半刚性连接钢框架的改进分析方法
陈永则
【摘要】本文就现阶段进行有半刚性连接钢框架数值分析中经常采用的分析模型进行了优缺点对比分析，在此基础上提出根据连接的强弱系数 定义推倒出由连接刚度系数和稳定系数表示的修正后的转角位移方程，此方程能完整地描述连接刚度由零到无限大变化时杆件受力随之变化的全过程。
【关键词】半刚性；连接刚度系数；转角位移方程お
Semi—rigid connected steel frame improving analytical methods
Chen Yong—ze
（Shaanxi Construction Machinery Co.， LtdXi''anShaanxi710032）
【Abstract】This article on this stage have a semi—rigid connected steel frame numerical analysis model is frequently used in the analysis of the advantages and disadvantages of comparative analysis， based on tear down the connection stiffness coefficient and stability factor correction according to the strength of the connection coefficient definedafter corner displacement equation， this equation can complete description of the connection stiffness rod pieces by the force changes from zero to infinity changes the whole process.
【Key words】Semi—rigid；The connection stiffness coefficient；Angular displacement equationお
现有的结构分析中，是将梁柱连接节点简单的划分为只能传递轴力和剪力的铰接，或能完全传递轴力、剪力和弯矩的刚性连接。但是，试验研究表明大多数工程中常采用的节点均会表现出介于铰接和刚性连接之间的性能即半刚性性能[1～3]
关于连接节点性能特性的研究及其对结构静态承载力的影响，近10年来已有较多的论述，在文献[2]中对常用的分析方法做了较为详细的综述。
1. 现阶段对于半刚性连接框架基本上采用以矩阵位移法为基础的数值分析法来进行分析。其中最为关键的刚度矩阵的建立方法主要有：
（1）有限元法：文献[4][5]中用有限元方法分析时，采用连接弹簧来模拟连接节点性能，在建立结构刚度矩阵时，连接弹簧刚度将分别影响柱刚度矩阵和梁刚度矩阵的建立。这与实际的物理模型是有差别的：在框架中，柱端是连续的，按照正常的有限元方法建立其刚度矩阵即可，梁柱连接的性能是集中在对梁单元的影响，应在梁单元刚度矩阵的建立过程中将梁端连接特性完全计入。同时，当采用杆件有限元法时，势必会在计算时忽略应变函数中位移的一些高阶项，用此进行多层框架这样由众多杆件藕合作用结构的分析，其所得结果的精度必然受到影响。
（2）梁柱理论：采用考虑连接性能修正后的转角位移方程来建立刚度矩阵。此方法直接由杆件的平衡方程来推导刚度矩阵，用超越函数简洁、精确地表达杆单元中力和位移的关系。现在研究中主要采用W.F.Chen[3][6][7]推导出的考虑连接刚度修正后的转角位移方程：
M瑼=EIL[SS*θ瑼+CC*θ瑽] （1a）
M瑽=EIL[CC*θ瑼+DD*θ瑽] （1b）
式中，SS*=（C+EIC2LR㎏B—EIS2LR㎏B）/RR* ；DD*=（C+EIC2LR㎏A—EIS2LR㎏A）/RR* ；CC*=S/RR*
RR* =（1+EICLR㎏A） （1+EICLR㎏B） —（EIL）2S2R㎏B猂㎏A 。
以上各式中 EI是构件的弯曲刚度，S和C分别是构件抗弯刚度系数，R﹌i ——连接的初始刚度。
