由《勾股定理》的设计浅谈新课标在课堂教学中的落实

    李荫荫　柏玉梅

    摘 要：勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，笔者在课堂教学中将定理发展的时间轴及证明方法由特殊到一般的双线索，将教材内容作以重新编排融合，以求达到新课标中对发展学生“数感、符号意识、空间观念、几何直观等”的课程目标。

    关键词：新课标 勾股定理 课堂教学 数学文化 数形结合

    “作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”， [1]《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出，“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”[1]笔者以人教版初中数学第十七章第一节《勾股定理》为例，浅谈如何将新课标的十项能力要求在课堂教学中进行落实。

    一、课程背景

    在西方，一般认为希腊数学家毕达哥拉斯最早证明了勾股定理[2]，根据有文献资料，早公元前1105年，中国古人商高便已经能利用“弦图”证明勾股定理了。勾股定理的证法有几百种，常用的有十余种，随着课程改革，勾股定理这一章的内容编排也逐渐优化[3]，兼具文化性和知识性，又因其由形到数的跨越性，学生在理解和掌握本节课内容时存在一定的困难。

    二、学情分析

    本节课情境较多，证明方式也不局限于传统的说理证明，学生具备一定的理解观察和分析能力，但阅读分析能力还有一定欠缺，在对每种情境的建模，总结规律时有一定困难，应考虑将数学背景以一种合理方式穿插进教学设计，同时又不因信息过多影响学生对定理本身的观察和分析。

    三、教学设计

    基于此，笔者以时间为轴线，按照“感知、探究、释疑、升华、应用、提升”这六个环节，尝试分板块进行难点突破。

    1.穿越时空——感知

    通过3000多年前，《周髀算经》中“勾广三，股修四，径隅五”的含义，让学生初步感知直角三角形中边之间存在一定的特殊关系，同时，数学史作为一个小背景，一语带过，学生能通过古文表述形成初步印象，为课下的查找和进一步了解留下了空间。

    设计说明：在引入环节，PPT中以背景图的方式展示赵爽弦图，学生在课前预习时，能快速捕捉到赵爽弦图的重要，所以课堂的重心放在后面对勾股定理的发展和探索过程，故选取“勾三股四弦五”这一清晰的数量关系作为引入，也将勾股定理的源头做了简单的介绍。

    2.跟随前人——探究

    2500多年前，毕达哥拉斯通过地砖上的等腰直角三角形观察得出结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这一结论看似简单，实际经历了由形到数的转化以及对规律的提炼总结。

    设计说明：作为西方最早的证明，毕达哥拉斯利用等腰直角三角形这一特例进行了证明。通过创设情境，让学生充分探究体验结论的生成过程，逐步构建证明勾股定理的几何模型。

    3.团队合作——释疑

    本版块设计了两个小环节，分别为：（1）观察并计算方格纸中的一般形状的直角三角形三边是否满足这样的数量关系；（2）用四个全等的直角三角形围出一个正方形，通过计算正方形面积的不同方式得出结论。

    设计说明：由特殊转向一般，由方格纸中的直角三角形转为平面内的直角三角形，难度逐渐深入的过程中，也是学生谈及逐渐升华的过程。通过小组合作，动手操作等，学生动脑、动口、动手，在证明勾股定理的过程中，体验到了直接观察、推理的过程。随着证明难度的逐步加大，启发学生把形的问题转化为数的问题，联想到用计算面积的方法证明等式，从而突破教学难点。

    4.巨人肩膀——升华

    利用多媒体软件，将赵爽弦图的证明过程直观给学生以展示，学生能更清晰地观察到图形分割、变换前后面积表示方式的不同，从而得出利用图形可以证明出“直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方”这一结论。

    设计说明：用动画展示的方式降低了学生对这种证明方法的学习难度，从而有精力去思考对比这几种证明方法之间的差异和共同的思维方法——数形结合。在经历了“静”态图形的证明后，对赵爽这种“动”态的证明方式更易体会其精妙之处，民族自豪感油然而生。

    5.遇水架桥——应用

    作为勾股定理的第一课时，既要会用，难度又不宜过大，于是选择了三道例题。

    第一道以语言表述为主，简单代入计算，将公式进行巩固运用；第二道用图形的方式出示，直观地感受三边的长短关系，套入合适的公式；第三道应用于实际，大树折断后形成一个直角三角形，以变式的形式给出不同的条件，结合不同情境选取适当的解题方法。

    设计说明：学以致用，勾股定理最终要作为各种图形计算的理论基础，三种不同类型的题目帮助学生进一步理解勾股定理的用法。

    6.古为今用——提升

    在总结中升华，生活中，勾股定理的用处远不限于此，小到车间零件，田间大棚，大到修路筑桥，航海航天，都与勾股定理密不可分。古为今用，文明传承，华罗庚教授曾说勾股定理可以作为与外太空文明对话的一种语言，继续探索和发掘宇宙中的无穷奥秘。

    设计说明：在小结环节，将勾股定理的各种证明方法进行连接、对比，并在华罗庚教授对勾股定理的高度评价中升华，从而感受到数学中一个定理的发展历程，领悟其中凝结的前人的智慧，将数学文化与知识、技能方法形成融合，从而不仅掌握知识，还能很好体验知识的生成过程。

    综上，本节课的设计通过数学历史的时间轴及勾股定理证明的由特殊到一般这两条线索，将本节课教材上的内容进行重新编排，既突出数学的知识性，又让学生在学习过程中体会到数学文化。课堂中浅浅提到的数学小历史，是大量相关资料的融合、提炼，力求在课堂教学中，知识性与文化性同在。

    参考文献

    [1]中华人民共和国教育部.义务教育数学課程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

    [2]李超.勾股定理最早证明新考[J].韶关学院学报·社会科学，2006（10）.

    [3]张冬莉.人教版中学数学教科书中勾股定理内容设置演变之研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学数学科学学院，2017：41-43.