“弧度制”教学：注重概念生成凸显概念本质
金山
【摘?要】?数学概念是数学思维的起点，是建立数学理论的基础，概念教学在数学教学中举足轻重，不仅担负着学生知识结构和思维能力发展的责任，同时也是培养学生核心素养的一种重要途径.文中以必修4弧度制的概念教学设计为例，探讨概念教学中如何凸显概念的本质，培养学生用数学眼光观察世界、用数学语言表达世界的核心素养.
【关键词】?教学设计;概念教学;弧度制;核心素养
数学概念是数学思维的起点，是判断推理的基础，是定理、法则、性质的基本单位，是建立数学理论的基础，正确理解、掌握和运用数学概念是学好数学的前提.所以数学概念的教学具有十分重要的作用，不仅担负着学生知识结构和思维能力发展的责任，同时也是培养学生核心素养的一种重要途径.下面以最近笔者在一次市级公开课中，执教的“弧度制”教学为例，谈谈对概念教学的认识和感悟.
1?教材、学情分析
1.1?教材分析
本节所使用教材是苏教版《必修4》第1章第1.1.2节“弧度制”.第1.1节分两部分，前一部分是“任意角”，其中角的度量仍采用初中学过角度制.本节弧度制的基本思想是圆半径与圆周长在同一度量单位下，用对应的弧长与圆半径之比来度量角.与角度制度相比，弧度制度量角在数学中显示出很大的优越性：一是10进制取代了60进制，便于数与数（角与角）之间比较，提高解决问题的效率，并且新的度量体系与角度制可以进行对应换算，保证与原有数学系统相容;二是三角函数中的自变量是角，因为函数是数集到数集的对应，自变量取实数才合理，若继续采用角度制表示角，就会与函数的定义冲突;三是微积分中使用弧度制后，众多公式可以简化，从而推动了微积分的发展和普及.所以本节课的学习对本章以及今后的数学学习十分重要.
1.2?学情分析
授课班级是四星级高中普通理科班，学生数学基础扎实，具有探究热情.从知识层面，学生已学过角度制度量角，掌握射线旋转形成任意角等;从能力层面，学生具备一定的观察事物能力，积累了一些不同度量系统之间换算的活动经验，在一定程度上具备了抽象、概况的能力和语言转换能力，这些都为本节课顺利开展奠定了基础.
1.3?教学目标
教学目标 ?（1）理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度之间的换算，熟记特殊角的弧度数;
（2）了解角的集合与实数集之间可以建立其一一对应的关系;
（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题.
教学重点?弧度制与角度制换算和弧长公式.
教学难点?理解弧度制意义及角与实数的对应关系.
2?教学过程
2.1?情境引入 学会数学眼光观察
PPT展示，扳手拧紧螺帽的场景对大家都不陌生，你能从中看出扳手转动与螺帽转动之间有什么特点和联系？
设计意图?弧度制是一种新的描述角的方法，在弧度制教学中，有些老师采用数学规定说，没有强调它本身的数学含义和数学价值，强行让学生接受，导致学生对概念缺乏数学理解.另外，让弧度制以这种"冷酷"的面孔登场亮相，学生心里不情愿，学习缺少动力，自然效果低下.本节首先展示学生熟悉的生活场景，引导学生用数学眼光观察、思考，不仅可以提高学生学习兴趣，同时也为理解弧度制做好铺垫.
师：如图2，扳手的另一端从点A转动到点B，螺帽对应点A1转动到B1位置，从中你发现几何数量之间具有哪些相等和不相等的关系？
生1：点A转动的弧长与点A1转动的弧长不相等;两弧所在圆的半径也不相等，扳手转动的弧长大些，所在的圆半径也大些.
师：有相等的量吗？
生1：点A和点A1转动的角度相等.
师：很好.如果扳手变长，螺帽转动相同的角度，扳手转动的弧长怎么变化？
生众：弧长更大.
设计意图?螺帽转动相同角度，扳手越长越省力，即扳手的长度（半径）改变，扳手的另一端转动弧长也改变，这是学生较为熟悉的生活体验，但其中隱含的“弧长与半径比值为定值”的数学元素，对学生来说却是陌生的、抽象的，设计这样的环节主要是让学生初步感受弧度制度量角的合理性.问题1?想一想，圆心角、半径、弧长之间有什么关系？能用一个数学式子表示三者之间的关系吗？
设计意图?教材上对弧度制没有过多的引入，当然可以从长度为例，用国际单位制“米”或我国古代“尺”来度量一个物体的长度，但这样引入，会让学生感觉弧度制是数学家们捏造出来的，有一种强行灌输的感觉，很难激起学生相应的学习兴趣和学习动机.