但采用（1）式分析时，计算结果与连接的相对强弱没有明显直观的联系，且表达式中只与连接的初始刚度有关，同时当R﹌i很小时，数值计算程序有可能出现较大的累积误差， 这表明当采用塑性铰法进行结构弹塑性分析时，按照（1）式建立的刚度矩阵在杆端将要形成塑性时变得不稳定。同时，在（1）式中只考虑了连接初始刚度的影响，而不是采用连接的瞬时刚度，这样就无法描述杆件性能随刚度变化而改变的情况。因此有必要建立以连接刚度系数ρ璱 表达的转角位移方程。
2. 连接刚度系数的修正
进行新转角位移方程推导之前，先引入连接刚度系数 来表示节点的约束强弱[7]
ρ璱=θ''θ=11+3EIR璱L （1—1）
式（1—1）的先题条件是：（1）杆件中的轴向力为零；（2）杆件一端半刚性连接，另一端简支；（3）杆件只在半刚性连接端作用有弯矩。在此基础上得到的修正后的转角位移动方程为：
M瑼=3ρ瑼4—ρ瑼ρ瑽EIl（4θ瑼+2ρ瑽θ瑽） （1—1a）
M瑽=3ρ瑽4—ρ瑼ρ瑽EIl（4θ瑽+2ρ瑼θ瑼） （1—1b）
（1—1）是就是现在大多数研究中采用的考虑连接性能时的转角位移方程，但在此方程中没有考虑到轴向力的影响。
当杆件中的轴向力不为零时，根据上述条件的（2）和（3）条可得到（杆端变形角之间的关系见图1）：
ρ璱=θ''θ=11+（C—S2C）EIR璱L （1—2）
图1杆端变形角之间的关系
式中，ρ璱 为连接的强弱系数；θ''为杆单元端部在杆端弯矩作用下的转角； θ为考虑节点性能时杆单元在杆端弯矩作用下的总转角；R璱 为连接的转动刚度。
3. 转角位移方程的修正
根据ρ璱的定义，当A端为半刚性连接且有弯矩作用，B端简支时：
M瑼=EIL（ρ瑼Cθ〢1+Sθ〣1） （2—1）
0=EIL（ρ瑼Sθ〢1+Cθ〣1） （2—2）
式中， θ〢1为只有M瑼 作用时，在A端产生的转角；θ〣1 为在A端弯矩 M瑼作用下，铰接B端产生的转角。
当B为半刚性连接端有弯矩作用，A端简支时：
M瑽=EIL（ρ瑽Cθ〣2+Sθ〢2） （2—3）
0=EIL（ρ瑽Sθ〣2+Cθ〢2） （2—4）
式中， θ〣2为只有 M瑽作用时，在B端产生的转角；θ〢2 为在B端弯矩 M瑽作用下，铰接A端产生的转角。
由于杆件中的轴向力是相同的，利用叠加原理有：
M瑼=EIL（ρ瑼Cθ〢1+Cθ〢2+Sθ〣1+ρ瑽Sθ〣1） （2—5）
M瑽=EIL（ρ瑼Sθ〢1+Sθ〢2+Cθ〣1+ρ瑽Cθ〣1） （2—6）
θ〢=θ〢1+θ〢2 ；θ〣=θ〣1+θ〣2 （2—7）
由（2—3）～（2—7）式可得到：
M瑼=EIL[S*θ〢+C*θ〣猐 （2—8a）
M瑽=EIL[C*θ〢+D*θ〣猐 （2—8b）
S* =ρ瑼C〔C—S2C〕/R*； D* =ρ瑽C〔C—S2C〕/R* ； C* =ρ瑼ρ瑽S〔C—S2C〕/R*；R*=C—ρ瑼ρ瑽S2C
由（2—8）式可看到：
（1） 当ρ瑼=0 ，ρ瑽=0时： M瑼=0，M瑽=0
（2） 当ρ瑼=0 ，ρ瑽≠0 时： M瑼=0，M瑽=EIL〔C—S2C〕ρ瑽θ〣
（3） 当ρ瑼=1，ρ瑽=1时： M瑼=EIL（Cθ〢+Sθ〣），M瑽=EIL（Sθ〢+Cθ〣） 即为经典的转角位移方程。
以上的分析表明，（2—8）能完整、准确的描述构件随着两端约束条件的变化承载力跟随变化的全过程，将端部连接分别为铰接、固接和半刚性连接的转角位移方程的表达统一起来。
注意到，（2—8）式的物理意义为：构件在通过其两端连接传递过来的弯矩作用下的转角位移方程。
4. 刚度矩阵的形成
由（2—8）式根据内外力平衡条件和杆件的变形协调条件进行推导可得到考虑连接半刚性时的杆件刚度矩阵如下：
[K琒]=K11琒K12琒K13琒K14琒K15琒K16琒
K21琒K22琒K23琒K24琒K25琒K26琒
K31琒K32琒K33琒K34琒K35琒K36琒
K41琒K42琒K43琒K44琒K45琒K46琒
K51琒K52琒K53琒K54琒K55琒K56琒
K61琒K62琒K63琒K64琒K65琒K66琒 （3—1）
式中： K11琒=EAL，K12琒=K21琒=K13琒=K31琒=0，
K14琒=K41琒=—EAL， K15琒=K51琒=K16琒=K61琒=0，
K22琒= ηEIL3 [（S*+2C*+D*）—（αL）2]， K23琒=K32琒= ηEIL2（S*+C*）， K24琒=K42琒=0，
