巧求匀质圆弧的质心

    杨纯斌 钱琬燕

    力学系统的质心在求解该系统的运动规律的过程中起着重要作用.对于质点系统，我们可以得到质心的运动方程，质心的动能定理，绕过质心的轴的转动定理等规律.求系统质心的常见方法有：（1）对于任意形状和任意质量分布的系统，根据质心定义，直接求和或者积分求质心;（2）对于质量均匀分布的二维平板或者二维曲线，利用巴普斯定理求质心等.前者是万能的，但是一般情况下计算比较复杂，特别是需要用到积分等数学工具.后者只能有效地用于形状规则的二维平板或者曲线，且一般需要了解立体几何的知识或者二维曲面的面积等知识.这里，我们提出一种求解均匀圆弧的质心的精巧方法.此方法只需要利用一些简单的三角函数的知识.

    研究一段匀质圆弧，其两端点对圆心的张角为α，圆弧的半径为R，如图所示.如果根据质心的定义求其质心，我们需要将圆弧分成无穷多个极小的部分，然后对小部分的坐标求和.这样，需要利用三角函数的积分等知识.如果利用巴普斯定理求该圆弧的质心，我们可以将圆弧绕通过圆弧的圆心和一个端点的半径旋转一周，利用立体角计算圆弧旋转后得到的球冠的面积，进一步根据巴普斯定理得到质心到圆心的距离.这种解法需要立体角等概念和计算方法.下面讨论的解法，只采用初等数学里三角函数的知识，求匀质圆弧的質心到圆心的距离.