太阳位于正东方位的数学分析与太阳视运动仪演示

    汪和平 吕晨亮

    

    

    

    摘 ?要 地理教学中通常运用一个错误的假设，即：地方时6时，太阳位于正东方向。通过数学分析，得出地球上任意纬度地区太阳能否出现在正东方位以及位于正东方位的时刻。运用太阳视运动仪，可以准确直观地演示地球上任意纬度地区太阳能否位于正东方位、位于正东方位的时刻、太阳视运动规律等。

    关键词 中学地理;太阳视运动仪;太阳视运动;正东方位;地球运动

    中图分类号：G633.55 ? ?文献标识码：B

    文章编号：1671-489X（2019）11-0086-03

    1 引言

    中学地理教学通常以教材中北纬40°地区太阳视运动轨迹图为参考，如图1所示。春分、秋分日，太阳从正东升起，正西落下;夏至日，太阳自东北升起，西北落下;冬至日，太阳自东南升起，西南落下。通常运用一个粗略估计：地方时6时，太阳位于正东方位，如图1中竖直线所示为地方时6时时间线。这给地理教学和人们认识自然规律带来很多不便[1]。

    太阳能否出现在正东或正西方位？何时出现在正东或正西方位？可以通过进行数学分析，同时运用太阳视运动仪，准确直观演示不同纬度地区不同季节（即太阳直射不同纬度）太阳能否位于正东方位及位于正东方位的时刻并获得一些规律。

    2 太阳位于正东方位时刻的数学分析

    如图2所示，ENWS为观测地A处地平面，当太阳光线DA和正南方SA或正北方NA的夹角为90°时，太阳即位于正东或正西方位，其中D位于天顶除外。

    如图3所示，设地球半径为R，地球O的球面上过观测地A的经线与赤道交于G点;设某日太阳直射地球上B点，过B的经线与赤道交于H点。设∠AOG=φ，为观测地纬度，-90°≤φ≤90°。若A地在北半球，则φ>0;若A在南半球，则φ<0。∠BOH=δ为太阳直射点纬度，

    -23°26′≤δ≤23°26′。设∠HOG=t为太阳时角，t也为A地与B点的经度差，每15°表示1小时，t=0表示地方时正午。与过A地的经线相切于A的单位向量AK指示A地正南或正北，AK也是A地地平圈内方向向北或向南的单位向量（图2）。

    以O为原点，以OG所在直线为x轴，地轴ON所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz。则AK=（-sinφ，0，cosφ），OB=（Rcosδcost，Rcosδsint，Rsinδ），为太阳光线的方向向量。由于照射地球的每一束太阳光线互相平行，若太阳光线与向量AK垂直，即∠DAK=90°时，则太阳位于正东或正西方位，此时AK与OB垂直，即AK·OB=

    -Rsinφcosδcost +Rcosφsinδ=0，得。

    1）若观测地与太阳直射点位于同一半球，且观测地的

    |φ|低于直射点的|δ|时，函数无意义，太阳不会位于正东或正西方向。如海口地区（20°N），φ=20°，夏至日太阳直射北回归线，δ=23°26′，太阳不会出在正东方位，太阳始终在北面的天空中。

    2）若观测地与太阳直射点位于同一半球，且观测地的

    |φ|大于直射点的|δ|时，0

    /15°时，太阳位于正东方位;地方时12+

    /15°时，太阳位于正西方位。如北京地区（40°N），夏季太阳直射北半球，太阳从东北方向升起，上午经过正东方位，正午在南面的天空中。

    3）若观测地与太阳直射点位于不同半球，cost<0，太阳不会出现在正东方位，且日出迟于地方时6时。如北京地区冬季，太阳直射南半球，太阳在东南方向日出，一天中太阳始终在南面的天空上，不会出现在正东方位，日出时间晚于6时。

    4）二分（春分、秋分）日，太阳直射赤道，δ=0°，tan0°=0，无论φ（φ≠90°）取何值，cost=0，得t=

    90°，即全球各地（两极除外）均是6时在正东日出，18时在正西落下。

    特别地，除二分日外的任何季节与任何观测地，地方时6时太阳均不在正东方位。

    5）当太阳直射半球（夏半球）的高纬度地区（高于直射点纬度），φ→90°，tanφ→+∞，→0，t→90°，纬度越高，太阳处于正东方位的时间越接近于6时。

    6）在夏半球的低纬度地区（高于直射点纬度），φ→

    0°，tanφ→0，→1，t→0°，纬度越低，太阳处于正东方位的时间越接近于12时。

    7）当直射点纬度δ等于观察地纬度φ时，cost=1，t=0，即太阳在地方时12时直射该地，即太阳不会位于正东或正西方位，只有正午时位于天顶。

    3 运用太阳视运动仪直观演示

    可以计算地球上不同纬度地区上午6时的太阳方位角与高度角，以及太阳位于正东位置时的时刻与高度角[2]，本文不再赘述。

    运用太阳视运动仪可以直观演示地球上不同纬度地区不同季节中太阳能否位于正东或正西方位。若太阳能出现在正东或正西方位，从太阳视运动仪中可以直接读出太阳位于正东方位的时刻与高度，也可以直接读出不同纬度地区不同时节地方时6时太阳在天空中的位置（方位角与高度角）[3]。

