以“数学广角”教学渗透数学思想方法
黄晨
“植树问题”是人教版数学四年级下册“数学广角”的内容，教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、环形情况以及方阵问题等。这部分教材的目标并不只是让学生会熟练解决与植树问题相类似的实际问题，而是把解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习切入点，向学生渗透复杂问题从简单入手的思想，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利，借助数学知识的教学发展学生的数学思维。
日前，我听了一节“植树问题”的研究课，有一些感悟。
课始，教师结合教材提问：路长12米，每隔3米栽1棵，要栽几棵树？教师提示学生用画线段图或者是示意图的方式来帮助思考，学生展示了三种植树方案：（1）两端都栽，有5棵；（2）只栽一端，有4棵；（3）两端都不栽，有3棵。此时，教师指出：本节课主要研究第一种情况，并提出问题：12里面有几个3？可以栽几棵？板书：12÷3=4，总长÷间隔长=间隔数。两端都栽可以栽 5棵。接着，教师让学生填写表格。
教师设计这一数学活动的目的，不仅让学生要把间隔数和栽树的棵数对应起来，还要能自己探索栽树的棵数和间隔数之间的规律。而这节课中，教师板书完“总长÷间隔长=间隔数”后，就让学生填写表格，学生根据已有知识能填写间隔数，而教师在前面并未引导学生建立起间隔数与栽树棵数的联系，学生没有任何经验支撑，独立填表难度较大。那么，在教学时应该怎样有效地引导学生透过现象发现栽树的棵数与间隔数之间的规律呢？对这一环节，笔者尝试做了一些改进。
提出问题：路长12米，每3米栽1棵，直接用除法算式12÷3=4，算出的结果和我们从直观图上看出的5棵树一致吗？很自然地产生认知冲突，引发学生思考：这中间有什么奥秘呢？引导学生观察：如果把一条线段平均分，这其中每一份的长度，我们称为间隔长。假如这条线段就是一条小路，平均分成4份后，出现了几个间隔？如果像这样，两端都要栽的话，数一数，共可以栽几棵树？继续引导学生思考：还是这条12米长的路，如果每6米栽一棵，可以栽几棵？每2米栽一棵呢？教师随后出示表格，学生自己选取总长与间隔长，小组合作尝试画图，并填写出间隔数和棵数。在集体汇报交流环节，教师提出问题：仔细观察表格，你发现了什么？总长与间隔数之间有什么样的关系？植树的棵数与间隔数之间有什么样的关系？
这一环节的关键，是让学生自己探索栽树的棵数和间隔数之间的规律，建构数学模型。教学时，虽然题目中的数量关系简单，但是如果直接抽象地去概括、归纳，学生理解起来就不那么容易了。我们需要把复杂问题简单化，那么利用直观图形来扫除思维障碍就是最佳的选择。因此，在处理教材时我把例题改为条件开放的植树问题，不规定间距。利用线段图操作，数形结合有利于学生思考，降低了学习难度，在画图操作的过程中理解多1少1的原因，很容易让学生建立起间隔、间隔数及间隔数和栽树棵数之间的对应关系，形成深刻、完整的表象，提炼出植树问题内在的规律。
数学课程标准明确强调：学习数学知识应从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。基于这样的指导意义，笔者以为搞好课本中“数学广角”课例的教学要抓好以下几点。
一、尊重已有经验，有效组织活动
综观教材我们不难发现，“数学广角”的内容都是在学生熟悉的生活事例中渗透了有关数学思想。如在服装搭配中渗透了排列组合思想，在邮政编码与身份证号码中渗透了编码思想，在“找次品”活动中渗透了优化的思想方法等，这就使原来比较抽象、深奥的数学思想方法有了丰富的现实背景，使数学更贴近学生的生活实际，有利于激活已有的认知经验，帮助他们建构模型、加深理解。
二、经历探索过程，理解思想方法
解决问题是数学活动的核心，但解决问题并不等同于解答习题。要让学生在解决问题的过程中主动尝试从数学的角度寻求解决问题的策略，经历猜想、实验、推理等数学探索活动的过程，逐步增加学生解决问题的经验和能力，体会一些重要的数学思想方法，自主建构模型，形成一些基本的解题策略，切实提高教学效率。
三、注重直观操作，锻炼形象思维
“数学广角”的内容编排非常强调利用直观手段来帮助学生理解问题情境，感悟思想方法，提高学习效率。小学生的思维特点是以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡。但是，这时学生的思维还是直接与感性经验、形象材料相联系的，需要直观手段的支持，否则，学生就会感到数学是枯燥无趣和难以理解的，导致学习热情与学习效率低下。因此，利用实物、教具、图表等直观教学手段来帮助学生学习数学，关注学生的形象思维能力，是帮助他们学习抽象数学知识的重要手段，不仅能加深学生对数学思想方法的理解及记忆，还能启发他们积极思考，培养猜测实验、分析推理的能力和探索精神。
