悬臂梁挠曲线微分方程的误差分析

    郭家超

    摘 要：本文通过MATLAB求解除了挠曲线近似微分方程与精确微分方程，以悬臂梁的16号工字钢为例，在钢的强度范围内，施加最大均匀分布载荷，使钢产生最大变形，通过数据和图像来说明近似微分方程与精确微分方程之间误差大小，并对相对误差进行了分析比较，证明了微小变形下，近似微分方程与精确微分方程所求出的梁的挠度和转角的误差可以忽略不计。

    关键词：微分方程;MATLAB;挠度;转角;相对误差

    0 前言

    工程中处理梁的变形问题一般采用弯曲变形的挠曲线微分方程，由于方程的非线性，不便直接计算。考虑到一般情况下梁的挠度远小于跨度，转角非常小，忽略微分方程中数量级较小的项，得到挠曲线近似微分方程。对于大多数工程实际情况，使用挠曲线近似微分方程可以得到比较精确地解，但是对于通常所说的大挠度情况，这种处理方法就会引起很大的误差。

    为了分析大挠度情况下近似微分方程与精确微分方程所引起挠度和转角的误差，我们要建立在两种不同方程下，所求解的挠度与转角的误差在大挠度的情况下究竟有多大？其精度是否能满足工程需要？设计人员对此类问题较为关注。因此，对此问题的研究，就显得很有必要。

    本文利用MATLAB求解了16号工字钢在满足强度条件下受载荷弯曲的近似微分方程和精确微分方程的挠度与转角方程曲线，对其精确微分方程与近似微分方程之间的误差进行了比较，并做出了相对误差曲线来进行分析讨论。最终得到在满足强度条件下，对精度要求不是很高的工程建设中，精确微分方程与近似微分方程所求出的挠度转角的误差完全可以忽略不计，从而减少工程在理论分析时的计算量，减少理论分析时间，加快工程建设速度，缩短工期。

    1 公式推导

    已知梁弯曲的挠度w和转角θ都是界面位置x的函数，设梁的挠曲线w=w（x），挠曲线微分方程为：

    （1）

    在求解挠曲线微分方程的时候，为了求解方便，在小变形的情况下，可将方程式线性化。因为在工程实际问题中，梁的挠度一般都小于跨度，因此挠曲线w=w（x）是一条非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是公式（1）可以写成：

    由于挠曲线极其平坦，很小，所以在式（1）中与1相比可以忽略，于是有：

    这就是挠曲线的近似微分方程。

    然而在工程实际中，总有不能忽略转角θ的，所以我们需要使用挠曲线的精确微分方程进行实际问题进行分析，挠曲线的精确微分方程已经给出，为：

    对其左边进行进一步化简：

    这就是转角θ的精确微分方程。

    2 误差分析

    2.1 模型假设

    在这里，我们以悬臂梁、简支梁、外伸梁这三种基本梁上探讨原微分方程与近似微分方程的误差关系。梁均为No.16工字钢，材料为Q235钢，梁的最大正应力为400MPa，E=200 GPa。

    2.2 对外伸梁的误差分析

    考虑到梁的刚度问题，我们以梁所能承受的最大载荷作进行外力施加，梁的受力情况如图所示（q=7062.5N/m）。

    进行求解，考虑到它是一个常微分方程，很难求出其解析解，我们在这使用matlab的ode15s方程对其进行逼近求解，以图表示，如图2：

    现通过matlab来计算挠度与转角的近似解和精确解之间的误差，并通过图像来说明，如图3：

    图3 代表的是在q的作用下悬臂梁的近似微分方程与精确微分方程所求解出来的挠度方程，从图像中看两条挠度曲线已经完全重合了，可见近似微分方程与精确微分方程在均匀载荷q的作用下的挠度差距不大，可以通过近似微分方程更快更简洁的求出挠度方程。

    图4 代表的是在q的作用下懸臂梁的近似微分方程与精确微分方程所求解出来的转角方程，从图像中看两条转角方程已经完全重合了，可见近似微分方程与精确微分方程在均匀载荷q的作用下的转角差距不大，可以通过近似微分方程更快更简洁的求出挠度方程。

    为了更加明确的反映出近似微分方程与精确微分方程计算的误差大小，这里我们对精确微分方程与近似微分方程所求出的挠度和转角的相对误差进行分析，如图5所示。

    从图5 a中可以看出转角的相对误差曲线成“L”形状，在距离固定端比较近的地方挠度的相对误差降低的非常快，且我们可以推论在无限接近固定端的地方相对误差趋近与正无穷大，所以它是一条无限趋近于y轴的渐近线;而在逐渐远离固定端时，相对误差也形成一条渐近线，相对误差减小速度很慢趋于0，且相对误差也趋于0。

    从图5 b中可以看出转角的相对误差曲线成“S”形状，在距离固定端1.5米处转角的相对误差增长最快，而在固定端与距离固定端3～4米处增长速度缓慢，趋于0，且相对误差在自由端处最大。

    3 结论

    通过上述对16号工字钢的精确微分方程与近似微分方程之间误差的分析对比我们可以得到结论，在满足强度要求这一条件下，精确微分方程与近似微分方程的挠度、转角的误差可以忽略不计，使用近似微分方程即可求解。所以在进行大型工程地时候可以直接通过近似微分方程直接求解梁的挠度和转角，这样既可以保证精度又可以减少工程计算量，缩短工期。

    参考文献：

    [1]吕晓薇.关于挠曲线及转角的微分方程[J].河南科技，2013（02）.

    [2]邵蓓珠.剪力对梁变形影响的分析[J].南京化工学院学报， 1988（03）.

    [3]李达夫.材料力学中有关弯曲变形问题的探讨[J].广西大学学报（自然科学版），1997（01）.

    [4]赵则昂.悬臂梁大挠度变形的近似估计法[J].力学与实践， 2014（03）.

    [5]何斌.直接定义法推导梁的挠曲线微分方程[J].力学与实践， 2009（04）.