学生分组讨论，并选出代表交流.
生2：对于相等的圆心角，半径越大弧长越长.所以我们小组猜想，用l，α，r表示圆心角、弧长、半径，l与r成正比，三者之间可以用l=αr表示.
师：为什么比例系数是α呢？这样合理吗？
生3（与生2同组）：画图发现，r相等，l与α也成正比;l相等，r与α成反比，所以想到这样表示，并且是合理的.
生众：这还是猜出来的呀！
师：他们的猜想合情合理，这种猜想在数学中非常重要，当然数学中的猜想是要验证的.大家现在的疑问是，l与r之间的变化是否只与α有关？会不会还受其它的量影响？
生4：利用初中学过的弧长公式，l=nπr180，其中n是圆心角的角度数.所以
lr=nπ180，这个式子说明lr只与角大小有关，当角确定，lr为定值.
师：太棒了！通过大家的探究、猜想、验证，我们得到：可以用l与r来表示α，即α=lr.这就是本节课我们要学习的“弧度制”（引出课题）.
教学体会?在教学实践中，重应用、轻讲解的概念教学仍普遍存在，学生被动接受概念，缺乏概念的理解，不能体会其意义和价值.弧度制是数学中的一种规定，但在学生眼中数学是一门严谨、讲究逻辑的科学，为什么要这样规定？这样规定是否合理？教师没有一一回答这些疑问，而是通过学生自主探究、大胆猜想、小心验证，亲身体会这种度量角的规定的合情性、合理性，学生欣然接受新的度量角的方法.
2.2?建构数学 学会数学语言表达
问题2?用α=lr度量角，角的单位是什么？
设计意图?问题2设计是为了让学生理解弧长与半径的比值表示角，了解弧度制的优越在于：用实数表示角.
生5：因为l与r是长度，所以它们的比值是个实数，没有单位.
师：大家一开始对用实数来衡量角的大小可能不太适用，但通过上面探究我们知道这种方法在数学中是可行的、合理的.用数表示角大小，可以在数后面加上rad，这不是单位，只是提醒我们这个数在此表示角，等熟练了后，在不引起歧义的情况下通常省略.
问题3?任意角都可以用l与r的比值表示吗？
设计意图?问题3设计的目的是建立弧度制下的角与实数之间的一一对应关系.
生6：任意角是从旋转角度定义的，旋转量从弧长可以得出，符号用旋转方向规定的，所以任意角都可以用l与r的比值表示，正角、零角、负角分别用正数、零、负数表示.
师：任意一个角都可以用唯一实数表示，那么任意一个实数都可以表示角吗？唯一吗？
生7：可以而且是唯一的.
师：很好，如图3所示，实数和角之间是一一对应的关系.
问题4?由问题1的探究过程你可以得到弧度制与角度制下角的关系吗？
生8：设角的弧度数为α，角度为n°，因为lr=nπ180，所以α=nπ180，n=180π·α.
設计意图?第（1）问要求学生掌握换算的算理，第（2）问要求记忆特殊角的弧度数.通过探究，让学生理解角的两个度量系统相容性，掌握两种度量角之间的互换，利用熟悉的角度制感受用实数表示的角的大小.
问题6?根据角的弧度制定义，探究扇形的弧长、面积公式.
设计意图?弧度制的优越性不仅在于用实数表示角，还表现在一些公式因为弧度制的引入使得形式简化.问题4的设计让学生通过亲身经历简化过程，更容易记住扇形中的几个量之间的关系，体会到弧度制给研究问题带来的方便.
学生探讨、师生交流过程略.2.3?数学运用?学会数学分析
例1?把下列各角从弧度化为度：（1）3π5;（2）3.5.
例2?把下列各角从度化为弧度：（1）252°;（2）11°15′.
设计意图?弧度制与角度制换算是本节课的重点，通过例题巩固学生对弧度制角的认识.
例3?已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求扇形的面积.
变式?已知扇形的周长为8cm，当圆心角为多少时，扇形面积最大.
