如何上好《函数》的概念课
申海东
摘要：初中阶段函数概念课的教学，一直是教学研究的重点课题，在学生学习的过程中应以实际案例引导学生抽象、概括和归纳出函数概念，要让学生经历概念的形成过程，感悟本章要解决的主要问题、基本过程，渗透主要思想方法. 本文以“函数定义”为例，聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律，再安排一些习题进行巩固训练，这样的教学程序对学生理解变量函数是非常有利的，突出体现了函数来源于生活、抽象于现实生活的特点.
关键词：函数 概念 探索
核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过渡.这就要求在核心数学概念的教学中，要重点考虑概念的来源、相关概念及其关系、概念的作用等，更要突出概念形成的过程性.特别值得注意的是，核心数学概念的形成不是一蹴而就的，常常需要几节课或一个阶段才能完成概念建构，甚至是一个长期、动态的建构过程，函数概念就是最典型的例证.
新人教版的八年级数学（下）第十九章《一次函数》的起始课既是从研究常量转为研究变量关系的起始课，又是正式学习函数的开始，函数概念比较抽象，是学习的难点，所以本节课主要是激发学生学习函数的兴趣，感知函数概念产生的必要性.由于在初中阶段会多次学习不同函数，所以对函数概念的理解可以通过较长的时间去感悟、认同、内化，而不必在第一节课就对函数概念进行严格定义，否则会让学生对其望而生畏.基于上述分析，本案例设计采取概念形成教学法，线索如下： 為什么要研究变量之间的关系——感悟两个变量的“对应”关系——正确理解两个“变量”的对应关系——函数的概念——概念巩固.
学生在学习这节课的时候，教师应格外注意分析生活中一些实例，背后所蕴含的数学意义.
问题1 下面变化过程中的变量之间有什么联系？
汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km.
行驶时间t/h133.449…
行驶里程s/km60180204240540…
在学习的过程中，一边出示行驶时间t，一边由学生计算答案，一边问学生：
1.题目中出现了几个变量？
2.对于一个给定的t值，你能算出几个答案？
给学生一个具体的t值，它们能求出一个具体的s值，当这个表格填完时，进行追问：
3.求答出的s值是不是唯一一个，还能有别的答案吗？
学生说没有，如果有别的多个答案，那一定是算错了！以此，接下来的几个问题都这样去问，这样的问法，会给学生留下几个印象：
1.我们研究的问题中，都存在两个变量，不能多也不能少；
2.这些变量中，当给定一个变量的具体值之后，对应的另一个变量也是可以求出相应的值，并且这个值是唯一一个.
以此来加深学生对于接下来函数定义的理解.当然，光有表达式还是不够的，还要有其他形式的函数出现：
问题2 下面是中国代表团在第23届至30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作x和y，对于表中每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y吗？
届数x/届2324252627282930
金牌数y/枚155161628325138
在学习这道题时，学生先观察表格，再进行提问：
1.第一行表示什么？第二行表示什么？
2.找出第24届一共获得了多少枚金牌，30届获得了多少枚金牌？
学生能够迅速找到答案.继续追问：
3.你们是如何找到的？会先看什么？然后再看什么？
学生感觉很容易，其实这蕴含着如何读表格的问题，对于追问与问题1的相关问题，学生会发现，原来表格中，也有两个变量，也有这种对应关系.
问题3 下图是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出某一时刻的气温吗？
类比上道题，学生先观察图像，并提问：
1.横轴表示什么？纵轴表示什么？
2.16时的气温是多少？0点时温度是多少？
3.你在找这些温度的时候，你会先看什么？然后怎么找到这个点的？然后又怎么知道这个点代表的温度的？
因为是简单的实际问题，学生很容易解决，但是在以后学习抽象的函数图象的时候，图象的观察其实也是要经历这么一个过程，先看x轴上的具体数字，然后在上下两个象限内找出现的点，再然后观察y轴这个点对应的数字.在解决这道题时，我也会问与问题1相关的问题，学生这次能够明确感受到，这个图象上的两个变量之间的对应关系.
结合这几个简单实际问题的分析和理解，总结刚才在分析问题时，上面所有实例中变量之间的关系存在的共同特点.这次学生能够明确地分析出：第一，所有实例中，都存在着一种变化的过程；第二，所有的实例中，都含有两个变量；第三，所有的实例中，对于其中一个变量给出了具体的数值之后，另一个变量就能求出相应的并且是唯一一个确定的值.在三个问题的互动对话中，实现了帮助学生构建整体框架，使学生面对一个新的概念时，有了一个“整体观”，由此就很自然地引出了函数的定义.
为了更好地理解函数的定义，还可以举出如下的反例：
如下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？
针对这个问题，学生需要利用函数的概念来进行判断，看看是不是存在着一一对应的关系，以此作为判断依据.
函数是数学中的一个重要概念，它可以揭示现实世界中数量关系进行相互变化和依存的实质，是刻画现实世界和变化世界的一个重要模型.以上的教学过程可以使学生感悟函数概念的产生背景和产生过程，激发学生探索问题的兴趣，掌握函数概念的实质，同时还能让学会发现和解决问题的数学思维方式和方法，积淀数学思想和观念，更加深刻地理解函数的概念.
