多参数几何题解法的探究与启示
陈钰辉
摘 要：几经锤炼的中考题特别值得研究，通过对2016年厦门市中考数学一道典型试题的探究，一方面分析多参数几何探究题的一般方法，即通过审题，借助几何直观，做到整体把握题意，确定合理解题的方向，选择灵活解题的方法，设计简洁的解决程序，各个环节相互配合，从而有力破解解题思路.另一方面，引导和改进解题教学，既要扎实基础训练，又要对历年的考题分门别类，以能力为导向，分解能力要素，加强变式教学.
关键词：中考；多参数几何题；解题；教学
选取有代表性的中考题进行深入研究，引导教学和训练，对初中数学教师而言是一件很有意义的事情.本文将通过对2016年厦门市中考数学第25题的解析，试图揭示解答几何探究题的一般规律，改进解题的教学.
1 题文内容
如图1，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1，m+1）， B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m>0，12 试题解析
本题是在坐标平面下有关四边形的探究题，旨在综合运用所学知识合理简洁地解决问题，考查学生思维的灵活性和创新意识.
考生普遍反映此题很难，无从下手，搜索网页中相关内容，包括教师们在数学讨论群中的反馈，也都觉得难度很大，所能看到的解答过程大都繁杂，明显背离了试题的考查意图.那么，这一道题究竟难在何处呢？
本题的难点之一是变量多，抽象性强，思维层次高，思路难觅，使得不少同学不知所言，不解题意.但这正体现了探究题的特点，要求善于探究发现，总结规律.因此，此类问题解答的基本思路是将一般问题特殊化，先解决特殊化了的问题，再将结论推广到一般的情况.
难点之二是数形结合的思想的运用，既要以形助数，比如通过图形直观探讨解题方向，直观得到图形的性质，以及由三角形面积关系求值等；又要以数助形，比如通过点的坐标判断线段AD、AB的位置关系，判断点P的位置，以及通过计算进行推理和探求等.
难点之三，对于面积相等关系的处理方式，显然不会是让我们作大量的运算，而是应该进行化归与转化，合理简洁地解决问题，体现思维的灵活性和探究性.
思路分析：
2.1 把问题特殊化，解决当m=0时的情况
题文：在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（a，1），C（3，3），D（1，a），1简解：如图2，
①AD∥y轴，AB∥x轴，且AD=AB.
②直线AC是一、三象限角平分线，所以AC平分∠BAD；点P在AC上，所以P到AD、AB距离相等；所以△PAB与△PAD面积相等.
③由S△PAD=S△PBC得S△PAB=S△PBC；因为△BAP和△BPC的底AP、PC在同一直线AC上，高相同，且面积相等，所以点P为线段AC中点.
④由A、C的坐标易得中点P的横坐标为2.
2.2 研究m≠0的情况，即中考的原题
当m≠0时，相对于m=0的情况，是把特殊的问题一般化，实际上是将整个图形向上平移m个单位，因此平移后图形的形状、大小保持不变.与m=0时类似，易求作为线段AC的中点P的横坐标为2.
具体过程如下：如图3，
① ∵A（1，m+1），D（1，m+a）， 横坐标都为1，
∴AD∥y轴。同理AB∥x轴.
② ∵C（3，m+3），∴点C到AD的距离为3-1=2，点C到AB的距离为（m+3）-（m+1）=2，两距离相等.
∴点C在∠BAD的平分线上.
同理，点P到AB、AD的距离都为n-m-1，因此，点P在∠BAD的平分线上.
∴点P在线段AC上.
③ ∵AB=AD=a-1，且点P到AB、AD的距离相等，
∴S△PAD=S△PAB ，又已知S△PAD=S△PBC ，
∴S△PAB =S△PBC .
∵△BAP和△BPC的底AP、PC在同一直线AC上，高相同，
∴点P为线段AC中点.
④ ∴ 点P的横坐标n-m=■=2.
2.3 答题失误分析
（1）不理解参数、字母的含义
多参数的问题尤其考验学生们的符号意识的水平，解题时要从数和形两个角度把握字母、参数的意义.从数量上说，字母代表的数具有一般性，字母代表着规定范围内的任何一个数；从图形的意义上，不少参数具有几何意义，比如点（1，1+m）（m>0）的几何意义是将点（1，1）向上平移m个单位，点P（n，n）（n>0）表示点的横纵坐标相同，在第一象限的角平分线上等等.多参数的问题，尤其需要理清参数间的关系，确定主元，理解参数取值的变化在数和形方面的意义.
