关于高师院校数学专业建设中学数学知识应用课程的研究设想
赵艳会
[摘 要]在中学数学课程改革中，应加强对数学应用意识和应用能力的重视，从培养高师院校的数学专业学生入手。建设中学数学知识应用课程可从以下几个方面提出设想：明确数学应用的范围；数学应用问题的解决结合数学解题的一般心理过程；尽力挖掘、精心设计与日常实际匹配之数学应用；数学应用案例的创设要突破日常现实生活；包含高中课标新增的应用内容；包含与现实、其他学科联系的应用。
[关键词]数学应用意识 中学数学 知识应用 高师院校
[中图分类号] G642.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）16-0014-02
在中学数学课程改革的大潮之下，课程的理念、教学的理念都在发生着巨大的变革。培养数学应用意识、发展应用能力是数学学习的应有之意。笔者认为应该通过与中学数学知识直接对接的系统的数学知识应用架构，明确各知识点的应用价值、应用方向及意义，即建设中学数学知识应用。下面是笔者的简单研究设想。
一、明确数学应用的范围
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中将应用意识的主要表现表述为：“认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找实际背景，并探索其应用价值”。[1]《普通高中数学课程标准（实验）》中提到，“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”。[2]
从广义上来说，只要是利用到数学的知识、技能、过程方法、思想、推理证明等层面的都归于数学应用。从狭义上来说，数学应用局限于在实际生产、生活、社会发展、科技推进、文化繁荣以及其他学科的发展等层面。当然，对学生而言，此处的数学应用要尽量降低应用的层级和深度。然而，我们还必须明确，因为数学的抽象性，数学知识在实践中的很多应用具有间接性的特点，这也加剧了学生对于体会数学在日常生活实际中应用的焦虑.
二、数学应用问题的解决结合数学解题的一般心理过程
对于中学数学知识应用课程的建设，目的不是为了解决一些数学应用的问题，其主要目的在于让学生了解数学应用的广泛性与实际生活的联系。当然在学习了解其应用的过程中要体现、结合数学解题的一般心理过程，潜移默化地培养高师院校数学专业学生的数学应用意识。
杜威的五步模式是：“意识到难题存在、识别出问题、收集材料并整理，提出假设、接受和拒绝假设、形成和评价结论”。[3]如果从思维的进程阶段层面加以推进，这对数学问题解决亦有借鉴。心理学家奥苏贝尔和鲁宾逊的四阶段模式，把整个解题过程分为四个阶段：“呈现问题情境命题、明确问题目标与已知条件、填补空隙（即已知条件和目标之间的差距）、解答之后的检验”。[3]这是明确原有的认知结构中的不同成分在问题解决中的不同作用，即认知结构中的不同成分对问题解决的影响机制，以此对数学问题的解决程序进行表述。这些理论有相通之处，即从心理学角度表明，“数学问题解题的思维活动是一个对问题识别、归类和假设、验证的过程”。[4]由此可见，我们在设计时，要注意体现数学解题的一般心理过程。
三、尽力挖掘、精心设计与日常实际匹配的数学应用
数学应用案例的创设要源于日常现实生活。数学应用意识的养成需要在情感上对学生形成冲击。为此，要从两个方面努力：一方面，投入生活实际中，多思、多想、多创新，发掘出与日常实际匹配的数学应用。这是一件创新性的工作，需要一定时间和不断的实践，依赖于数学教师辛勤的付出，其成果往往具有很强的吸引力和成效。另一方面，要利用既有的与日常实际匹配的数学应用。这是可利用的一条捷径，不应该认为以往的应用太老、过时了，而将其放弃。当然有些可以结合时代、社会的发展对其进行改编，融入时代元素。
案例1 概率的等可能性理解设计
情境：某班有50人，现在要用抽签的方法选一名同学观看足球比赛，盒里有50个阄，只有一张上是“有”，其余都是“无”。
设计步骤：
1.在抽签之前，每位同学抽到“有”的概率都是1 / 50，请一位同学先抽，其抽中的概率是1 / 50。
2.若他没有抽中，第二个同学抽中的概率是多少？
3.若他抽中了，第二个同学抽中的概率是多少？
4.若按照先后顺序每人均抽一个，然后再一起打开看，每位同学抽中的概率是多少？
