缺陷对薄板结构振动模态影响的数值与实验分析
姜益军 姜珊 陶楠 杨福俊 何小元
摘要： 利用有限元法和电子散斑干涉技术研究了缺陷对矩形薄铝板的振动模态的影响。通过数值模拟和实验測量同时得到了1块完整和4块带有缺陷大小与位置均不同的铝板1～10阶的振型图；铝板的边界条件为长对边自由，短对边固支。结果表明：缺陷的存在对薄板结构的共振振型影响较大，而对共振频率的影响较小。共振振型随裂缝的大小、位置和方位的不同而有所变化。研究也表明，有限元计算出的模态形状与实验测量得到的结果一致性较好。关键词： 振动测量； 模态振型； 含裂缝薄矩形板； 电子散斑干涉； 有限元法
中图分类号： O329； TU33+9文献标志码： A文章编号： 10044523（2017）04056406
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.006
引言
板壳、杆及梁等是机械制造等领域常用结构形式[12]，其受外界冲击或振动激励易引起变形，特别是当激励频率接近其共振频率时，变形量达到最大值。其中，矩形薄板因是航空及汽车等工程设计中最为常见的结构类型之一，它的振动响应特性被广泛地研究。
研究板存在裂缝缺陷时的振动行为具有重要的实用价值，目前有关含裂缝板的振动研究论文较为有限。裂缝的存在将影响板的静态和动态力学行为，这是因为板的裂缝改变其局部的刚度，使得板的静态挠曲和动态的固有频率发生变化。在有限元方法出现之前，主要用数学物理方法研究带缺陷板的振动特性。如文献[3]研究有裂纹的矩形板振动时利用格林函数表示板的挠度，进而得到第一类齐次弗雷德霍姆积分方程；Stahl和Keer则利用双级数方程研究矩形板的振动和稳定性问题，最终转化为一个解第二类齐次弗雷德霍姆积分方程[4]。随着振动理论的不断完善及有限元方法的发展，对于由各向同性的材料组成，即便是复杂的结构，有限元方法均能分析和研究其振动特性[57]。
振动特性测量的实验方法有传感器法[8]、激光多普勒法[910]、全息干涉法[11]和电子散斑干涉法等[1213]。传感器法需要将传感器直接粘贴在待测结构表面，容易改变结构局部的质量分布且只能测得离散的数据，从而影响实验结果的精确性；激光多普勒法是非接触测量，响应快、测量范围大，不过它是通过快速逐点扫描进行测量，测试精度和速度依赖于测点数，且测试设备价格昂贵。时间平均的激光全息干涉和激光电子散斑干涉技术适合于薄板、壳的微米级振动变形测量，前者对于光路布置及系统隔振要求较为严苛，因此激光电子散斑干涉技术更有利于振动的测量与分析。全息干涉和电子散斑干涉得到的是稳态振动状态下位移等值线条纹图，直观地反映共振态的振型。
文献[29，11]主要以单边固支的悬臂板为研究对象，通过理论、有限元模拟及实验方法研究缺陷对平板的振动模态、共振频率的影响，为工程应用提供有益的参考。文献[14]则是利用理论模拟和电子散斑干涉技术研究了无缺陷完整平板的单边、对边及周边固支情况下的模态特性。本文采用有限元法和电子散斑干涉技术对4个含不同类型缺陷的对边固支矩形薄铝板振动特性进行研究；结果表明缺陷的位置对薄板结构的振型具有一定的影响。
1含缺陷薄板振动的数值分析
含缺陷薄板结构的控制方程为Md2u（t）dt2+Cdu（t）dt+Ku（t）=b（t）+f（u）
（M， C， K∈Rn×n； u， b， f ∈Rn）（1）式中u为位移矢量，M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为刚度矩阵，b（t）为与时间有关的外力，f（u）为裂缝表面间断接触引起的非线性接触力。利用有限元软件ANSYS对铝板结构进行数值模拟，为了便于建模，假定含缺陷铝板结构为各向同性的线弹性材料，结构的形变无穷小，所以忽略了式（1）中非线性接触力f（u）的影响。本文矩形铝板结构有限元模型的物理及几何参数为：弹性模量E = 70 GPa，泊松比ν= 0.33，密度ρ = 2700 kg/m3；试样大小为180 mm×80 mm×0.9 mm，边界约束条件为短对边固支长对边自由。有限元计算时选用SHELL 181单元，并将壳单元划分为多个1 mm×1 mm× 0.9 mm的小单元进行计算。为了保证实验时测试试样尺寸与有限元模型一样，考虑到约束边界实际加工试样尺寸为260 mm×80 mm×0.9 mm，具体试样示意图如图1所示。
图1线切割加工的（a）完整及（b）～（e）含预制边缘、内裂缝的薄铝板示意图
Fig.1Schematic of thin Aluminum plates （a） Intact and （b）～（e） with slits cut by EDM第4期姜益军，等： 缺陷对薄板结构振动模态影响的数值与实验分析振 动 工 程 学 报第30卷2激光电子散斑干涉振动测试技术
图2是本文测量薄铝板离面振动特性的系统示意图。参考图2的左半部分，根据干涉理论，t时刻两束光干涉形成的散斑强度为[1415]
I（x，y，t）=Io+Ir+2IoIrcos[（x，y）+
φ（x，y，t）]（2）
式中Io，Ir分别为经试样漫反射的物光束与由漫反射面反射的参考光束的光强，（x， y）为试样静止时参考光与物光间的随机相位差；φ（x， y， t）则与试样振动引起的物光光程变化有关。对于纯离面振动的情形，即面内变形或位移为0，可知φ（x，y，t）=4πAcos（ωt）λ（3）式中Acos（ωt）为t时刻物面上点（x， y）处的离面位移，其中A表示离面振动的振幅，ω振动圆频率，λ为激光波长。事实上，CCD相机采集一幅图像需要一定的时间，因此计算机显示的图像实际上是CCD在成像周期内对光强信息的积分。如果CCD在t与t+τ时间内曝光进行光电转换，则其输出数字图像的灰度为
g（x，y）=k∫t+τt[Io+Ir+2IoIrcos（（x，y）+