K25琒=K52琒=ηEIL3 [—（S*+2C*+D*）+（αL）2]，
K26琒=K62琒=ηEIL2（D*+C*），
K33琒=ηEIL S*，K34琒=K43琒=0，
K35琒=K53琒=—ηEIL2（S*+C*），
K36琒=K63琒=ηEILC* ，
K44琒=EAL，
K45琒=K54琒=K46琒=K64琒=0，
K55琒= ηEIL3[（S*+2C*+D*）—（αL）2] ，
K56琒=K65琒=—ηEIL2（D*+C*），K66琒=ηEILD*
对此矩阵进行进一步观察，便可以清楚的得到：
（1） 当 ρ瑼=0 ，ρ瑽=0时，（3—1）矩阵便可凝聚得到两端铰接平面杆件的单元刚度矩阵；
（2） 当ρ瑼=1，ρ瑽=1时，（3—1）矩阵就是正常的平面杆件单元刚度矩阵。
5. 算例
以图2所示的五层钢框架为例，分析不同梁柱节点连接方式对多层纯框架承载性能的影响。
图2框架模型
模型中边柱采用HM450x300，中柱采用HM500x300，所有的梁均采用HN450x200，材质均为Q235，P= αP瓂，P瓂=Aヽol ×f瓂 ， q=30KN/m，H=0.2P。
当采用不同梁柱连接形式时，结构自振周期的对比如表1所示：
表1轴向力对结构自振周期的影响
连接形式（kn.m/rad） 结构自振周期（s—秒）
用（2—8）式に得计算结果 用（1—1）式に得计算结果
全铰接连接（R﹌i=0 ）1.51 1.47
腹板角钢连接（ R﹌i=2500）1.46 1.43
上下翼缘角钢连接（R﹌i=3600 ）1.29 1.27
外伸端板连接（ R﹌i=5500）1.20 1.18
上下翼缘角钢连接+腹板角钢ち接（ R﹌i=8905）1.17 1.15
栓焊混合连接（ R﹌i=11500）1.02 1.0
刚性连接（ R﹌i=∞）0.84 0.83
从对比分析结果看，（2—8）与（1—1）式的计算结果在连接刚度较大时是接近的，
但当连接刚度逐渐减弱时两式的计算结果就产生较大的差异，特别是当连接为全铰接时，两者的差别最大。杆件中的轴向力对结构的物理特征有着显著的影响。（弹性分析位移—荷载曲线见图3～图5）。
图3ρ=0.2时弹性分析位移—荷载曲线
图4ρ=0.4时弹性分析位移—荷载曲线
表2考虑连接刚度时（2—8）式弹性分析结果
初始连接刚度 极限荷载（KN） 最大侧向位移（cm）
ρ=0.24700 17.6324
ρ=0.45170 28.7725
ρ=1.08020 8.714
6. 结论
由以上的分析可清晰的看出，（2—8）能完整准确的描述构件随着杆件两端约束条件的变化承载力跟随变化的全过程，将端部连接分别为铰接、固接和半刚性连接的转角位移方程的表达统一起来。同时在用（2—8）式建立刚度矩阵时，不必要引入新的独立变量分项目就可准确、连续地描述结构刚度变化的全过程。
图5ρ=1.0时弹性分析位移—荷载曲线
参考文献
[1]Stelmarch， Analysis and tests of flexibly connected steel frames[J] J. of Structural Engineering， ASCE， Vol.112 ，pp.1573—1588 1986.
[2]陈惠发著 周绥平译 《钢框架稳定设计》[M] 世界图书出版公司 上海 1999.8.
[3]W.F.Chen， Practical analysis for semi—rigid frame design"[M] N.Y. World Scientific 1999.10.
[4]Ali etc.， An investigation for semi—rigid frames by different connection models[J] Mathematical and compytational Applications， Vol. 10， No.1， pp 35～44，2005.
[5]M.Soares Filho etc. Wind pressure in framed structures with semi—rigid connections[J] J. of the Braz. Soc. Of Mech. Sci. & Eng.， 2004 Vol. XXVI No.2 pp180～189.