    图4所示太阳视运动仪，某地一年四季中每一天的太阳视运动轨迹为相互平行的纬线圆，太阳视运动轨迹被24条地方时时间线平均分割，某一天中太阳是沿着或者平行于图中“不同直射点时的视运动轨迹”中的某条轨迹运动，若太阳位于东西圈，则表示太阳位于观测正东或正西方位（天顶除外）[4]。地平圈将天球平分为日半球与夜半球，在太阳视运动轨迹与地平圈的交点处可以读取日出时刻与方位。旋转调节太阳视运动轨迹所在的球面，可以观测不同纬度地区的太阳视运动的准确规律[5]。

    1）图4所示太阳视运动仪是观测地为北纬30°的情形，从太阳视运动仪中太阳直射不同纬度的视运动轨迹可以直观读出：夏至日，太阳在9：24位于正东方位，高度为52.9°，而上午6时，太阳位于东偏北20.6°、高度为11.5°的天空中;二分日，太陽在正东升起，日出时间为地方时6时;冬至日，太阳始终位于观测地南面天空，不会出现在正东的位置;夏半年太阳直射点越接近北回归线，6时的太阳位置越高，方位越偏北，太阳位于正东的时刻越晚，位于正东的位置越高。

    2）图5所示太阳视运动仪是观测地为北纬10°的情形，从太阳视运动仪不同直射纬度的太阳视运动轨迹比较中可以直观读出：夏至日，太阳始终在北面的天空上，不会出现在正东;二分日，太阳在正东升起，日出时间为6时;冬至日，太阳始终位于观测地南面天空，不会出现在正东的位置。

    夏半年太阳直射点纬度小于北纬10°时，太阳才有可能出现在正东位置，直射点纬度越高（小于北纬10°），6时的太阳位置越高，方位越偏北，太阳位于正东的时刻越晚，位于正东的位置越高。

    太阳直射点在北纬10°时，只有正午时太阳位于天顶，其余时间太阳均位于北面的天空中。

    3）调节太阳视运动仪在不同纬度观测地，可以直观发现如下规律：

    ①对于北半球地区，冬半年太阳始终在南面的天空上，不会出现在正东方位;

    ②夏半年，若观测地纬度大于太阳直射点纬度，太阳从观测地东北方向升起，经过正东方向到南面天空中，正午在南面天空中。

    若观测地纬度小于太阳直射点纬度，太阳始终在北面天空中，不会出现在正东方位。若观测地纬度等于太阳直射点纬度，则正午时分太阳位于天顶。由球的对称性知，南半球地区也有相应规律。

    对于赤道地区，日出方位与太阳直射点纬度相同，由于太阳视运动轨迹与地平圈垂直，二分日太阳在东西圈上运动，上午始终在正东方位。二分日以外的季节里，太阳不会出现在正东位置。赤道地区日出时间均为6时。

    对于二分日，全球正东日出，日出时间为6时。除二分日外，太阳都不是从正东日出，6时也不会在正东方位。

    从太阳视运动仪中可以直观看到，6时时间线与地平圈所成的角度等于观测地纬度。夏半年6时时间线在地平圈以上，6时太阳在天空中。冬半年6时时间线在地平圈以下，6时未日出。6时时间线与地平圈交于0°视运动轨迹线，即只有二分日，太阳于地方时6时位于正东方位;其余时间，6时太阳都不会位于正东方位。除两极外，其余地区6时时间线始终不与地平圈垂直，纬度越高的地区夹角越大，夏半年6时太阳高度角越大。

    4 结语

    总之，运用太阳视运动仪可以准确直观地演示太阳视运动轨迹，研判太阳视运动规律，准确读取任意纬度观测地任意季节任意时刻的太阳高度角与方位角，有效地帮助人们理解因地球运动而带来的太阳视运动中空间位置关系的变化与转换，清楚地认识生活中的自然现象，而不必粗略估计[6]。

    参考文献

    [1]程安良.地方时6时太阳一定位于正东方向吗[J].新课程，2015（6）：40-41.

    [2]汪和平.太阳高度角与方位角的计算与研判[J].中学数学月刊，2014（10）：62-65.

    [3]汪和平.太阳视运动仪的原理、结构、功能及应用[J].中国教育技术装备，2016（13）：44-47.

    [4]吕晨亮，汪和平.太阳直射点纬度移动速度的数学分析与仪器演示[J].地理教学，2018（9）：48-49.

    [5]汪和平.多功能太阳视运动仪[J].中国科技教育，

    2018（7）：30-31.

    [6]汪和平，呂晨亮.对“太阳视运动”教学冷遇的反思[J].中学地理教学参考，2017（7）：47-48.