运用代数方法解决几何问题一例
王志芳
运用代数方法解决几何问题是学生应用的难点.绝对值与数轴上两点间距离，平方与正方形面积，开方与直角三角形边长，二元一次方程与一次函数、一次不等式，一元二次方程与二次函数、不等式组等等，都是典型的用代数方法解决几何问题.下面仅就如何运用建立平面直角坐标系解决几何问题，举例说明数形结合在解题中的具体运用.
已知如图：正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别为BC、CD的中点，连接BF、DE，求图中阴影部分面积.
1.运用几何方法求解.
解：设BF，DE交于点G.连接CG，过点G作GP⊥CD，GQ⊥BC.
∵E是BC中点，F是DC中点，
∴BE=EC=12BC=12cm，DF=FC=12DC=12cm.
∵四边形ABCD是正方形，∴ BC=DC，∠BCD=90°.
∴BE=EC=DF=FC.
∵在△DEC與△BFC中
DC=BC，
∠DCE=∠BCF，
EC=FC，
∴△DEC≌△BFC（SAS），∠EDC=∠FBC.
∵BF交DE于点G，∴∠DGF=∠BGE.
∵在△DGF与△BGE中，
∠DGF=∠BGE，
∠GDF=∠GBE，
DF=BE，
∴△DGF≌△BGE（AAS），S△DGF=S△BGE.
∵S△DGF=S△BGE，DF=BE，GP⊥CD，GQ⊥BC，∴GP=GQ.
∵BE=EC=DF=FC且GP=GQ，∴S△DGF=S△CGF=S△BGE=S△CGE.
∵∠BCD=90°，∴S△BFC=12·CF·BC=12×0.5cm×1cm=14cm2.
∵S△CGF=S△BGE=S△CGE且S△CGF+S△BGE+S△CGE=S△BFC，∴S△DGF=S△CGF=S△BGE=S△CGE=112cm2.
∴S△DGF+S△CGF+S△BGE+S△CGE=13cm2.
∴S四边形ADGB=S正方形ABCD-（S△DGF+S△CGF+S△BGE+S△CGE）=1-13=23（cm2）.
2.运用代数方法求解.
这里我们可以采用建里平面直角坐标系的方法使题目得到解答.
以D为坐标原点，过CD的直线为x轴，过AD的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
那么由已知我们就可以得到：点B坐标（1，1），点A坐标（0，1），点C坐标（1，0），点E坐标（1，0.5），点F坐标（0.5，0）.
设过BF的直线表达式为y=kx+b（k≠0）.
∵过点B（1，1），点F（0.5，0），
∴k+b=10.5k+b=0.
∴k=2，b=-1，一次函数表达式为y=2x-1.
设过DE的直线表达式为y=kx（k≠0）.
∵过点E（1，0.5），∴k=0.5.正比例函数表达式为y=0.5x.
所以我们可以求出两条直线的交点坐标为G（23，13）.
∴S△BFC=12×1×0.5=14，S△DFG=12×13×12=112.
∴S四边形ADGB=1-14-112=23.
利用代数方法解决几何问题，不仅思路简捷，解题明快，而且饶有趣味，使解题近乎格式化.利用代数解法，还可以拓宽学生的视野和解题思路，充分体现了“几何”和“代数”是相互渗透，紧密关联的.
运用代数方法解决几何问题是学生应用的难点.绝对值与数轴上两点间距离，平方与正方形面积，开方与直角三角形边长，二元一次方程与一次函数、一次不等式，一元二次方程与二次函数、不等式组等等，都是典型的用代数方法解决几何问题.下面仅就如何运用建立平面直角坐标系解决几何问题，举例说明数形结合在解题中的具体运用.
已知如图：正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别为BC、CD的中点，连接BF、DE，求图中阴影部分面积.
1.运用几何方法求解.
解：设BF，DE交于点G.连接CG，过点G作GP⊥CD，GQ⊥BC.
∵E是BC中点，F是DC中点，
∴BE=EC=12BC=12cm，DF=FC=12DC=12cm.
∵四边形ABCD是正方形，∴ BC=DC，∠BCD=90°.
∴BE=EC=DF=FC.
∵在△DEC與△BFC中
DC=BC，
∠DCE=∠BCF，
EC=FC，
∴△DEC≌△BFC（SAS），∠EDC=∠FBC.
∵BF交DE于点G，∴∠DGF=∠BGE.
∵在△DGF与△BGE中，
∠DGF=∠BGE，
∠GDF=∠GBE，
DF=BE，
∴△DGF≌△BGE（AAS），S△DGF=S△BGE.
∵S△DGF=S△BGE，DF=BE，GP⊥CD，GQ⊥BC，∴GP=GQ.
∵BE=EC=DF=FC且GP=GQ，∴S△DGF=S△CGF=S△BGE=S△CGE.
∵∠BCD=90°，∴S△BFC=12·CF·BC=12×0.5cm×1cm=14cm2.
∵S△CGF=S△BGE=S△CGE且S△CGF+S△BGE+S△CGE=S△BFC，∴S△DGF=S△CGF=S△BGE=S△CGE=112cm2.
∴S△DGF+S△CGF+S△BGE+S△CGE=13cm2.
∴S四边形ADGB=S正方形ABCD-（S△DGF+S△CGF+S△BGE+S△CGE）=1-13=23（cm2）.
2.运用代数方法求解.
这里我们可以采用建里平面直角坐标系的方法使题目得到解答.
以D为坐标原点，过CD的直线为x轴，过AD的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
那么由已知我们就可以得到：点B坐标（1，1），点A坐标（0，1），点C坐标（1，0），点E坐标（1，0.5），点F坐标（0.5，0）.
设过BF的直线表达式为y=kx+b（k≠0）.
∵过点B（1，1），点F（0.5，0），
∴k+b=10.5k+b=0.
∴k=2，b=-1，一次函数表达式为y=2x-1.
设过DE的直线表达式为y=kx（k≠0）.
∵过点E（1，0.5），∴k=0.5.正比例函数表达式为y=0.5x.
所以我们可以求出两条直线的交点坐标为G（23，13）.
∴S△BFC=12×1×0.5=14，S△DFG=12×13×12=112.
∴S四边形ADGB=1-14-112=23.
利用代数方法解决几何问题，不仅思路简捷，解题明快，而且饶有趣味，使解题近乎格式化.利用代数解法，还可以拓宽学生的视野和解题思路，充分体现了“几何”和“代数”是相互渗透，紧密关联的.