5.抽签先后对每位同学是公平的，每个人抽一次只是一次试验，它的结果并不能决定概率，只要先抽的结果后边的同学不知道，每位同学的抽中概率是相等的，是等可能事件。
四、数学应用案例的创设要突破日常现实生活
对于中学数学知识应用课程内容与案例选编，我们的视域实际上应该比日常的现实应用更开阔。因为，数学的研究对象往往具有抽象性，数学在实践中的应用多有间接性，难以做到让所有数学知识与日常现实直接联系。故在建立两者的关系时，注意适度联系是数学应用中无法回避的，比如可以联系有关数学知识的数学史实、数学家的创造历程等。下面以复数为例。
案例2 复数有用吗？
数系扩展至复数，学生甚至中学教师多认为纯粹是数学的发展使然，很难联系上实际应用。最初在16世纪引进复数也确实因数学的需要——求二次代数方程的解，还真不是为了解决什么实际问题，纯粹是为数学的发展提供便利。复数在数学圈中相当长的时间里得不到承认，因此笛卡尔将其称为虚数也是心声。世事弄人，没有人料到三百年后，当黎曼将物理问题与复变函数联系起来，产生了黎曼等的理论之后，纯粹数学的复数理论旋即成为数学应用之奇葩，结出一个个应用之硕果：
1.儒可夫斯基用复变函数的共形映照方法设计飞机机翼的外形，描述机翼周围流体流动的特点，从本质上改变了飞机的设计问题。之后复变函数当仁不让地用在对流体流动、轮船和汽车设计过程中。
2.贝尔实验室的科学家在1920年，以复变函数理论着手设计滤波器和高增益放大器，这为人类能够远距离通话开启了曙光。
3.借助于复变函数的辐角原理，尼奎斯特在关于反馈放大器稳定性上作出了贡献，在直观地学习上尼奎斯特图帮助人们进行理解，并为掌握和克服反馈失稳现象扮演着重要角色。
复数的出现，只是沿着纯粹数学的轨道延伸，起初人们因其而迷茫，它受到过诋毁、排斥。谁能够想象它今日应用价值如此之高，若我们着眼于有没有用的立场来对待复数的话，那么早就将其抛弃了，很难想象现在的数学会有怎样的面目，我们的生活又是怎样的景象。
五、包含高中课标新增的应用内容
已经在全国推开的按照高中数学课程标准实施的课程，其中设置了必修内容算法初步、选修系列3、系列4，其中的内容大多数是新增的内容。算法有着比较强的应用背景，选修系列3、系列4中可以直接归入应用类的有选修3-2：信息安全与密码、选修4-7：优选法与试验设计初步、选修4-8：统筹法与图论初步、选修4-9：风险与决策、选修4-10：开关电路与布尔代数，其他的也有相应的应用背景。这一方面体现了高中课标在培养学生应用意识和能力上的力度，另一方面体现了对高中数学教师在数学素养上提高的力度。在选修内容中有的与大学相应的课程内容有联系，如数学史选讲与大学的数学史课程对应等；有些在高师生的课程中是比较薄弱的，如视图与投影、数据处理、数学文化和数学探究等；还有些是目前高师数学课程不能完全涵盖的，如算法、信息安全与密码、开关电路与布尔代数、优选法与试验设计、风险与决策等内容。这些问题的解决，除了在高师相应课程中添加高中课标内容外，还需要在中学数学知识应用课程中体现出来，结合选修内容按模块单独呈现，也可以在这门课中作为选修。
六、包含与现实、其他学科联系的应用
对于中学生数学的应用来说，课标强调与学生身边的生活现实相联系，但实际上可以适当突破。因为数学的应用已经极大地突破了生活的现实，如果离开了在更广阔范围的现实和其他学科上的应用的话，那么数学就将失去它最美妙的光环。所以很多情况下我们不能只囿于数学的小框框来谈数学应用，那样数学的光芒就被遮蔽了。俄罗斯高师数学专业开设了包括有物理、化学、计算机基础、生物与生态常识等的课程，很重视横向与其他学科的联系。相对来说，我们的高师数学专业的课程被窄化。这样，专门建设的中学数学知识应用就应将这一不足予以弥补。
[ 注 释 ]
[1] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验）[M].北京：北京师范大学出版社，2001：5.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003：3.
[3] 莫雷.教育心理学[M].广州：广东高等教育出版社，2002：186-187.
[4] 郑君文，张恩华.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社，2007：73.