设计意图?概念学习后，学生自然会发问：概念有什么用？怎么用？通过例3让学生简单了解弧度制在实际中的应用，加强知识的训练，形成知识网络.
3?教学感悟
3.1?引导学生用数学的眼光观察世界，激发学习概念的兴趣
概念课的引入，若采用平铺直叙、机械灌输的方法，由于对概念的数学理解的缺失，导致学生感到概念枯燥乏味、抽象难懂.根据建构主义理论，建立在真实事件或真实问题上的概念生成，不仅能够激起学生的学习兴趣，而且对学生更具有感染力.本节课从扳手拧紧螺帽的生活场景引入，虽然这一情境对学生来说并不陌生，但一般不会留意到其中蕴含的圆心角、弧长、半径之间的关系.通过引导学生用数学眼光观察场景，提炼其中数学元素，在激起学生学习兴趣和好奇心同时，巧妙联系圆心角、弧长和半径，为新知搭建桥梁，促使学生顺理成章进入到了弧度制概念的探究.
3.2?引导学生用数学方法研究世界，亲身经历概念形成过程
第斯多慧说过，“不称职的教师强迫学生接受真知，优秀的教师则教学生主动寻求真知.”并强调：“教师先不要急于给学生讲解观点，应当启发学生自己去寻求答案，主动去掌握知识.”在概念的教学中，有些教师重概念应用、轻概念形成，学生对概念缺乏数学理解，不能体会其意义和价值.弧度制概念对学生而言，难点在于为什么可以这样规定？这样规定合乎数学道理吗？为了让学生突破这些困惑，教学中弧长与半径的比值为定值没有直接呈现给学生，而是引导学生自主发现、自主探究，通过学生与情境、学生与学生、教师与学生之间的多边活动，通过学生认真思考与反思，成为概念建构的真正主人.概念形成的教学过程，由于学生思维的高度参与，课堂充满了活力，学生对弧度制本质有了更深刻的理解，培养了学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，发展了学生严谨科学精神.
参考文献
[1]?史宁中. 注重“过程”中的教育[J]. 人民教育，2012（7）：32-37.
[2]?汤强，李王芳.落实核心素养应立意于内化[J].中国数学教育（高中版），2017（9）：36-328.
【摘?要】?数学概念是数学思维的起点，是建立数学理论的基础，概念教学在数学教学中举足轻重，不仅担负着学生知识结构和思维能力发展的责任，同时也是培养学生核心素养的一种重要途径.文中以必修4弧度制的概念教学设计为例，探讨概念教学中如何凸显概念的本质，培养学生用数学眼光观察世界、用数学语言表达世界的核心素养.
【关键词】?教学设计;概念教学;弧度制;核心素养
数学概念是数学思维的起点，是判断推理的基础，是定理、法则、性质的基本单位，是建立数学理论的基础，正确理解、掌握和运用数学概念是学好数学的前提.所以数学概念的教学具有十分重要的作用，不仅担负着学生知识结构和思维能力发展的责任，同时也是培养学生核心素养的一种重要途径.下面以最近笔者在一次市级公开课中，执教的“弧度制”教学为例，谈谈对概念教学的认识和感悟.
1?教材、学情分析
1.1?教材分析
本节所使用教材是苏教版《必修4》第1章第1.1.2节“弧度制”.第1.1节分两部分，前一部分是“任意角”，其中角的度量仍采用初中学过角度制.本节弧度制的基本思想是圆半径与圆周长在同一度量单位下，用对应的弧长与圆半径之比来度量角.与角度制度相比，弧度制度量角在数学中显示出很大的优越性：一是10进制取代了60进制，便于数与数（角与角）之间比较，提高解决问题的效率，并且新的度量体系与角度制可以进行对应换算，保证与原有数学系统相容;二是三角函数中的自变量是角，因为函数是数集到数集的对应，自变量取实数才合理，若继续采用角度制表示角，就会与函数的定义冲突;三是微积分中使用弧度制后，众多公式可以简化，从而推动了微积分的发展和普及.所以本节课的学习对本章以及今后的数学学习十分重要.
1.2?学情分析
授课班级是四星级高中普通理科班，学生数学基础扎实，具有探究热情.从知识层面，学生已学过角度制度量角，掌握射线旋转形成任意角等;从能力层面，学生具备一定的观察事物能力，积累了一些不同度量系统之间换算的活动经验，在一定程度上具备了抽象、概况的能力和语言转换能力，这些都为本节课顺利开展奠定了基础.
