复合方程求根问题

    肖婧宇

    摘 要 复合函数是指自变量进过两次以上的映射，复合函数等于零求根的问题称为复合方程。复合方程是高考中的常见考点，需要按顺序求解两次，本来着重讨论该问题处理流程。

    关键词 复合函数 复合方程 函数零点 数形结合

    中图分类号：O151.2 文献标识码：A

    1已知函数求根

    例1：设R上的函数则关于的函数的零点个数为（D）

    A.2 B.3 C.5 D.7

    解；设，图像如图：

    或1，如图： ， 4个根；

    ，3个根。

    分析：对于这样的题，先将换元，再解复合方程得到的可能值，最后画出图像，根据数形结合得到x的个数。

    例2：定义域为R的函数若关于x的方程 + 有5个不同的实数解，则（B）。

    A.2B.6 C.2或6 D.4或6

    解：设，图像如图：

    如圖可知：一个最多对应4个x，所以定然有2个，。因为不存在1个对应1个x的情况，所以一定是1个对应2个x，另一个对应3个x，因此有一个一定为4，代入得m=2或6。

    m=2时，=1，=4 对应7个根，舍去；

    m=6时，=4，=9成立。

    分析：对于已知实数解个数的题，应先画出图像分析的个数及对应根的个数进行讨论。

    例3：关于的方程，给出下列四个命题：

    （1）存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

    （2）存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

    （3）存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

    （4）存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.

    其中假命题的个数是（A）

    A. 0 B. 1 C. 2 D.3

    解：设

    （1） ，t无解，x无解；（2） ，，x有4个解；

    （3），

    （1）k=0，，；

    （2）， ，x有8个解；

    （3），，，， x有2个解。

    分析：对于复合方程中的常数项未知的题，先根据讨论该未知量在不同取值范围内对应f（x）的范围或取值，再数形结合得到解的个数。

    2已知函数图像求根

    例：定义域和值域均为（常数a>0）的函数y=f（x）和y=g（x）的函数图像如图所示，给出下列4个命题：

    （1）方程f[g（x）]=0有且仅有三个解；

    （2）方程g[f（x）]=0有且仅有三个解；

    （3）方程f[f（x）]=0有且仅有九个解；

    （4）方程g[g（x）]=0有且仅有一个解。

    中正确的个数为（B）。

    A.1 B.2 C.3 D.4

    （1）设，如图：，，都为0。，， 在g（x）图像中画出各对应1个根，共3个根，（1）正确，（2）（3）（4）错误。

    分析：对于这样的题，先观察复合函数为零时内层函数的取值范围，再在内层函数图像上作图观察根的个数。