[责任编辑：陈 明]
[摘 要]在中学数学课程改革中，应加强对数学应用意识和应用能力的重视，从培养高师院校的数学专业学生入手。建设中学数学知识应用课程可从以下几个方面提出设想：明确数学应用的范围；数学应用问题的解决结合数学解题的一般心理过程；尽力挖掘、精心设计与日常实际匹配之数学应用；数学应用案例的创设要突破日常现实生活；包含高中课标新增的应用内容；包含与现实、其他学科联系的应用。
[关键词]数学应用意识 中学数学 知识应用 高师院校
[中图分类号] G642.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）16-0014-02
在中学数学课程改革的大潮之下，课程的理念、教学的理念都在发生着巨大的变革。培养数学应用意识、发展应用能力是数学学习的应有之意。笔者认为应该通过与中学数学知识直接对接的系统的数学知识应用架构，明确各知识点的应用价值、应用方向及意义，即建设中学数学知识应用。下面是笔者的简单研究设想。
一、明确数学应用的范围
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中将应用意识的主要表现表述为：“认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找实际背景，并探索其应用价值”。[1]《普通高中数学课程标准（实验）》中提到，“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”。[2]
从广义上来说，只要是利用到数学的知识、技能、过程方法、思想、推理证明等层面的都归于数学应用。从狭义上来说，数学应用局限于在实际生产、生活、社会发展、科技推进、文化繁荣以及其他学科的发展等层面。当然，对学生而言，此处的数学应用要尽量降低应用的层级和深度。然而，我们还必须明确，因为数学的抽象性，数学知识在实践中的很多应用具有间接性的特点，这也加剧了学生对于体会数学在日常生活实际中应用的焦虑.
二、数学应用问题的解决结合数学解题的一般心理过程
对于中学数学知识应用课程的建设，目的不是为了解决一些数学应用的问题，其主要目的在于让学生了解数学应用的广泛性与实际生活的联系。当然在学习了解其应用的过程中要体现、结合数学解题的一般心理过程，潜移默化地培养高师院校数学专业学生的数学应用意识。
杜威的五步模式是：“意识到难题存在、识别出问题、收集材料并整理，提出假设、接受和拒绝假设、形成和评价结论”。[3]如果从思维的进程阶段层面加以推进，这对数学问题解决亦有借鉴。心理学家奥苏贝尔和鲁宾逊的四阶段模式，把整个解题过程分为四个阶段：“呈现问题情境命题、明确问题目标与已知条件、填补空隙（即已知条件和目标之间的差距）、解答之后的检验”。[3]这是明确原有的认知结构中的不同成分在问题解决中的不同作用，即认知结构中的不同成分对问题解决的影响机制，以此对数学问题的解决程序进行表述。这些理论有相通之处，即从心理学角度表明，“数学问题解题的思维活动是一个对问题识别、归类和假设、验证的过程”。[4]由此可见，我们在设计时，要注意体现数学解题的一般心理过程。
三、尽力挖掘、精心设计与日常实际匹配的数学应用
数学应用案例的创设要源于日常现实生活。数学应用意识的养成需要在情感上对学生形成冲击。为此，要从两个方面努力：一方面，投入生活实际中，多思、多想、多创新，发掘出与日常实际匹配的数学应用。这是一件创新性的工作，需要一定时间和不断的实践，依赖于数学教师辛勤的付出，其成果往往具有很强的吸引力和成效。另一方面，要利用既有的与日常实际匹配的数学应用。这是可利用的一条捷径，不应该认为以往的应用太老、过时了，而将其放弃。当然有些可以结合时代、社会的发展对其进行改编，融入时代元素。
案例1 概率的等可能性理解设计
情境：某班有50人，现在要用抽签的方法选一名同学观看足球比赛，盒里有50个阄，只有一张上是“有”，其余都是“无”。
设计步骤：
1.在抽签之前，每位同学抽到“有”的概率都是1 / 50，请一位同学先抽，其抽中的概率是1 / 50。
2.若他没有抽中，第二个同学抽中的概率是多少？
3.若他抽中了，第二个同学抽中的概率是多少？
4.若按照先后顺序每人均抽一个，然后再一起打开看，每位同学抽中的概率是多少？