参考文献
[1]韩新正.感悟“对应” 把握本质 理解函数——谈函数起始课教学的着力点[J]. 中学数学杂志，2016，（02）：
[2]聂家成.初中函数概念起始课有效教学的案例分析[J]. 新课程（上），2014，（07）：
摘要：初中阶段函数概念课的教学，一直是教学研究的重点课题，在学生学习的过程中应以实际案例引导学生抽象、概括和归纳出函数概念，要让学生经历概念的形成过程，感悟本章要解决的主要问题、基本过程，渗透主要思想方法. 本文以“函数定义”为例，聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律，再安排一些习题进行巩固训练，这样的教学程序对学生理解变量函数是非常有利的，突出体现了函数来源于生活、抽象于现实生活的特点.
关键词：函数 概念 探索
核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过渡.这就要求在核心数学概念的教学中，要重点考虑概念的来源、相关概念及其关系、概念的作用等，更要突出概念形成的过程性.特别值得注意的是，核心数学概念的形成不是一蹴而就的，常常需要几节课或一个阶段才能完成概念建构，甚至是一个长期、动态的建构过程，函数概念就是最典型的例证.
新人教版的八年级数学（下）第十九章《一次函数》的起始课既是从研究常量转为研究变量关系的起始课，又是正式学习函数的开始，函数概念比较抽象，是学习的难点，所以本节课主要是激发学生学习函数的兴趣，感知函数概念产生的必要性.由于在初中阶段会多次学习不同函数，所以对函数概念的理解可以通过较长的时间去感悟、认同、内化，而不必在第一节课就对函数概念进行严格定义，否则会让学生对其望而生畏.基于上述分析，本案例设计采取概念形成教学法，线索如下： 為什么要研究变量之间的关系——感悟两个变量的“对应”关系——正确理解两个“变量”的对应关系——函数的概念——概念巩固.
学生在学习这节课的时候，教师应格外注意分析生活中一些实例，背后所蕴含的数学意义.
问题1 下面变化过程中的变量之间有什么联系？
汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km.
行驶时间t/h133.449…
行驶里程s/km60180204240540…
在学习的过程中，一边出示行驶时间t，一边由学生计算答案，一边问学生：
1.题目中出现了几个变量？
2.对于一个给定的t值，你能算出几个答案？
给学生一个具体的t值，它们能求出一个具体的s值，当这个表格填完时，进行追问：
3.求答出的s值是不是唯一一个，还能有别的答案吗？
学生说没有，如果有别的多个答案，那一定是算错了！以此，接下来的几个问题都这样去问，这样的问法，会给学生留下几个印象：
1.我们研究的问题中，都存在两个变量，不能多也不能少；
2.这些变量中，当给定一个变量的具体值之后，对应的另一个变量也是可以求出相应的值，并且这个值是唯一一个.
以此来加深学生对于接下来函数定义的理解.当然，光有表达式还是不够的，还要有其他形式的函数出现：
问题2 下面是中国代表团在第23届至30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作x和y，对于表中每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y吗？
届数x/届2324252627282930
金牌数y/枚155161628325138
在学习这道题时，学生先观察表格，再进行提问：
1.第一行表示什么？第二行表示什么？
2.找出第24届一共获得了多少枚金牌，30届获得了多少枚金牌？
学生能够迅速找到答案.继续追问：
3.你们是如何找到的？会先看什么？然后再看什么？
学生感觉很容易，其实这蕴含着如何读表格的问题，对于追问与问题1的相关问题，学生会发现，原来表格中，也有两个变量，也有这种对应关系.
问题3 下图是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出某一时刻的气温吗？
类比上道题，学生先观察图像，并提问：
1.横轴表示什么？纵轴表示什么？
2.16时的气温是多少？0点时温度是多少？
3.你在找这些温度的时候，你会先看什么？然后怎么找到这个点的？然后又怎么知道这个点代表的温度的？
因为是简单的实际问题，学生很容易解决，但是在以后学习抽象的函数图象的时候，图象的观察其实也是要经历这么一个过程，先看x轴上的具体数字，然后在上下两个象限内找出现的点，再然后观察y轴这个点对应的数字.在解决这道题时，我也会问与问题1相关的问题，学生这次能够明确感受到，这个图象上的两个变量之间的对应关系.
结合这几个简单实际问题的分析和理解，总结刚才在分析问题时，上面所有实例中变量之间的关系存在的共同特点.这次学生能够明确地分析出：第一，所有实例中，都存在着一种变化的过程；第二，所有的实例中，都含有两个变量；第三，所有的实例中，对于其中一个变量给出了具体的数值之后，另一个变量就能求出相应的并且是唯一一个确定的值.在三个问题的互动对话中，实现了帮助学生构建整体框架，使学生面对一个新的概念时，有了一个“整体观”，由此就很自然地引出了函数的定义.
为了更好地理解函数的定义，还可以举出如下的反例：
如下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？
针对这个问题，学生需要利用函数的概念来进行判断，看看是不是存在着一一对应的关系，以此作为判断依据.
函数是数学中的一个重要概念，它可以揭示现实世界中数量关系进行相互变化和依存的实质，是刻画现实世界和变化世界的一个重要模型.以上的教学过程可以使学生感悟函数概念的产生背景和产生过程，激发学生探索问题的兴趣，掌握函数概念的实质，同时还能让学会发现和解决问题的数学思维方式和方法，积淀数学思想和观念，更加深刻地理解函数的概念.
参考文献
[1]韩新正.感悟“对应” 把握本质 理解函数——谈函数起始课教学的着力点[J]. 中学数学杂志，2016，（02）：
[2]聂家成.初中函数概念起始课有效教学的案例分析[J]. 新课程（上），2014，（07）：