（责 编 肖 飞）
“植树问题”是人教版数学四年级下册“数学广角”的内容，教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、环形情况以及方阵问题等。这部分教材的目标并不只是让学生会熟练解决与植树问题相类似的实际问题，而是把解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习切入点，向学生渗透复杂问题从简单入手的思想，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利，借助数学知识的教学发展学生的数学思维。
日前，我听了一节“植树问题”的研究课，有一些感悟。
课始，教师结合教材提问：路长12米，每隔3米栽1棵，要栽几棵树？教师提示学生用画线段图或者是示意图的方式来帮助思考，学生展示了三种植树方案：（1）两端都栽，有5棵；（2）只栽一端，有4棵；（3）两端都不栽，有3棵。此时，教师指出：本节课主要研究第一种情况，并提出问题：12里面有几个3？可以栽几棵？板书：12÷3=4，总长÷间隔长=间隔数。两端都栽可以栽 5棵。接着，教师让学生填写表格。
教师设计这一数学活动的目的，不仅让学生要把间隔数和栽树的棵数对应起来，还要能自己探索栽树的棵数和间隔数之间的规律。而这节课中，教师板书完“总长÷间隔长=间隔数”后，就让学生填写表格，学生根据已有知识能填写间隔数，而教师在前面并未引导学生建立起间隔数与栽树棵数的联系，学生没有任何经验支撑，独立填表难度较大。那么，在教学时应该怎样有效地引导学生透过现象发现栽树的棵数与间隔数之间的规律呢？对这一环节，笔者尝试做了一些改进。
提出问题：路长12米，每3米栽1棵，直接用除法算式12÷3=4，算出的结果和我们从直观图上看出的5棵树一致吗？很自然地产生认知冲突，引发学生思考：这中间有什么奥秘呢？引导学生观察：如果把一条线段平均分，这其中每一份的长度，我们称为间隔长。假如这条线段就是一条小路，平均分成4份后，出现了几个间隔？如果像这样，两端都要栽的话，数一数，共可以栽几棵树？继续引导学生思考：还是这条12米长的路，如果每6米栽一棵，可以栽几棵？每2米栽一棵呢？教师随后出示表格，学生自己选取总长与间隔长，小组合作尝试画图，并填写出间隔数和棵数。在集体汇报交流环节，教师提出问题：仔细观察表格，你发现了什么？总长与间隔数之间有什么样的关系？植树的棵数与间隔数之间有什么样的关系？
这一环节的关键，是让学生自己探索栽树的棵数和间隔数之间的规律，建构数学模型。教学时，虽然题目中的数量关系简单，但是如果直接抽象地去概括、归纳，学生理解起来就不那么容易了。我们需要把复杂问题简单化，那么利用直观图形来扫除思维障碍就是最佳的选择。因此，在处理教材时我把例题改为条件开放的植树问题，不规定间距。利用线段图操作，数形结合有利于学生思考，降低了学习难度，在画图操作的过程中理解多1少1的原因，很容易让学生建立起间隔、间隔数及间隔数和栽树棵数之间的对应关系，形成深刻、完整的表象，提炼出植树问题内在的规律。
数学课程标准明确强调：学习数学知识应从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。基于这样的指导意义，笔者以为搞好课本中“数学广角”课例的教学要抓好以下几点。
一、尊重已有经验，有效组织活动
综观教材我们不难发现，“数学广角”的内容都是在学生熟悉的生活事例中渗透了有关数学思想。如在服装搭配中渗透了排列组合思想，在邮政编码与身份证号码中渗透了编码思想，在“找次品”活动中渗透了优化的思想方法等，这就使原来比较抽象、深奥的数学思想方法有了丰富的现实背景，使数学更贴近学生的生活实际，有利于激活已有的认知经验，帮助他们建构模型、加深理解。
二、经历探索过程，理解思想方法
解决问题是数学活动的核心，但解决问题并不等同于解答习题。要让学生在解决问题的过程中主动尝试从数学的角度寻求解决问题的策略，经历猜想、实验、推理等数学探索活动的过程，逐步增加学生解决问题的经验和能力，体会一些重要的数学思想方法，自主建构模型，形成一些基本的解题策略，切实提高教学效率。
三、注重直观操作，锻炼形象思维
“数学广角”的内容编排非常强调利用直观手段来帮助学生理解问题情境，感悟思想方法，提高学习效率。小学生的思维特点是以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡。但是，这时学生的思维还是直接与感性经验、形象材料相联系的，需要直观手段的支持，否则，学生就会感到数学是枯燥无趣和难以理解的，导致学习热情与学习效率低下。因此，利用实物、教具、图表等直观教学手段来帮助学生学习数学，关注学生的形象思维能力，是帮助他们学习抽象数学知识的重要手段，不仅能加深学生对数学思想方法的理解及记忆，还能启发他们积极思考，培养猜测实验、分析推理的能力和探索精神。
（责 编 肖 飞）