1.3?教学目标
教学目标 ?（1）理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度之间的换算，熟记特殊角的弧度数;
（2）了解角的集合与实数集之间可以建立其一一对应的关系;
（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题.
教学重点?弧度制与角度制换算和弧长公式.
教学难点?理解弧度制意义及角与实数的对应关系.
2?教学过程
2.1?情境引入 学会数学眼光观察
PPT展示，扳手拧紧螺帽的场景对大家都不陌生，你能从中看出扳手转动与螺帽转动之间有什么特点和联系？
设计意图?弧度制是一种新的描述角的方法，在弧度制教学中，有些老师采用数学规定说，没有强调它本身的数学含义和数学价值，强行让学生接受，导致学生对概念缺乏数学理解.另外，让弧度制以这种"冷酷"的面孔登场亮相，学生心里不情愿，学习缺少动力，自然效果低下.本节首先展示学生熟悉的生活场景，引导学生用数学眼光观察、思考，不仅可以提高学生学习兴趣，同时也为理解弧度制做好铺垫.
师：如图2，扳手的另一端从点A转动到点B，螺帽对应点A1转动到B1位置，从中你发现几何数量之间具有哪些相等和不相等的关系？
生1：点A转动的弧长与点A1转动的弧长不相等;两弧所在圆的半径也不相等，扳手转动的弧长大些，所在的圆半径也大些.
师：有相等的量吗？
生1：点A和点A1转动的角度相等.
师：很好.如果扳手变长，螺帽转动相同的角度，扳手转动的弧长怎么变化？
生众：弧长更大.
设计意图?螺帽转动相同角度，扳手越长越省力，即扳手的长度（半径）改变，扳手的另一端转动弧长也改变，这是学生较为熟悉的生活体验，但其中隱含的“弧长与半径比值为定值”的数学元素，对学生来说却是陌生的、抽象的，设计这样的环节主要是让学生初步感受弧度制度量角的合理性.问题1?想一想，圆心角、半径、弧长之间有什么关系？能用一个数学式子表示三者之间的关系吗？
设计意图?教材上对弧度制没有过多的引入，当然可以从长度为例，用国际单位制“米”或我国古代“尺”来度量一个物体的长度，但这样引入，会让学生感觉弧度制是数学家们捏造出来的，有一种强行灌输的感觉，很难激起学生相应的学习兴趣和学习动机.
学生分组讨论，并选出代表交流.
生2：对于相等的圆心角，半径越大弧长越长.所以我们小组猜想，用l，α，r表示圆心角、弧长、半径，l与r成正比，三者之间可以用l=αr表示.
师：为什么比例系数是α呢？这样合理吗？
生3（与生2同组）：画图发现，r相等，l与α也成正比;l相等，r与α成反比，所以想到这样表示，并且是合理的.
生众：这还是猜出来的呀！
师：他们的猜想合情合理，这种猜想在数学中非常重要，当然数学中的猜想是要验证的.大家现在的疑问是，l与r之间的变化是否只与α有关？会不会还受其它的量影响？
生4：利用初中学过的弧长公式，l=nπr180，其中n是圆心角的角度数.所以
lr=nπ180，这个式子说明lr只与角大小有关，当角确定，lr为定值.
师：太棒了！通过大家的探究、猜想、验证，我们得到：可以用l与r来表示α，即α=lr.这就是本节课我们要学习的“弧度制”（引出课题）.
教学体会?在教学实践中，重应用、轻讲解的概念教学仍普遍存在，学生被动接受概念，缺乏概念的理解，不能体会其意义和价值.弧度制是数学中的一种规定，但在学生眼中数学是一门严谨、讲究逻辑的科学，为什么要这样规定？这样规定是否合理？教师没有一一回答这些疑问，而是通过学生自主探究、大胆猜想、小心验证，亲身体会这种度量角的规定的合情性、合理性，学生欣然接受新的度量角的方法.
2.2?建构数学 学会数学语言表达
问题2?用α=lr度量角，角的单位是什么？
设计意图?问题2设计是为了让学生理解弧长与半径的比值表示角，了解弧度制的优越在于：用实数表示角.
生5：因为l与r是长度，所以它们的比值是个实数，没有单位.