（2）缺乏几何直观的意识
比如，不能直观观察、猜想出AD、AB平行于坐标轴，AC平分∠BAD，点P在AC上等信息，探究到简洁的解题方向.在证明点P在直线AC上时，用的是代数的方法，证明点P的坐标符合直线AC的解析式，运算量大.
（3）解决问题的方法单一，思维的灵活性不足
比如，对于条件，有些同学直接用它来列方程求n-m的值，显然运算量非常的大，能够善终的很少.如果能把條件灵活地转化为点P是线段AC的中点，本题将迎刃而解.
（4）缺乏分析和解决问题的基本策略、方法的训练，过程紊乱
3 对教学的启示
3.1 对解题的启示
分析题目的过程一般经历“分析解题条件→探究解题方向→选择解题方法→设计解题程序”等步骤.对于多参数“解析几何”类型的探究题，每个步骤都有其自身的特点.
（1）分析解题条件
每个题目都自成系统.首先要逐字逐句理解题意，理解每个条件和问题在数量和图形方面的含义，在此基础上把各条件综合起来，理清各条件之间的关系，实现对题目的整体把握，这是解题的先决条件.
通过层层设问，引导思考，是理解题意的基本方法。比如，A、B、C、D、P都是动点，它们的坐标各有什么特点？常数代表的数量和位置特点是什么，变量代表的数量和位置特点又是什么？在平面上各个点之间的位置关系怎样？四个点围成的四边形形状、大小、位置关系如何？点和四边形是怎样运动变化的？等等.在回答这一系列有着内在关系、自发涌现的问题中，题意就逐渐明朗起来.
对于运动变化的图形，我们通常选取一个特殊的位置，化动为静，先研究静态下的图形的形状、大小、位置关系，进而研究其运动变化的规律，探索变化中保持不变的性质.在这过程，注意数形结合，观察猜想验证，充分运用几何图形的直观性.比如，当m=0时，图形处于一个特殊的位置，这时，AD∥y轴，AB∥x轴，且AD=AB，A、P、C共线且在第一象限的角平分线上，由面积关系，可确定P的位置在线段AC的中点上；当m≠0时，图形的变化规律是整体向上平移了m个单位.
通过这样的分析，我们对题目就有了一个整体的把握.
（2）探究解题方向
当我们对题目有了整体的把握之后，需要梳理整体与局部的关系，关注隐含的、特殊的条件，分析问题与条件的关联，借助几何直观，确定合理明了的解题方向.
本题中，要解决的问题是求解n-m的值，也就是求点P的横坐标，反观条件，A、C的横坐标已知，只需确定点P是线段AC的中点就可以了.当然，如果关系复杂，也可通过列关于m、n的方程求值.这样，求解的方向就确定下来了.
（3）选择解题方法
分析和解决问题的方法是多种多样的，不同的方法运算量思维量可能大相径庭，思维品质也不尽相同.比如，如何证明点P在直线AC上？如何证明AC平分∠BAD？如何使用条件 ？这些问题如果使用代数的方法，即解析法，则运算量很大，很少能做完整，如果运用几何的方法，就显得简洁明了.不同方法的选择，体现了思维批判性、灵活性和创造性不同的品质.
（4）设计解题程序
最后，需要设计解答过程的先后顺序，做到符合逻辑，先易后难，先合后分，使得解答过程层次清楚，条理分明，步骤合理.
总之，对于解析几何探究题，通过审题，借助几何直观，做到整体把握题意，确定合理的方向，选择灵活的方法，设计简洁的程序，各个环节相互配合，从而有力破解解题思路.
3.2 对解题教学的启示
（1）熟练掌握基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，这是解好综合题、探究题的基础.
比如，要解决本题，就需要具备熟练解决以下基础题的技能.
①已知点A（1，m+1）和点D（1，m+a），求A、D两点间的距离和直线AD的方程.
②已知点A（1，m+1）和点B（a，m+1），求A、B两点间的距离和直线AB的方程.