5.抽签先后对每位同学是公平的，每个人抽一次只是一次试验，它的结果并不能决定概率，只要先抽的结果后边的同学不知道，每位同学的抽中概率是相等的，是等可能事件。
四、数学应用案例的创设要突破日常现实生活
对于中学数学知识应用课程内容与案例选编，我们的视域实际上应该比日常的现实应用更开阔。因为，数学的研究对象往往具有抽象性，数学在实践中的应用多有间接性，难以做到让所有数学知识与日常现实直接联系。故在建立两者的关系时，注意适度联系是数学应用中无法回避的，比如可以联系有关数学知识的数学史实、数学家的创造历程等。下面以复数为例。
案例2 复数有用吗？
数系扩展至复数，学生甚至中学教师多认为纯粹是数学的发展使然，很难联系上实际应用。最初在16世纪引进复数也确实因数学的需要——求二次代数方程的解，还真不是为了解决什么实际问题，纯粹是为数学的发展提供便利。复数在数学圈中相当长的时间里得不到承认，因此笛卡尔将其称为虚数也是心声。世事弄人，没有人料到三百年后，当黎曼将物理问题与复变函数联系起来，产生了黎曼等的理论之后，纯粹数学的复数理论旋即成为数学应用之奇葩，结出一个个应用之硕果：
1.儒可夫斯基用复变函数的共形映照方法设计飞机机翼的外形，描述机翼周围流体流动的特点，从本质上改变了飞机的设计问题。之后复变函数当仁不让地用在对流体流动、轮船和汽车设计过程中。
2.贝尔实验室的科学家在1920年，以复变函数理论着手设计滤波器和高增益放大器，这为人类能够远距离通话开启了曙光。
3.借助于复变函数的辐角原理，尼奎斯特在关于反馈放大器稳定性上作出了贡献，在直观地学习上尼奎斯特图帮助人们进行理解，并为掌握和克服反馈失稳现象扮演着重要角色。
复数的出现，只是沿着纯粹数学的轨道延伸，起初人们因其而迷茫，它受到过诋毁、排斥。谁能够想象它今日应用价值如此之高，若我们着眼于有没有用的立场来对待复数的话，那么早就将其抛弃了，很难想象现在的数学会有怎样的面目，我们的生活又是怎样的景象。
五、包含高中课标新增的应用内容
已经在全国推开的按照高中数学课程标准实施的课程，其中设置了必修内容算法初步、选修系列3、系列4，其中的内容大多数是新增的内容。算法有着比较强的应用背景，选修系列3、系列4中可以直接归入应用类的有选修3-2：信息安全与密码、选修4-7：优选法与试验设计初步、选修4-8：统筹法与图论初步、选修4-9：风险与决策、选修4-10：开关电路与布尔代数，其他的也有相应的应用背景。这一方面体现了高中课标在培养学生应用意识和能力上的力度，另一方面体现了对高中数学教师在数学素养上提高的力度。在选修内容中有的与大学相应的课程内容有联系，如数学史选讲与大学的数学史课程对应等；有些在高师生的课程中是比较薄弱的，如视图与投影、数据处理、数学文化和数学探究等；还有些是目前高师数学课程不能完全涵盖的，如算法、信息安全与密码、开关电路与布尔代数、优选法与试验设计、风险与决策等内容。这些问题的解决，除了在高师相应课程中添加高中课标内容外，还需要在中学数学知识应用课程中体现出来，结合选修内容按模块单独呈现，也可以在这门课中作为选修。
六、包含与现实、其他学科联系的应用
对于中学生数学的应用来说，课标强调与学生身边的生活现实相联系，但实际上可以适当突破。因为数学的应用已经极大地突破了生活的现实，如果离开了在更广阔范围的现实和其他学科上的应用的话，那么数学就将失去它最美妙的光环。所以很多情况下我们不能只囿于数学的小框框来谈数学应用，那样数学的光芒就被遮蔽了。俄罗斯高师数学专业开设了包括有物理、化学、计算机基础、生物与生态常识等的课程，很重视横向与其他学科的联系。相对来说，我们的高师数学专业的课程被窄化。这样，专门建设的中学数学知识应用就应将这一不足予以弥补。
[ 注 释 ]
[1] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验）[M].北京：北京师范大学出版社，2001：5.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003：3.
[3] 莫雷.教育心理学[M].广州：广东高等教育出版社，2002：186-187.
[4] 郑君文，张恩华.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社，2007：73.
[责任编辑：陈 明]
