妙用反例促教学

    刘娟

    

    

    [摘 ?要] 在培养学生数学核心素养的前提下,教师利用学科教学和不断实践,探索和提高学生的逻辑推理能力. 教学中不断渗透反例教学,可以帮助学生牢固掌握知识点,证明命题不成立,进而巩固知识,防微杜渐.

    [关键词] 反例教学;一元一次方程;证明

    “反例”就是一些例子,它与某一命题的条件相符却与该命题的结论相悖. 换句话来说,就是说明某一命题不成立的例子. 从另一个角度去看,由于这些例子可以证明某一命题不成立,那都可以看作“反例”. 数学课堂教学中,需要探讨的“反例”都具有一定的数学意义,并立足于数学已证实的理论和逻辑推理的基础之上. 数学中的有些问题,即使是通过绞尽脑汁的推演也毫无头绪,这时通过举反例这种“另类”的证明方式,却可以证实“这一命题不成立”属实. 数学学科的发展离不开“反例”与“证明”的推动,当然,数学教学的推进也同样需要它们的参与. 简洁、直观,具有说服力这一系列特征让“反例”更好地立足于数学教学,并发挥着独一无二的作用. 如何合理地运用反例推进教学进程,不断激发学生思考问题的能力,培养学生的核心素养呢?笔者结合自身的教学实践与经验,借助实例为引,谈一谈反例在初中数学教学中的巧妙运用.

    借助反例,巩固知识点的理解

    学生在数学学习中,经常会被一些易混淆、难理解的知识点所困扰. 他们时常无法理清知识点中蕴含的本质属性,即便是教师数次强调和提示也无济于事,他们依然会错. 此时若适时地将“反例”引入讲解中,并借助“反例”巩固学生对此知识点的理解,必将取得出乎意料的效果.

    例如,学生在学习判定三角形全等时,涉及一种判别方式为“如果一个角和夹这个角的两条边对应相等,那么这两个三角形全等”. 在这个判别方法中,“夹这个角的两条边”这一条件需着重强调. 因此,教师可以在此处提出这样一个问题:“如果两个三角形中,一个角和两条边都对应相等,那么这两个三角形一定全等吗?”这里教师提出的问题与数学教材中涉及的定理有所偏差,不少学生都能进行正确的判断,认为这个观点不一定成立. 此时,教师可以适时进行追问:“哪位同学可以举一个反例说明这个观点?”学生进行合作探讨,教师巧妙抓住机会,进行引导:“我们是不是可以借助一个方法来进行说明呢?比如图形. ”经教师此番提醒,学生们顿时兴趣倍增,一个个都跃跃欲试,尝试着画图. 此后,经过独立思考,合作交流,总结归纳出了如下的反例:

    如图1所示,在等腰三角形ABC中,D为边BC上的任意一点,且AB=AC,那么三角形ABD和三角形ACD中,∠B和∠C相等,并且满足边AB=AC,边AD=AD,而很显然三角形ABD与三角形ACD不全等.

    如图2所示,有三角形ABC,现将边CB延长至点D,连接AD,并且AD=AC,那么三角形ABC与三角形ABD中,公共角∠B=∠B,并且满足边AD=AC,边AB=AB,而很显然三角形ABC与三角形ABD不全等.

    如图3所示,有等腰梯形ABCD,其中AB=CD,连接BD,现三角形ABD与三角形CDB中,∠ADB=∠CBD,并且满足边AB=CD,边BD=BD,而很显然三角形ABD与三角形CDB不全等.

    借助以上的教学情境和反例推进,学生做出如下总结:在运用此判别法进行判别时,关键条件为“一个角以及夹这个角的两条边”,而这里所说的“两条边”不是任意的两条边. 与此同时,借助于“反例”证实了命题“如果一个角与两条边对应相等,那么这两个三角形全等”错误. 通过反例,围绕培养学生的数学核心素养,创新问题情境,并激发学生深度思考,加深了学生对知识点的透彻认识和牢固掌握.

    借助反例,证明命题不成立

    数学教学中,可以证明一个命题不成立的具体方法有以下两种:一种是通过正面直接证明,二是借助反例证明. 教师在引导学生理解和掌握数学概念时,正例的参与必不可少,还需借助反例从多个不同角度去巩固概念. 在习题训练中,学生可以借助“反例”更好地理解和解决判断题这一题型. 例如,判断以下的命题是不是真命题:

    (1)已知两个角为互补关系,那么这两个角中有一个角是锐角,一个角是钝角.

    (2)一个无理數与另外一个无理数相加的和一定是无理数.

    (3)已知两个三角形面积相等,那么这两个三角形是全等三角形.

    以上命题中的数学语言对于初中学生来说较抽象化,极易出错,假如运用反例来证明就相对容易一些. 比如问题(1)中,我们只需要出示反例“两个直角也为互补关系”;问题(2)中,我们只需要出示反例“+-=0”;问题(3),我们只需要出示反例“已知Rt△ABC与Rt△DEF,前一个直角三角形的两条直角边都是2,面积是2,后一个直角三角形的两条直角边是1与4,面积也是2”,由此可见,二者的面积相等却不是全等三角形.

    从上述例子可以得出,举反例有以下优点:借助一个反例就可以轻松证实命题不正确. 因此,教师应主张学生找寻反例,借助反例有效准确地解决数学问题.

    借助反例,巩固知识

    教师在数学课堂教学中,可以借助反例,引导学生进一步巩固知识内容,实现高效课堂教学[1].

    学生在对这个例子进行观察时,洞察到了以下错误:在进行去分母时,方程式右边“1”漏乘了“6”;在去分母之后,“4x-1”未加上小括号;在去括号时,“3x-1”中的“-1”漏乘了“2”;在进行移项时,“-4x”忘记在从等式右边移至左边时更改符号.

    这道题是反例中最具典型的例子,它囊括了学生在“解一元一次方程”时会犯的所有错误. 在指导学生逐一解决这些问题后,教师可以要求学生在每次练习前都将这些反例进行回顾,并思考一下注意点有哪些,进而更好地杜绝错误,理清思路,解答问题. 数学教材中涉及的诸多例题全都是正例,作用在于引导学生规范解题,积累解题经验[2],与此同时,适时将反例穿插运用能更好地促进学生理解. 因此,在数学教学中,教师需将两者结合起来,合理运用,帮助学生巩固知识,预防错误,实现教学相长,并逐步形成解题智慧.

    总之,数学教学活动,不仅需要传授学生数学知识,更需要渗透产生数学知识的技巧. 借助反例教学这一载体,能更好地帮助学生巩固理解,及时纠错,激发学生创造力,提升学生的数学品质,培养学生的核心素养.

    参考文献:

    [1]王光明. 高效数学教学行为的特征[J]. 数学教育学报,2011,20(1):35-38.

    [2]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安:陕西师范大学出版社,2008.

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