师：大家一开始对用实数来衡量角的大小可能不太适用，但通过上面探究我们知道这种方法在数学中是可行的、合理的.用数表示角大小，可以在数后面加上rad，这不是单位，只是提醒我们这个数在此表示角，等熟练了后，在不引起歧义的情况下通常省略.
问题3?任意角都可以用l与r的比值表示吗？
设计意图?问题3设计的目的是建立弧度制下的角与实数之间的一一对应关系.
生6：任意角是从旋转角度定义的，旋转量从弧长可以得出，符号用旋转方向规定的，所以任意角都可以用l与r的比值表示，正角、零角、负角分别用正数、零、负数表示.
师：任意一个角都可以用唯一实数表示，那么任意一个实数都可以表示角吗？唯一吗？
生7：可以而且是唯一的.
师：很好，如图3所示，实数和角之间是一一对应的关系.
问题4?由问题1的探究过程你可以得到弧度制与角度制下角的关系吗？
生8：设角的弧度数为α，角度为n°，因为lr=nπ180，所以α=nπ180，n=180π·α.
設计意图?第（1）问要求学生掌握换算的算理，第（2）问要求记忆特殊角的弧度数.通过探究，让学生理解角的两个度量系统相容性，掌握两种度量角之间的互换，利用熟悉的角度制感受用实数表示的角的大小.
问题6?根据角的弧度制定义，探究扇形的弧长、面积公式.
设计意图?弧度制的优越性不仅在于用实数表示角，还表现在一些公式因为弧度制的引入使得形式简化.问题4的设计让学生通过亲身经历简化过程，更容易记住扇形中的几个量之间的关系，体会到弧度制给研究问题带来的方便.
学生探讨、师生交流过程略.2.3?数学运用?学会数学分析
例1?把下列各角从弧度化为度：（1）3π5;（2）3.5.
例2?把下列各角从度化为弧度：（1）252°;（2）11°15′.
设计意图?弧度制与角度制换算是本节课的重点，通过例题巩固学生对弧度制角的认识.
例3?已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求扇形的面积.
变式?已知扇形的周长为8cm，当圆心角为多少时，扇形面积最大.
设计意图?概念学习后，学生自然会发问：概念有什么用？怎么用？通过例3让学生简单了解弧度制在实际中的应用，加强知识的训练，形成知识网络.
3?教学感悟
3.1?引导学生用数学的眼光观察世界，激发学习概念的兴趣
概念课的引入，若采用平铺直叙、机械灌输的方法，由于对概念的数学理解的缺失，导致学生感到概念枯燥乏味、抽象难懂.根据建构主义理论，建立在真实事件或真实问题上的概念生成，不仅能够激起学生的学习兴趣，而且对学生更具有感染力.本节课从扳手拧紧螺帽的生活场景引入，虽然这一情境对学生来说并不陌生，但一般不会留意到其中蕴含的圆心角、弧长、半径之间的关系.通过引导学生用数学眼光观察场景，提炼其中数学元素，在激起学生学习兴趣和好奇心同时，巧妙联系圆心角、弧长和半径，为新知搭建桥梁，促使学生顺理成章进入到了弧度制概念的探究.
3.2?引导学生用数学方法研究世界，亲身经历概念形成过程
第斯多慧说过，“不称职的教师强迫学生接受真知，优秀的教师则教学生主动寻求真知.”并强调：“教师先不要急于给学生讲解观点，应当启发学生自己去寻求答案，主动去掌握知识.”在概念的教学中，有些教师重概念应用、轻概念形成，学生对概念缺乏数学理解，不能体会其意义和价值.弧度制概念对学生而言，难点在于为什么可以这样规定？这样规定合乎数学道理吗？为了让学生突破这些困惑，教学中弧长与半径的比值为定值没有直接呈现给学生，而是引导学生自主发现、自主探究，通过学生与情境、学生与学生、教师与学生之间的多边活动，通过学生认真思考与反思，成为概念建构的真正主人.概念形成的教学过程，由于学生思维的高度参与，课堂充满了活力，学生对弧度制本质有了更深刻的理解，培养了学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，发展了学生严谨科学精神.
参考文献
[1]?史宁中. 注重“过程”中的教育[J]. 人民教育，2012（7）：32-37.
[2]?汤强，李王芳.落实核心素养应立意于内化[J].中国数学教育（高中版），2017（9）：36-328.
