基于双正交Fourier变换的多进制Chirp—rate调制的解调算法
王本庆 曾昭林
摘要：针对多进制Chirp-rate调制的通信系统解调算法由于基函数的正交性差导致实现复杂且性能不佳的特点，提出采用基于双正交Fourier变换的解调算法多进制的Chirp-rate调制行正交解调，解决了不同调频率的Chirp信号相互正交的问题，解调后可以得到信号调频率密度谱。BFT算法特点是信号在双正交基下展开，对多LFM信号分析不需要搜索，没有交叉项，特别适合对不同调频斜率组成的多LFM信号进行调频斜率分析。仿真表明其基于双正交Fourier变换的多进制Chirp-rate键控调制的解调算法具有接近MFSK误码率的性能。
关键词：调频率键控；双正交傅里叶变换；解调性能；误码率
0引言
Chirp信号即线性调频（linear frequency moderate，LFM）信号，其瞬时频率随着时间线性变化，具有抗截获破译能力、抗快速移动造成的衰落和多径分辨能力强等优点，已广泛应用于无线通信、雷达和声纳等众多领域。Chirp扩频调制是IEEE802.15.4a定义的两种物理层标准之一，目前应用较多的调制方式是二进制正交键控（Binary Orthogonal Keying，BOK）。BOK调制方式单一，数据率低，且不能实现多址。在1962年Winkler提出用Chirp信号进行抗干扰扩频通信时，即提出采用不同的调频率来携带信息，即高阶的多进制Chirp-rate调制（MCrSK），可以大大提高信息率。目前MCrSK的解调算法主要是分数阶Fourier变换（FrFT），获得良好的性能。但是FrFT解调算法在某一调频率信号达到最佳匹配滤波时，其他调频率的信号会成为频带内的噪声，而没有完全滤除，即FrFT解调算法对于不同调频率的chirp信号不具有正交性。本文将双正交Fourier变换（Biorthogonal Fourier Transform，BFT）引入多MCrSK系统，提出基于BFT的MCrSK解调算法，解决了多进制调制的正交性问题，实现了不同的调频率携带不同的信息的数字化通信。
1BOK调制和BFT变换
其归一化的自相关和互相关函数如图1所示。
理想的BOK调制信号的自相关函数应该为sine函数，而互相关函数应该为零。但是如图1所示，因为up-Chirp信号和down-Chirp信号不是完全的正交，匹配输出出现多峰现象，其自相关函数近似sinc函数，而互相关函数则是有一定幅值的震荡波形，这些性质为解调带来了不良影响，限制了BOK调制的性能提高。
BFT解决了不同调频率Chirp信号间的正交问题，可以通过不同的调频率的信号同时传递信息而不会相互混淆。BFT把信号采用双正交Chirp基函数展开，得到信号的调频率密度谱，它是一种类似于频谱的密度分布。通过BFT，就像单频信号的频谱是冲激函数一样，单调频率Chirp信号在斜率谱就会表现为相应的冲激函数，而且不同调频率的Chirp信号彼此正交。BFT定义为：
式中为时域信号，为调频率密度谱。BFT可以把Chirp信号压缩成冲激函数，其在调频率谱的相应位置出现单一的峰值，而多Chirp函数则是单个Chirp函数的组合，不存在交叉项，也不用搜索，因此适合多调频率的Chirp组合信号分析。
实际中得到的都是信号的离散值，因此有离散BFT，通常记作：
式中k和1分别为时间和调频率的离散量，fs为采样频率，N为总的采样点数。
图2分析包含3分量的Chirp信号的BFT的性能，同时给出了其时频Wigner-Ville分布（WVD）如图2（a），以及其Radon Wigner变换（RWT）如图2（b）、分数阶Fourier变换（FRFT）如图2（c）和BFT如图3（d）。首先WVD属于Cohen类分布，其严重不足是存在交叉项，会产生虚假信号，在Chirp信号分量较多时，其WVD非常混乱。其次Radon变换需要对角度进行搜索，即不同调频率对应不同角度，这样某一个角度下，只有一个信号分量能够得到最佳的估计，其它信号则不能有效估计。FRFT虽然没有交叉项，但是同样需要搜索，一般是先检测最强分量的信号，然后对其进行遮蔽处理，再进行第二强分量信号的估计，一直重复这个过程，最后得到所有信号的信息，无疑这个过程是复杂且对噪声敏感的。当Chirp信号调频率变大时，FRFT变得不敏感，估计精度下降。而BFT通过变换直接精确给出三个分量的调频率和其幅值，不用搜索，也没有交叉项，简单方便。
2MCrSK调制
MCrSK调制把不同信息调制在Chirp信号的调频率上，解调时可以实现两个信号的完全分离。MCrSK可表示为：
式中ω为载频，T为码元长度，g为码元窗函数，θ为相位，其中由r携带所传递的信息。调制时把要传输的数字信号先经过串并转换得到一组多进制的数值，然后由这组值得到相应斜率的锯齿波电压函数，再由锯齿波控制压控振荡器，就得到MCrSK信号，最后调制到载波上。信号的时频图如图3所示。
上式表明了MCrSK的容量，即在满足最小分辨率和最大采样频率的基础上，MCrSK的最大容量为每码元采样点数的1/4。
3性能仿真
在BFT解调算法的框架下，MCrSK各个调制分量实现了正交分解，因此基于BFT的MCrSK的解调属于正交信号相干检测，图4给出二进制的MCrSK信号的误比特率与信噪比的关系曲线。图4在相同情况下，二进制的MCrSK的性能和BFSK相近。
4结语
由MCrSK的调制方式可以看出，MCrSK可以与MFSK、MPSK和MASK三种调制一样，作为基本的调制解调体制。MCrSK可以充分发挥Chirp信号的一些特点，具有频带较宽、传输容量大、恒包络和旁瓣衰减迅速等特点，可广泛用于抗干扰和扩频通信等方面。由于对MCrSK和BFT的研究较少，对于适用于工程应用的MCrSK调制解调特性，还要进一步研究。