φ（x，y，t））]dt（4）
式中k为CCD光电转化系数，τ表示曝光时间。假设相机曝光时间τ是试样振动周期的整数倍（即τ=2nπ/ω，n为正整数），上式可进一步写成
g（x，y）=2nkπω[Io+Ir+2IoIrJ0（m）·
cos（x，y）]（5）
式中J0（m）为如图3所示的第一类零阶Bessel函数，m=4πA/λ。假设振动过程中激振器激励力的振幅微小波动，导致试样振动的振幅从A改变成A+ΔA，则此时CCD在另一个曝光周期τ内获得图像的灰度为
f（x，y）=k∫τ0[Io+Ir+2IoIrcos（（x，y）+
4π（A+ΔA）〖〗λcos（ωt）]dt（6）
令Δm=4πΔ/λ，式（6）可改写成
f（x，y）=k∫τ0{Io+Ir+2IoIrcos[（（x，y）+
（m+Δm）cos（ωt）]}dt（7）
将cos[（m+Δm）cos（ωt）]在m处泰勒展开并忽略高级小量，式（7）简写成
f（x，y）=2nkπω[Io+Ir+2IoIr1-
（Δm）22J0（m）cos（x，y）]（8）
式（5）与式（8）相减并取绝对值得到振幅涨落电子散斑干涉条纹灰度表达式为[16]
G（x，y）=2πnkω（Δm）2IoIr|J0（m）cos（x，y）|（9）
图2离面振动测试系统示意图
Fig.2The setup for outofplane vibration testing
图3零阶Bessel函数
Fig.3First kind zeroorder Bessel function3有限元及实验结果
图2所示的测量系统中，激光器产生波长为532 nm绿色的相干光，功率0～50 mW连续可调；CCD为德国IDS公司的1280×1024像素可编程控制的相机；信号发生器可产生0～20000 Hz正弦波，信号发生器、功放器及激振器均为江苏联能公司制造。
试样由贴在其后表面薄压电陶瓷激励，陶瓷直径10 mm，厚0.4 mm。为了对比，图4给出有限元法模拟计算及实验测量获得的图1（a）所示的无缺陷完整、长对边固支短对边自由的薄铝板试样1的离面1～10阶振型云图和散斑干涉条纹图。
由图3及式（9）知图4（A）～（J）散斑干涉条纹图中最亮的条纹对应于振动节线（驻点线）。由于铝板固支部分无法达到完全刚性夹持，导致对应于图4（B）与图4（F）的一阶纯扭及二阶纯扭的节线位置与有限元计算结果有一定偏差。
图5是模拟与测量得到的图1（b）所示试样2的1～10阶振型图。计算模型和测试试样中预制边缘裂缝距下固定边90 mm处，缝宽1 mm，长32 mm。由图5（a）～（c），（e）与（f）可以看出，对于居中对称的边缘裂缝，其对纯弯及纯扭振动的振型影响很小；但对弯扭组合振动的振型影响较大。
模拟与测量得到的图1（c）所示试样1～10阶振型图如图6所示。计算模型和测试试样中预制边缘裂缝距下固定边115 mm处，缝宽1 mm，长30 mm。由图6（a）～（b）看出，对于非居中的边缘裂缝，除了对一阶纯弯及一阶纯扭振动的振型影响较小外；对其他高阶的弯、扭及弯扭组合振动的振型影响都较大。
图7是对应于图1（d）所示试样的1～10阶振型图。该试样中距下固定边60 mm处有一与其平行的预制内部裂缝，裂缝长50 mm，宽1 mm。图7（a）～（d）、图7（A）～（D）以及图7（f）～（g）表明，该内部裂缝对低阶弯、扭及弯扭振动的振型影响不大。
含内部斜裂缝的薄铝板1～10阶振动振型图如图8所示。该试样的裂缝以对称轴上點为中心对称，长50 mm，宽1 mm，与对称轴成60°。模拟与实验结果表明，该斜裂缝仅对前4阶振型影响较小。图8（H）和图8（I）的8，9阶振型，与图8（h）和图8（i）有限元模拟得到振型位次互换，即出现了模态的跃迁。
表1为实验中5个试样1～10阶共振频率的测量和有限元模拟的结果。
4讨论与结论
由于实验中试样夹持边界条件不是理想的固支约束，导致测得纯弯模态，特别是一阶纯弯的共振频率与有限元模拟值相差较大（参见表1）。
模拟和实验结果表明，缺陷对薄板各阶的模态和共振频率都会产生影响，缺陷位置的不同对振型影响也不同，缺陷对共振频率的影响相对较小。对比图5（f），（F）及图6（g），（G）可知，缺陷的存在除了上述影响外，缺陷位置和大小的不同有可能导致薄板振动模态的跃迁现象产生，这在文献[6]有限元图4完整薄铝板1～10阶离面振动振型： （a）～（j）有限元计算；（A）～（J）实验测试结果
Fig.4Mode shapes of first 10 resonant mode of CFCF Aluminunm plate from： （a）～（j） FEM simulation and （A）～（J） experiment measurement， respectively图5（a）～（j）和（A）～（J）分别对应于含边缘居中裂缝薄板1～10阶离面振动振型的模拟和实验结果
Fig.5Mode shapes of first 10 resonant mode of Aluminunm plate with central edge slit results from （a）～（j） FEM and （A）～（J） experiment methods， respectively图6（a）～（j）和（A）～（J）分别为含边缘非居中裂缝薄板1～10阶离面振动振型的模拟和实验结果
Fig.6Mode shapes of first 10 resonant mode of Aluminunm plate with noncentral edge slit results from （a）～（j） FEM and （A）～（J） experiment methods， respectively圖7含内部裂缝薄板1～10阶离面振动振型图：（a）～（j）为计算值；（A）～（J）对应于实验测量值