③已知点A（1，m+1）和点C（3，m+3），求直线AC与直线x=m+1的夹角，直线AC与直线y=1的夹角.
④求点P（n-m，n）到直线x=m+1和直线y=1的距离.
⑤已知点A（1，m+1）和点C（3，m+3），求AC中点的横坐标.
⑥已知AP平分∠BAD，AB=AD，求证：S△PAD=S△PAB .
⑦已知△ABC中，P为AC边上的一点，若S△PAB =S△PBC，求证：P为AC中点.
⑧已知点的坐标，求直线方程，等等.这些基本技能的训练贯穿于整个教学过程，平时要充分使用课本习题，加强变式，熟练掌握基本技能.
同时，熟练掌握直线、角平分线、三角形、四边形、平移等相关的基础知识，数形结合、化归转化等数学思想，积累观察、猜想、验证、动手实践、反思质疑等数学活动经验.
（2）掌握分析和解决探究题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.
综合题、探究题不是基础题的拼盘，而是具有内在结构的有机整体，解决探究题与解决基础题有着本质的不同，需要在解题实践中不断摸索提炼，掌握分析和解决问题的一些基本的策略、方法，并体验方法的多样性，把能力提高到新水平.
①训练量要充分.我们反对刷题，反对题海战术，但是，一定量的有效训练则是必要的.如果训练不充分，能力水平达不到，即便是曾经练习过的类似题目也未必能够解答得出来.这样的例子实在是太多了.
②以提高探究能力为重点，分门别类，加强变式教学.近年来，厦门市中考含参的解析几何类的问题每年都考，能力要素和层次也大抵相当，比如：
题一：（2013年中考倒数第三题，本题满分6分） 已知点O是坐标系的原点，直线y=-x+m+n与双曲线y=■ 交于两个不同的点A（m，n）（m≥2）和B（p，q），直线y=-x+m+n与y轴交于点C，求△OBC的面积S的取值范围.
题二：（2014年中考倒数第三题，本题满分6分）当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，■）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=■，AM=4■，求△MBC的面积.
题三：（2015年中考倒数第三题，本题满分7分）如图4，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m>2）， D（p，q）（q
摘 要：几经锤炼的中考题特别值得研究，通过对2016年厦门市中考数学一道典型试题的探究，一方面分析多参数几何探究题的一般方法，即通过审题，借助几何直观，做到整体把握题意，确定合理解题的方向，选择灵活解题的方法，设计简洁的解决程序，各个环节相互配合，从而有力破解解题思路.另一方面，引导和改进解题教学，既要扎实基础训练，又要对历年的考题分门别类，以能力为导向，分解能力要素，加强变式教学.
关键词：中考；多参数几何题；解题；教学
选取有代表性的中考题进行深入研究，引导教学和训练，对初中数学教师而言是一件很有意义的事情.本文将通过对2016年厦门市中考数学第25题的解析，试图揭示解答几何探究题的一般规律，改进解题的教学.
1 题文内容
如图1，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1，m+1）， B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m>0，12 试题解析
本题是在坐标平面下有关四边形的探究题，旨在综合运用所学知识合理简洁地解决问题，考查学生思维的灵活性和创新意识.
考生普遍反映此题很难，无从下手，搜索网页中相关内容，包括教师们在数学讨论群中的反馈，也都觉得难度很大，所能看到的解答过程大都繁杂，明显背离了试题的考查意图.那么，这一道题究竟难在何处呢？
本题的难点之一是变量多，抽象性强，思维层次高，思路难觅，使得不少同学不知所言，不解题意.但这正体现了探究题的特点，要求善于探究发现，总结规律.因此，此类问题解答的基本思路是将一般问题特殊化，先解决特殊化了的问题，再将结论推广到一般的情况.
难点之二是数形结合的思想的运用，既要以形助数，比如通过图形直观探讨解题方向，直观得到图形的性质，以及由三角形面积关系求值等；又要以数助形，比如通过点的坐标判断线段AD、AB的位置关系，判断点P的位置，以及通过计算进行推理和探求等.
难点之三，对于面积相等关系的处理方式，显然不会是让我们作大量的运算，而是应该进行化归与转化，合理简洁地解决问题，体现思维的灵活性和探究性.