[6]W.F.Chen and S.E.Kim， LRFD steel design using advance analysis[M]， Florida，CRC Press ，1997.
[7]W.F.Chen， Y.Goto and R.Liew， Stability design of semi rigid frames[M]， N.Y. Wiley，1993.
【摘要】本文就现阶段进行有半刚性连接钢框架数值分析中经常采用的分析模型进行了优缺点对比分析，在此基础上提出根据连接的强弱系数 定义推倒出由连接刚度系数和稳定系数表示的修正后的转角位移方程，此方程能完整地描述连接刚度由零到无限大变化时杆件受力随之变化的全过程。
【关键词】半刚性；连接刚度系数；转角位移方程お
Semi—rigid connected steel frame improving analytical methods
Chen Yong—ze
（Shaanxi Construction Machinery Co.， LtdXi''anShaanxi710032）
【Abstract】This article on this stage have a semi—rigid connected steel frame numerical analysis model is frequently used in the analysis of the advantages and disadvantages of comparative analysis， based on tear down the connection stiffness coefficient and stability factor correction according to the strength of the connection coefficient definedafter corner displacement equation， this equation can complete description of the connection stiffness rod pieces by the force changes from zero to infinity changes the whole process.
【Key words】Semi—rigid；The connection stiffness coefficient；Angular displacement equationお
现有的结构分析中，是将梁柱连接节点简单的划分为只能传递轴力和剪力的铰接，或能完全传递轴力、剪力和弯矩的刚性连接。但是，试验研究表明大多数工程中常采用的节点均会表现出介于铰接和刚性连接之间的性能即半刚性性能[1～3]
关于连接节点性能特性的研究及其对结构静态承载力的影响，近10年来已有较多的论述，在文献[2]中对常用的分析方法做了较为详细的综述。
1. 现阶段对于半刚性连接框架基本上采用以矩阵位移法为基础的数值分析法来进行分析。其中最为关键的刚度矩阵的建立方法主要有：
（1）有限元法：文献[4][5]中用有限元方法分析时，采用连接弹簧来模拟连接节点性能，在建立结构刚度矩阵时，连接弹簧刚度将分别影响柱刚度矩阵和梁刚度矩阵的建立。这与实际的物理模型是有差别的：在框架中，柱端是连续的，按照正常的有限元方法建立其刚度矩阵即可，梁柱连接的性能是集中在对梁单元的影响，应在梁单元刚度矩阵的建立过程中将梁端连接特性完全计入。同时，当采用杆件有限元法时，势必会在计算时忽略应变函数中位移的一些高阶项，用此进行多层框架这样由众多杆件藕合作用结构的分析，其所得结果的精度必然受到影响。
（2）梁柱理论：采用考虑连接性能修正后的转角位移方程来建立刚度矩阵。此方法直接由杆件的平衡方程来推导刚度矩阵，用超越函数简洁、精确地表达杆单元中力和位移的关系。现在研究中主要采用W.F.Chen[3][6][7]推导出的考虑连接刚度修正后的转角位移方程：
M瑼=EIL[SS*θ瑼+CC*θ瑽] （1a）
M瑽=EIL[CC*θ瑼+DD*θ瑽] （1b）