Fig.7Mode shapes of first 10 resonant mode of Aluminunm plate with inner horizontal slit results from （a）～（j） FEM and （A）～（J） experiment methods， respectively图8内部斜裂缝薄板1～10阶离面振动振型图：（a）～（j）为计算值；（A）～（J）对应于实验测量值
Fig.8Mode shapes of first 10 resonant mode of Aluminunm plate with inner skewed slit results from （a）～（j） FEM and （A）～（J） experiment methods， respectively
表1测试试样的1～10阶共振频率 （Hz）
Tab.1First 10 resonant frequencies （Hz） of the tested specimens from FEM and experimental methods，
respectively
阶数试样1试样2试样3试样4试样5计算值实验值计算值实验值计算值实验值计算值实验值计算值实验值1149.77120141.18121142.81118144.96110146.481062260.21224.8256.29227246.61214.9259.46〖〗233.8256.59242.13413.04356.4381.54307379.18327.9377.25321.8390.87330.24587.15532507.63453.6531.89473.5582.37523.7583.685265812.34720744.44680674.63611.2778.08686.8777.15674.36904.85877.9903.73900.7880.18766.2879.19872.2855.67809.271018.8939.4962.83936910.58840.21013.6913.8998.6490481241.51147976.99986.51195.41016.71194.61091.31183.4103591346.712211266.012601235.512141225.71191.31254.91108101570.914071433.712931409.81268.81527.313171512.8〖〗1309分析含缺陷悬臂薄板振动时也有类似现象。从弹性力学及振动理论观点来说，薄板的局部损伤导致结构局部刚度产生变化，引起非线性响应导致模态跃迁。本文研究表明，在一定假设前提下，有限元模拟计算的结果必然与实验的结果有一定的差异。因此，在计算机模拟的基础上开展实验研究是很有必要的。
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defect by numerical and experimental methodsJIANG Yijun， JIANG Shan， TAO Nan， YANG Fujun， HE Xiaoyuan
（Department of Engineering Mechanics， Southeast University， Nanjing 210096， China）Abstract： Vibration characteristics of thin rectangular plates with slit are studied by use of finite element method （FEM） and electronic speckle pattern interferometry （ESPI）. The first ten outofplane resonant mode shapes of an intact plate and four plates with slit were obtained by numerical and experimental methods， respectively. The supported conditions of all five rectangular plates were one opposite edges clamped and the other opposite edges free （CFCF）. The results show that resonant mode shapes are changed with slit or crack′s size， location and orientation. From the results of FEM， it can be seen that the resonant frequencies of cracked plates are lower than those of intact one. In addition， it should be noted that mode shapes based on FEM are good agreement with those obtained by experimental measurement.Key words： vibration measurement； mode shape； thin rectangular plates with slit； electronic speckle pattern interferometry； FEM作者簡介： 姜益军（1970—），男， 硕士， 讲师。电话： （025）83793384； Email： yj_jiang@126.com
