巧运算 快提速
李红红
运算能力是数学的三大基本能力之一，是最基础、应用最广泛的一种能力，在中考中大部分题目的解决都离不开运算，运算能力直接决定着中考的成败.要想在规定的时间内快速准确地进行运算，除了理解基本概念、熟记计算公式、掌握计算法则外，更重要的是 “懂算理，会算法”，即应该思考使用公式、法则是否合理，运算方法和运算过程是否简捷.下面撷取近几年中考数学典型试题，谈谈提高数学运算速度的八种方法，供老师们和同学们在复习迎考中参考.
一、巧换元
例1 计算（1-12-13-14-15）
（12+13+14+15+16）-
（1-12-13-14-15-16）
（12+13+14+15）的结果是.
解析：设12+13+14+15=m，则原式=（1-m）·（m+16）-（1-m-16）m=m+16-m2-m6-m+m2+m6=16.
方法总结：本题是一道繁杂的有关数的计算题，观察式子可以发现四个括号中都有12+13+14+15，可采用换元法，使用字母符号进行一般性的运算，从而方便快捷地解决问题.
二、巧估算
例2 某班师生十年后再次聚会，见面时相互握手一次，共握手1275次，问原来班级师生共人.
解析：设原来班级师生共x人，根据题意得x（x-1）2=1275，即x（x-1）=2550，此方程是一元二次方程，系数较大，若用配方法或者公式法来求解，那么运算量很大，容易出错.注意观察方程左边两个因式可以发现x与x-1是两个连续自然数，两个连续自然数的积等于2550，可以用估算的方法来尝试方程的解，首先估算哪个数的平方接近2550，显然是50，并且502=2500，2500比2550小，因此再尝试50×51=2550，所以x=51，即原来班级师生共51人.
方法总结：解一元二次方程除了使用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种常规解法外，遇到系数比较大的或者特殊的方程还可以根据方程解的定义，用试值法来估算方程的解，可以起到事半功倍的效果.
三、巧变形
例3 已知a+2b=4，3a+2b=8.则a+b等于（ ）.
A.3
B.83
C.2
D.1
解析：对于此方程组，可将上下两个方程相加，得4a+4b=12，所以a+b=3.故答案为选项A.
方法总结：此题设计方程组背景来求代数式的值，常规方法是解方程组求出未知数的值，再代入代数式求值.但事实上，不必急于将所有未知数都解出，只需观察所求的代数式和方程组中两个方程之间的关系，就可以进行整体变形，从而化繁为简.
四、巧转化
例4 已知直線y=ax（a≠0）与双曲线y=kx（k≠0）的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点的坐标是（ ）.
A.（-2，6）
B.（-6，-2）
C.（-2，-6）
D.（6，2）
解析：∵直线y=ax（a≠0）与双曲线y=kx（k≠0）的图像均关于原点对称，∴它们的另一个交点与点（2，6）关于原点对称.∴它们的另一个交点坐标为（-2，-6）.故选C.
方法总结：该题利用了正比例函数、反比例函数的图象的对称性，从而将求两个函数图像交点坐标问题巧妙地转化为求一个交点关于原点对称点的坐标问题.这道题充分展示了解决数学问题的一种重要思想方法——转化法.利用转化法可以化生为熟，化繁为简，化难为易，使问题快速得到解决.
五、巧代入
例5 若a=2，a+b=3，则a2+ab=.
解析：a2+ab=a（a+b），将a=2，a+b=3代入，得a2+ab=2×3=6.
方法总结：该题可以先将每个字母的值都求出来，再代入代数式求值，而利用因式分解将多项式进行变形，再整体代入运算，效率会更高. 整体代入是求代数式值的常用技巧，解题过程中也可以用整体代入的方法进行化简计算，以减少运算量.
运算能力是数学的三大基本能力之一，是最基础、应用最广泛的一种能力，在中考中大部分题目的解决都离不开运算，运算能力直接决定着中考的成败.要想在规定的时间内快速准确地进行运算，除了理解基本概念、熟记计算公式、掌握计算法则外，更重要的是 “懂算理，会算法”，即应该思考使用公式、法则是否合理，运算方法和运算过程是否简捷.下面撷取近几年中考数学典型试题，谈谈提高数学运算速度的八种方法，供老师们和同学们在复习迎考中参考.
一、巧换元
例1 计算（1-12-13-14-15）
（12+13+14+15+16）-
（1-12-13-14-15-16）
（12+13+14+15）的结果是.
解析：设12+13+14+15=m，则原式=（1-m）·（m+16）-（1-m-16）m=m+16-m2-m6-m+m2+m6=16.
方法总结：本题是一道繁杂的有关数的计算题，观察式子可以发现四个括号中都有12+13+14+15，可采用换元法，使用字母符号进行一般性的运算，从而方便快捷地解决问题.
二、巧估算
例2 某班师生十年后再次聚会，见面时相互握手一次，共握手1275次，问原来班级师生共人.
解析：设原来班级师生共x人，根据题意得x（x-1）2=1275，即x（x-1）=2550，此方程是一元二次方程，系数较大，若用配方法或者公式法来求解，那么运算量很大，容易出错.注意观察方程左边两个因式可以发现x与x-1是两个连续自然数，两个连续自然数的积等于2550，可以用估算的方法来尝试方程的解，首先估算哪个数的平方接近2550，显然是50，并且502=2500，2500比2550小，因此再尝试50×51=2550，所以x=51，即原来班级师生共51人.
方法总结：解一元二次方程除了使用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种常规解法外，遇到系数比较大的或者特殊的方程还可以根据方程解的定义，用试值法来估算方程的解，可以起到事半功倍的效果.
三、巧变形
例3 已知a+2b=4，3a+2b=8.则a+b等于（ ）.
A.3
B.83
C.2
D.1
解析：对于此方程组，可将上下两个方程相加，得4a+4b=12，所以a+b=3.故答案为选项A.
方法总结：此题设计方程组背景来求代数式的值，常规方法是解方程组求出未知数的值，再代入代数式求值.但事实上，不必急于将所有未知数都解出，只需观察所求的代数式和方程组中两个方程之间的关系，就可以进行整体变形，从而化繁为简.
四、巧转化
例4 已知直線y=ax（a≠0）与双曲线y=kx（k≠0）的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点的坐标是（ ）.
A.（-2，6）
B.（-6，-2）
C.（-2，-6）
D.（6，2）
解析：∵直线y=ax（a≠0）与双曲线y=kx（k≠0）的图像均关于原点对称，∴它们的另一个交点与点（2，6）关于原点对称.∴它们的另一个交点坐标为（-2，-6）.故选C.
方法总结：该题利用了正比例函数、反比例函数的图象的对称性，从而将求两个函数图像交点坐标问题巧妙地转化为求一个交点关于原点对称点的坐标问题.这道题充分展示了解决数学问题的一种重要思想方法——转化法.利用转化法可以化生为熟，化繁为简，化难为易，使问题快速得到解决.
五、巧代入
例5 若a=2，a+b=3，则a2+ab=.
解析：a2+ab=a（a+b），将a=2，a+b=3代入，得a2+ab=2×3=6.
方法总结：该题可以先将每个字母的值都求出来，再代入代数式求值，而利用因式分解将多项式进行变形，再整体代入运算，效率会更高. 整体代入是求代数式值的常用技巧，解题过程中也可以用整体代入的方法进行化简计算，以减少运算量.