式中，SS*=（C+EIC2LR㎏B—EIS2LR㎏B）/RR* ；DD*=（C+EIC2LR㎏A—EIS2LR㎏A）/RR* ；CC*=S/RR*
RR* =（1+EICLR㎏A） （1+EICLR㎏B） —（EIL）2S2R㎏B猂㎏A 。
以上各式中 EI是构件的弯曲刚度，S和C分别是构件抗弯刚度系数，R﹌i ——连接的初始刚度。
但采用（1）式分析时，计算结果与连接的相对强弱没有明显直观的联系，且表达式中只与连接的初始刚度有关，同时当R﹌i很小时，数值计算程序有可能出现较大的累积误差， 这表明当采用塑性铰法进行结构弹塑性分析时，按照（1）式建立的刚度矩阵在杆端将要形成塑性时变得不稳定。同时，在（1）式中只考虑了连接初始刚度的影响，而不是采用连接的瞬时刚度，这样就无法描述杆件性能随刚度变化而改变的情况。因此有必要建立以连接刚度系数ρ璱 表达的转角位移方程。
2. 连接刚度系数的修正
进行新转角位移方程推导之前，先引入连接刚度系数 来表示节点的约束强弱[7]
ρ璱=θ''θ=11+3EIR璱L （1—1）
式（1—1）的先题条件是：（1）杆件中的轴向力为零；（2）杆件一端半刚性连接，另一端简支；（3）杆件只在半刚性连接端作用有弯矩。在此基础上得到的修正后的转角位移动方程为：
M瑼=3ρ瑼4—ρ瑼ρ瑽EIl（4θ瑼+2ρ瑽θ瑽） （1—1a）
M瑽=3ρ瑽4—ρ瑼ρ瑽EIl（4θ瑽+2ρ瑼θ瑼） （1—1b）
（1—1）是就是现在大多数研究中采用的考虑连接性能时的转角位移方程，但在此方程中没有考虑到轴向力的影响。
当杆件中的轴向力不为零时，根据上述条件的（2）和（3）条可得到（杆端变形角之间的关系见图1）：
ρ璱=θ''θ=11+（C—S2C）EIR璱L （1—2）
图1杆端变形角之间的关系
式中，ρ璱 为连接的强弱系数；θ''为杆单元端部在杆端弯矩作用下的转角； θ为考虑节点性能时杆单元在杆端弯矩作用下的总转角；R璱 为连接的转动刚度。
3. 转角位移方程的修正
根据ρ璱的定义，当A端为半刚性连接且有弯矩作用，B端简支时：
M瑼=EIL（ρ瑼Cθ〢1+Sθ〣1） （2—1）
0=EIL（ρ瑼Sθ〢1+Cθ〣1） （2—2）
式中， θ〢1为只有M瑼 作用时，在A端产生的转角；θ〣1 为在A端弯矩 M瑼作用下，铰接B端产生的转角。
当B为半刚性连接端有弯矩作用，A端简支时：
M瑽=EIL（ρ瑽Cθ〣2+Sθ〢2） （2—3）
0=EIL（ρ瑽Sθ〣2+Cθ〢2） （2—4）
式中， θ〣2为只有 M瑽作用时，在B端产生的转角；θ〢2 为在B端弯矩 M瑽作用下，铰接A端产生的转角。
由于杆件中的轴向力是相同的，利用叠加原理有：
M瑼=EIL（ρ瑼Cθ〢1+Cθ〢2+Sθ〣1+ρ瑽Sθ〣1） （2—5）
M瑽=EIL（ρ瑼Sθ〢1+Sθ〢2+Cθ〣1+ρ瑽Cθ〣1） （2—6）
θ〢=θ〢1+θ〢2 ；θ〣=θ〣1+θ〣2 （2—7）
由（2—3）～（2—7）式可得到：
M瑼=EIL[S*θ〢+C*θ〣猐 （2—8a）
M瑽=EIL[C*θ〢+D*θ〣猐 （2—8b）
S* =ρ瑼C〔C—S2C〕/R*； D* =ρ瑽C〔C—S2C〕/R* ； C* =ρ瑼ρ瑽S〔C—S2C〕/R*；R*=C—ρ瑼ρ瑽S2C
由（2—8）式可看到：
（1） 当ρ瑼=0 ，ρ瑽=0时： M瑼=0，M瑽=0
（2） 当ρ瑼=0 ，ρ瑽≠0 时： M瑼=0，M瑽=EIL〔C—S2C〕ρ瑽θ〣
（3） 当ρ瑼=1，ρ瑽=1时： M瑼=EIL（Cθ〢+Sθ〣），M瑽=EIL（Sθ〢+Cθ〣） 即为经典的转角位移方程。
以上的分析表明，（2—8）能完整、准确的描述构件随着两端约束条件的变化承载力跟随变化的全过程，将端部连接分别为铰接、固接和半刚性连接的转角位移方程的表达统一起来。
注意到，（2—8）式的物理意义为：构件在通过其两端连接传递过来的弯矩作用下的转角位移方程。
4. 刚度矩阵的形成
由（2—8）式根据内外力平衡条件和杆件的变形协调条件进行推导可得到考虑连接半刚性时的杆件刚度矩阵如下：
[K琒]=K11琒K12琒K13琒K14琒K15琒K16琒
K21琒K22琒K23琒K24琒K25琒K26琒
K31琒K32琒K33琒K34琒K35琒K36琒