思路分析：
2.1 把问题特殊化，解决当m=0时的情况
题文：在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（a，1），C（3，3），D（1，a），1简解：如图2，
①AD∥y轴，AB∥x轴，且AD=AB.
②直线AC是一、三象限角平分线，所以AC平分∠BAD；点P在AC上，所以P到AD、AB距离相等；所以△PAB与△PAD面积相等.
③由S△PAD=S△PBC得S△PAB=S△PBC；因为△BAP和△BPC的底AP、PC在同一直线AC上，高相同，且面积相等，所以点P为线段AC中点.
④由A、C的坐标易得中点P的横坐标为2.
2.2 研究m≠0的情况，即中考的原题
当m≠0时，相对于m=0的情况，是把特殊的问题一般化，实际上是将整个图形向上平移m个单位，因此平移后图形的形状、大小保持不变.与m=0时类似，易求作为线段AC的中点P的横坐标为2.
具体过程如下：如图3，
① ∵A（1，m+1），D（1，m+a）， 横坐标都为1，
∴AD∥y轴。同理AB∥x轴.
② ∵C（3，m+3），∴点C到AD的距离为3-1=2，点C到AB的距离为（m+3）-（m+1）=2，两距离相等.
∴点C在∠BAD的平分线上.
同理，点P到AB、AD的距离都为n-m-1，因此，点P在∠BAD的平分线上.
∴点P在线段AC上.
③ ∵AB=AD=a-1，且点P到AB、AD的距离相等，
∴S△PAD=S△PAB ，又已知S△PAD=S△PBC ，
∴S△PAB =S△PBC .
∵△BAP和△BPC的底AP、PC在同一直线AC上，高相同，
∴点P为线段AC中点.
④ ∴ 点P的横坐标n-m=■=2.
2.3 答题失误分析
（1）不理解参数、字母的含义
多参数的问题尤其考验学生们的符号意识的水平，解题时要从数和形两个角度把握字母、参数的意义.从数量上说，字母代表的数具有一般性，字母代表着规定范围内的任何一个数；从图形的意义上，不少参数具有几何意义，比如点（1，1+m）（m>0）的几何意义是将点（1，1）向上平移m个单位，点P（n，n）（n>0）表示点的横纵坐标相同，在第一象限的角平分线上等等.多参数的问题，尤其需要理清参数间的关系，确定主元，理解参数取值的变化在数和形方面的意义.
（2）缺乏几何直观的意识
比如，不能直观观察、猜想出AD、AB平行于坐标轴，AC平分∠BAD，点P在AC上等信息，探究到简洁的解题方向.在证明点P在直线AC上时，用的是代数的方法，证明点P的坐标符合直线AC的解析式，运算量大.
（3）解决问题的方法单一，思维的灵活性不足
比如，对于条件，有些同学直接用它来列方程求n-m的值，显然运算量非常的大，能够善终的很少.如果能把條件灵活地转化为点P是线段AC的中点，本题将迎刃而解.
（4）缺乏分析和解决问题的基本策略、方法的训练，过程紊乱
3 对教学的启示
3.1 对解题的启示
分析题目的过程一般经历“分析解题条件→探究解题方向→选择解题方法→设计解题程序”等步骤.对于多参数“解析几何”类型的探究题，每个步骤都有其自身的特点.
（1）分析解题条件
每个题目都自成系统.首先要逐字逐句理解题意，理解每个条件和问题在数量和图形方面的含义，在此基础上把各条件综合起来，理清各条件之间的关系，实现对题目的整体把握，这是解题的先决条件.
通过层层设问，引导思考，是理解题意的基本方法。比如，A、B、C、D、P都是动点，它们的坐标各有什么特点？常数代表的数量和位置特点是什么，变量代表的数量和位置特点又是什么？在平面上各个点之间的位置关系怎样？四个点围成的四边形形状、大小、位置关系如何？点和四边形是怎样运动变化的？等等.在回答这一系列有着内在关系、自发涌现的问题中，题意就逐渐明朗起来.
