试论超级球在受限空间的力学规律
王亚军
摘 要：在超级球的运动过程中，会与碰撞物体形成机械能守恒体系。本文将对超级球在受限空间中的力学规律进行研究，首先分析其运动碰撞过程，包括运动学规律和水平向速率关系。在此基础上，采用试验研究方法，利用光滑模板构建受限空间，使用计算机软件对其运动过程进行分析，并根据试验结果，分析其力学规律。
关键词：超级球;受限空间;力学规律
0 前言
多数球类运动都是按一定角度出球，撞击到坚硬平面后弹回，其撞击角度着球是否能够返回到操作者手中。在球的运动和碰撞过程中，涉及到非线性动力系统问题，目前相关研究较多，但多数属于一维模拟分析，缺少二维受限空间的碰撞运动模型分析。有必要对其运动规律进行深入分析，为乒乓球、网球等运动训练提供更多的理论依据。
1 超级球的碰撞过程分析
1.1 运动学规律
超级球是一种弹性优良的固态橡胶球，与其他固体发生碰撞后，近似遵循系统机械守恒定律及角动量定理。其中，机械能守恒系统是由超级球、碰撞物体以及地球共同组成的，在超级球与固体碰撞时，接触面无滑动，因此无摩擦生热现象。同时，超级球碰撞中的形变恢复时间非常短，形变产生热量也可忽略不计，所以近似遵循机械能守恒定律。在超级球与固体平面的碰撞过程中，受静摩擦力矩作用，会产生一个角加速度，碰撞后，超级球运动可以看作是质心平动与以一条直径为轴进行转动的复合运动[1]。
1.2 水平向速率关系
采用地球参考系，设水平向右为x轴的正方向，设竖直向上为y轴的正方向，根据右手螺旋法则确定z轴方向。在超级球与水平放置的固体平板发生碰撞后，需要研究x轴方向的速率关系，为研究超级球在受限空间中的力学规律提供试验理论基础。在其碰撞中，可采用过超级球与固体平板接触点，且与Z轴平行直线作为超级球瞬时轴。研究超级球定轴转动的分运动时，可采用质心轴，为角动量定理的使用提供方便[2]。
将超级球碰撞前后速度分别表示为v1和v2，碰撞前后速度与y轴所成锐角分别为θ1和θ2，碰撞前后的动能分别为Ek1和Ek2。在热能损耗忽略不计的情况下，有Ek1=Ek2，即1/2mv12=1/2mv22+1/2Jw2，1/2mv1x2+1/2mv1y2=1/2mv2x2+1/2mv2y2+1/2Jw2。由于超级球碰撞过程中y轴上的动量近似守恒，因此有|v1y|=|v2y|，带入后可以得到1/2mv1x2=1/2mv2x2+1/2Jw2，其中，质心转动惯量J=2/5mr2，則有v2x2=v1x2-2/5r2w2。超级球与板之间的碰撞压力为N，摩擦力大小随时间变化，记为fμ。根据角动量定律，在一个函数区间T/2内，超级球碰撞获得的角速度为w=5μN0T/（4πmr）。带入到上述公式中可得出v2x2=v1x2-10μ2v12cosθ1。该公式可以作为试验观测超级球碰撞运动水平速度的理论基础。
2 超级球在受限空间中的力学规律研究
2.1 试验方法
在本次试验过程中，二维受限空间是由两个成一定夹角的光滑木板组成的，其中一块木板水平放置。超级球为高弹性系数高分子橡胶球，在其运动过程中，使用Epson录像机进行横向拍摄，利用Tracker软件确定超级球运动中的相对位置。在试验过程中，分别调整两个光滑木板之间的夹角，将其设置为90°/80°/70°/60°/50°/40°/30°/20°/10°/0°，其中0°为两个木板平行放置的情况。超级球的入射方向统一设置为与水平木板法线成45°角的方向，控制超级球初速度方向，让其无旋转运动，且每次仅在某xOy平面内运动。
2.2 结论分析
采用上述试验方法，对超级球在量光滑木板间的运动规律进行研究，并采用上述速率关系公式，判断结果的正确性。在采用录像机记录超级球运动过程后，利用软件进行处理，得到超级球在两木板成不同夹角条件下的运动轨迹。假设人的手臂活动范围为20cm×20cm，从结果来看，当两个光滑模板之间的夹角大于等于70°、小于等于90°时，超级球会与两个木板各发生一次碰撞，然后按照近似于扇形的路径返回操作者手中。当两个光滑模板之间的夹角为大于等于0°、小于等于60°时，超级球会与水平模板发生2次碰撞，与竖直木板发生1次碰撞。超级球的运动轨迹可以看作两个左上角重合的双V结构。此时，只有当两个木板间的夹角为大于等于0°、小于等于30°时，超级球才能回到操作者手中。
在两个木板间的夹角为大于等于40°、小于等于60°的情况下，超级球无法回到操作者手中。由此可以判断出，超级球碰撞次数从2次变为3次的两板夹角出现在60°～70°范围内。在试验过程中，超级球碰撞纵向位置会出现一定偏差，这主要时拍摄视觉误差导致的。在两木板的夹角为0°时，超级球与水平木板发生第一碰撞前后，横向位移与时间变化曲线的斜率分别对应着超级球碰撞前后x轴方向速率。其中，实测vx1为2.2401，实测vx2为1.3966，满足理论计算公式vx2 3 结束语 综上所述，超级球在二维受限空间内，与两个板的碰撞次数与板间夹角有关，进而影响其运动路径和能否回到操作者手中。根据本次试验研究，在两板间夹角为0°～30°和70°～90°时，超级球均能回到操作者手中。利用水平向速率关系式进行验算，该试验结果较为可靠，在超级球碰撞过程中，能够满足机械能守恒定律及角动量定理。 参考文献： [1]王雪莲，付淑芳，孟庆国.“超级球”在水平板上一次碰撞弹回现象的研究[J].大学物理实验，2017，30（06）：92-97. [2]梁泽宇，吴秀文，申坤，郝会颖.超级球在受限空间的力学规律研究[J].物理与工程，2017，27（S1）：238-244.