K41琒K42琒K43琒K44琒K45琒K46琒
K51琒K52琒K53琒K54琒K55琒K56琒
K61琒K62琒K63琒K64琒K65琒K66琒 （3—1）
式中： K11琒=EAL，K12琒=K21琒=K13琒=K31琒=0，
K14琒=K41琒=—EAL， K15琒=K51琒=K16琒=K61琒=0，
K22琒= ηEIL3 [（S*+2C*+D*）—（αL）2]， K23琒=K32琒= ηEIL2（S*+C*）， K24琒=K42琒=0，
K25琒=K52琒=ηEIL3 [—（S*+2C*+D*）+（αL）2]，
K26琒=K62琒=ηEIL2（D*+C*），
K33琒=ηEIL S*，K34琒=K43琒=0，
K35琒=K53琒=—ηEIL2（S*+C*），
K36琒=K63琒=ηEILC* ，
K44琒=EAL，
K45琒=K54琒=K46琒=K64琒=0，
K55琒= ηEIL3[（S*+2C*+D*）—（αL）2] ，
K56琒=K65琒=—ηEIL2（D*+C*），K66琒=ηEILD*
对此矩阵进行进一步观察，便可以清楚的得到：
（1） 当 ρ瑼=0 ，ρ瑽=0时，（3—1）矩阵便可凝聚得到两端铰接平面杆件的单元刚度矩阵；
（2） 当ρ瑼=1，ρ瑽=1时，（3—1）矩阵就是正常的平面杆件单元刚度矩阵。
5. 算例
以图2所示的五层钢框架为例，分析不同梁柱节点连接方式对多层纯框架承载性能的影响。
图2框架模型
模型中边柱采用HM450x300，中柱采用HM500x300，所有的梁均采用HN450x200，材质均为Q235，P= αP瓂，P瓂=Aヽol ×f瓂 ， q=30KN/m，H=0.2P。
当采用不同梁柱连接形式时，结构自振周期的对比如表1所示：
表1轴向力对结构自振周期的影响
连接形式（kn.m/rad） 结构自振周期（s—秒）
用（2—8）式に得计算结果 用（1—1）式に得计算结果
全铰接连接（R﹌i=0 ）1.51 1.47
腹板角钢连接（ R﹌i=2500）1.46 1.43
上下翼缘角钢连接（R﹌i=3600 ）1.29 1.27
外伸端板连接（ R﹌i=5500）1.20 1.18
上下翼缘角钢连接+腹板角钢ち接（ R﹌i=8905）1.17 1.15
栓焊混合连接（ R﹌i=11500）1.02 1.0
刚性连接（ R﹌i=∞）0.84 0.83
从对比分析结果看，（2—8）与（1—1）式的计算结果在连接刚度较大时是接近的，
但当连接刚度逐渐减弱时两式的计算结果就产生较大的差异，特别是当连接为全铰接时，两者的差别最大。杆件中的轴向力对结构的物理特征有着显著的影响。（弹性分析位移—荷载曲线见图3～图5）。
图3ρ=0.2时弹性分析位移—荷载曲线
图4ρ=0.4时弹性分析位移—荷载曲线
表2考虑连接刚度时（2—8）式弹性分析结果
初始连接刚度 极限荷载（KN） 最大侧向位移（cm）
ρ=0.24700 17.6324
ρ=0.45170 28.7725
ρ=1.08020 8.714
6. 结论
由以上的分析可清晰的看出，（2—8）能完整准确的描述构件随着杆件两端约束条件的变化承载力跟随变化的全过程，将端部连接分别为铰接、固接和半刚性连接的转角位移方程的表达统一起来。同时在用（2—8）式建立刚度矩阵时，不必要引入新的独立变量分项目就可准确、连续地描述结构刚度变化的全过程。
图5ρ=1.0时弹性分析位移—荷载曲线
参考文献
[1]Stelmarch， Analysis and tests of flexibly connected steel frames[J] J. of Structural Engineering， ASCE， Vol.112 ，pp.1573—1588 1986.
[2]陈惠发著 周绥平译 《钢框架稳定设计》[M] 世界图书出版公司 上海 1999.8.
[3]W.F.Chen， Practical analysis for semi—rigid frame design"[M] N.Y. World Scientific 1999.10.
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