示。比如在讲解插值法时，可根据多媒体教学内容信息量大和生动鲜明的特点对该方法进行充分阐述。又比如在教授迭代法稳定性和收敛性时，传统的教学手段缺乏图形解释，学生根据纯文字介绍很难理解其本质，而若改用多媒体对收敛和发散进行动态演示，学生根据图形联想很快就能理解其变化本质，学生接受知识更为容易。
四、将数学建模思想融入数值分析教学中
数学建模是将数学与实际紧密联系在一起的桥梁，亦是数学作为一种工具在各个领域发挥作用的媒介，是数学作为一种科学动力向应用转换的主要手段。随着数学建模的不断发展，其作用逐渐被数学与工程界重视，如今，它已经成为了现代科学研究人员不可缺少的重要能力之一。在数值分析课堂教学中，教师要注意将数学建模的思想融入日常课堂教学的过程中。为了贯彻这种思想，教师可以采取下述方式：在新问题、新方法出现时，通过介绍该问题的应用背景渗透数学建模思想，让学生知道所学的知识在不同领域的应用。教师也可以自己构建一个实际问题，根据数学建模的步骤对问题进行分析并创立数学模型，利用上述途径完成对数值方法的引入。采用上述方法不仅可以直观地增进学生对理论和实际应用的认识，还能强化学生对某一实际问题的分析与解决能力。如在数值积分章节，教师可以通过铝制波纹瓦的长度问题为引导，帮助学生根据问题构建曲线积分数学模型，并根据相应数学方法构建出定积分数学模型。因为某些函数求取原函数存在困难，牛顿莱布尼茨公式很难对上述内容进行求解，可从此引出数值积分思想。又如在插值法中，教师在教学过程中可以首先提出问题：如何根据已经获得的某处海洋不同深度处的水温而合理地估计其他深度处的水温？以此为契机介绍插值法。在讲曲线拟合时，先提出问题：根据我国自1900到2014年的人口数，如何才能预测出未来的人口数？以此为前提介绍曲线拟合。在数值分析教学过程中引入数学建模思想，既可以使学生充分掌握数值分析的相关理论和方法，还可以进一步培养学生的科研创新能力，为日后从事科学研究工作打下一定的基础。
五、强化课程实践，打造应用能力
在数值分析课程的理论教学中需引入实验性思想，具体如下。
1.强化基础实验部分：对基本的实验项目，通过讲解算法的框图、多媒体演示和直接用Matlab软件的求解，然后在教师的指导下进行实际编程、调试、计算结果。
2.综合性补充实验和创新型实验部分：向学生提供若干科研分析实际问题中遇到的和数值分析相关的综合实验，并给出辅助材料，允许学生自选与数值分析相关的题目，要求学生分小组协作完成，让每个小组的学生作课堂展示。课堂展示要求学生将自己的报告通过多媒体形式进行展示，其他同学根据该学生的展示内容进行提问和讨论。该方式可以在增进学生之间交流的同时，从多角度巩固学生对某一难点问题的理解，提升同学们合作创新的能力。教师对每个报告进行总结，并作进一步阐述。
3.强调实验结果的总结并规范实验报告的书写：鼓励学生总结自己的问题和成果，在总结中强化对问题和方法的认识；同时提升学生的科研表述能力，为日后研究文章的撰写和专利的设计打下基础。
通过实验训练，学生巩固了课堂内容，锻炼了实践能力，培养了创新能力和应用能力，为进入科研课题的学生利用数值分析方法解决在专业领域的应用问题打下了基础。
六、结束语
数值分析课程作为我校电气工程专业学位研究生的一门重要的基础应用型课程，与电气工程专业的专业课程联系紧密。有效的数值分析课程教学不仅为学生提供了知识，更培养了其认识问题、解决问题的能力。我校自2012年开始招生以来，数值分析课程教学不断得到完善和深化。然而，随着科学技术的日新月异和高等教育改革的不断深化，数值分析课程改革仍旧需要在实践中不断探索总结。尽管新的教学方式、教学方法得到了学生们的肯定，也取得了一些成绩，但同时我们也应清醒地认识到教学改革是一个持续的过程，需要包括学生在内的各类教学元素的共同努力。在实际教学中，我们还要不断总结经验，根据实际不断更新教学内容和教学手段，将创新能力和实际应用能力作为教学的两大基本目标点，从而实现数值分析对电气工程领域专业学位研究生培养目标的要求。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 涂俐兰.研究生“数值分析”精品课程建设与实践[J].大学数学，2012（6）.
[2] 马慧彬，张忠武. 工科硕士研究生《数值分析》课程的改革实践[J]. 当代教育论坛（ 综合研究），2011（3）.
[责任编辑：陈 明]