对于运动变化的图形，我们通常选取一个特殊的位置，化动为静，先研究静态下的图形的形状、大小、位置关系，进而研究其运动变化的规律，探索变化中保持不变的性质.在这过程，注意数形结合，观察猜想验证，充分运用几何图形的直观性.比如，当m=0时，图形处于一个特殊的位置，这时，AD∥y轴，AB∥x轴，且AD=AB，A、P、C共线且在第一象限的角平分线上，由面积关系，可确定P的位置在线段AC的中点上；当m≠0时，图形的变化规律是整体向上平移了m个单位.
通过这样的分析，我们对题目就有了一个整体的把握.
（2）探究解题方向
当我们对题目有了整体的把握之后，需要梳理整体与局部的关系，关注隐含的、特殊的条件，分析问题与条件的关联，借助几何直观，确定合理明了的解题方向.
本题中，要解决的问题是求解n-m的值，也就是求点P的横坐标，反观条件，A、C的横坐标已知，只需确定点P是线段AC的中点就可以了.当然，如果关系复杂，也可通过列关于m、n的方程求值.这样，求解的方向就确定下来了.
（3）选择解题方法
分析和解决问题的方法是多种多样的，不同的方法运算量思维量可能大相径庭，思维品质也不尽相同.比如，如何证明点P在直线AC上？如何证明AC平分∠BAD？如何使用条件 ？这些问题如果使用代数的方法，即解析法，则运算量很大，很少能做完整，如果运用几何的方法，就显得简洁明了.不同方法的选择，体现了思维批判性、灵活性和创造性不同的品质.
（4）设计解题程序
最后，需要设计解答过程的先后顺序，做到符合逻辑，先易后难，先合后分，使得解答过程层次清楚，条理分明，步骤合理.
总之，对于解析几何探究题，通过审题，借助几何直观，做到整体把握题意，确定合理的方向，选择灵活的方法，设计简洁的程序，各个环节相互配合，从而有力破解解题思路.
3.2 对解题教学的启示
（1）熟练掌握基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，这是解好综合题、探究题的基础.
比如，要解决本题，就需要具备熟练解决以下基础题的技能.
①已知点A（1，m+1）和点D（1，m+a），求A、D两点间的距离和直线AD的方程.
②已知点A（1，m+1）和点B（a，m+1），求A、B两点间的距离和直线AB的方程.
③已知点A（1，m+1）和点C（3，m+3），求直线AC与直线x=m+1的夹角，直线AC与直线y=1的夹角.
④求点P（n-m，n）到直线x=m+1和直线y=1的距离.
⑤已知点A（1，m+1）和点C（3，m+3），求AC中点的横坐标.
⑥已知AP平分∠BAD，AB=AD，求证：S△PAD=S△PAB .
⑦已知△ABC中，P为AC边上的一点，若S△PAB =S△PBC，求证：P为AC中点.
⑧已知点的坐标，求直线方程，等等.这些基本技能的训练贯穿于整个教学过程，平时要充分使用课本习题，加强变式，熟练掌握基本技能.
同时，熟练掌握直线、角平分线、三角形、四边形、平移等相关的基础知识，数形结合、化归转化等数学思想，积累观察、猜想、验证、动手实践、反思质疑等数学活动经验.
（2）掌握分析和解决探究题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.
综合题、探究题不是基础题的拼盘，而是具有内在结构的有机整体，解决探究题与解决基础题有着本质的不同，需要在解题实践中不断摸索提炼，掌握分析和解决问题的一些基本的策略、方法，并体验方法的多样性，把能力提高到新水平.
①训练量要充分.我们反对刷题，反对题海战术，但是，一定量的有效训练则是必要的.如果训练不充分，能力水平达不到，即便是曾经练习过的类似题目也未必能够解答得出来.这样的例子实在是太多了.
②以提高探究能力为重点，分门别类，加强变式教学.近年来，厦门市中考含参的解析几何类的问题每年都考，能力要素和层次也大抵相当，比如：
题一：（2013年中考倒数第三题，本题满分6分） 已知点O是坐标系的原点，直线y=-x+m+n与双曲线y=■ 交于两个不同的点A（m，n）（m≥2）和B（p，q），直线y=-x+m+n与y轴交于点C，求△OBC的面积S的取值范围.
题二：（2014年中考倒数第三题，本题满分6分）当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，■）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=■，AM=4■，求△MBC的面积.
题三：（2015年中考倒数第三题，本题满分7分）如图4，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m>2）， D（p，q）（q
