认知负荷理论下的“平面向量基本定理”教学设计
冯玉琴
【摘要】认知负荷理论为研究教学设计提供了一种新的理论框架.以平面向量基本定理为例，基于认知结构原理，进行课堂教学目标设计;基于交互作用原理，提出提前训练——增加相关认知负荷、部分整体——降低内在认知负荷、变异任务——增加相关认知负荷三个环节设计教学过程.
【关键词】认知负荷理论;平面向量基本定理;认知结构;交互作用;课堂教学目标;教学过程设计
向量是近代数学中重要的和基础的概念之一[1]，而平面向量基本定理又是向量知识模块中的核心内容.课本中关于平面向量基本定理的表述充分彰显了数学的严谨性和逻辑性，但冗长的文字、抽象的公式、陌生的数学符号、邻近的交互概念增加了学生学习的认知负荷.研究表明，在平面向量基本定理概念形成的过程中，教师通常以强化定理的应用技巧替代对定理的本质理解[2]，导致学生的主体参与感被剥夺.近年来，认知负荷理论特别关注认知结构[3]，强调工作记忆原理[3]，并从交互性角度[4]重新定义认知负荷概念.这里应用认知负荷理论对平面向量基本定理课堂教学目标及教学过程进行设计.
1 认知负荷理论基本观点
认知负荷理论是基于人类认知结构与外界信息的交互作用而提出的一种有效管理教学设计的理论[5].该理论认为，工作记忆与长时记忆之间是一个从具体到抽象的连续体.起初，由于持续时间有限（没有经过排练组合的工作记忆会在30秒内丢失）和处理容量有限（工作记忆一次只能处理4±1个元素）[3]，工作记忆在初始转态中只能获取最简单的信息;随后，伴随认知结构中的同化和顺应，工作记忆开启模块化程序（通过释放单个信息元素所需要的储存空间，编码形成信息单元）和自动化程序（在实践过程中投入大量的认知努力后自动发展到需要对其操作进行最少思考的程度）改善和绕过限制[4];最后，工作记忆以图式（可以用来解释人类为什么能很快地解决问题[4]）的形式融入到长时记忆中去.
认知负荷理论关注高元素交互性的学习材料[3]，将元素交互性作为定义性特征融入认知负荷的概念界定中，强调教学设计必须有效管理三种认知负荷：内在认知负荷、外在认知负荷以及相关认知负荷.内在认知负荷是指工作记忆对认知任务本身所包含的信息元素的数量及其交互性进行认知加工活动所产生的负荷[3];外在认知负荷被认为是由对当前任务不重要的元素交互作用引起的负荷[3];相关认知负荷由用于处理有助于学习的元素交互性的工作记忆资源组成[3].从教学设计的整体角度来看，总的认知负荷是至少两个完全不同因素的混合体.这里将有效管理认知负荷贯穿于平面向量基本定理课堂教学目标及教学过程设计之中.
2 “平面向量基本定理”课堂教学目标设计及目标解析
2.1课堂教学目标
1.理解平面向量基本定理中关键词的含义;
2.经历平面向量基本定理的形成过程，感受知识建构过程中的改造与重组;
3.感受数形结合思想.
2.2目标解析
认知负荷理论认为工作记忆是进入长时记忆必不可少的环节.虽然工作记忆在初始状态会受到持续时间和处理容量的限制，但是这种限制是必要的，因为在处理新元素时，完备的知识是不可用的，在解决问题的过程中，有限的元素不会导致组合爆炸[3]，所以工作记忆的初始状态是无法替代的.与工作记忆的初始状态相同，课堂教学目标是微观目标，虽然受到课堂时间和教学内容的限制，但课堂教学目标的预设是必要而且合理的.应在数学课程目标的指导下，综合考虑单元教学目标、当前教学内容的特点，制定出“具体的”、“可操作”、“可检查的”的课堂教学目标[6].这里致力于数学课程目标（数学课程目标是宏观目标，包含着多方面的、更为具体的目标），设定让学生感受数形结合思想为数学课堂教学目标[7];致力于单元教学目标（单元教学目标属于中观目标，需要付出大量的时间和精力），设定经历平面向量基本定理的形成过程，感受知识建构过程中的改造与重组的数学课堂教学目标[8][9][10].致力于当前教学内容的特点（平面向量基本定理用“基本”命名[11]，主要因为：两个不共线向量，能够构造出平面内的所有向量;构造平面内的任意向量，至少需要两个不共线向量;平面内的任意向量与有序实数对一一对应，实现了数与形的统一[12]）设定理解平面向量基本定理中关键词的含义为课堂教学目标.
3 “平面向量基本定理”教学过程设计
3.1提前训练——增加相关认知负荷
复习向量加法的三角形法则（图1）和平行四边形法则（图2），刻画平面向量基本定理的几何模型（图3）;比较向量加法的平行四边形法则与基底异同，揭示不共线向量基底的概念.
设计意图：基底是“二维向量”——平面向量的代表，在平面向量基本定理中发挥着基础性作用，因此对其进行解读是必不可少的教学环节.教材中，基底最早以几何表征的形式出现在向量加法的平行四边形法则中，而后在平面向量基本定理中以核心“符号”的形式亮相，因而学生的认知结构中没有基底的概念，直接解读基底不免过于生硬.通过复习向量加法的三角形法则（以两个向量首尾相连为基本法则）和向量加法的平行四边形法则（以两个向量起点在同一个点为运算基础），有助于帮助学生发现向量加法的平行四边形法则为平面向量基本定理的基底搭建几何模型.向量加法的平行四边形法则是平面向量基本定理基底的雏形，但两者又有区别，向量加法的平行四边形法则以共线向量自由移动为基础，而平面向量基本定理的基底则以不共线向量为前提，二者之间的差异便是新知识构建的起点和基本定理认识的起步.
通过复习已有相关知识、辨析新旧交互知识间接引入基底，这种引入方式有助于增加相关认知负荷.相关认知负荷是由用于处理有助于学习的元素交互性的工作记忆资源组成，它是产生有意义学习的认知活动的使然，教学设计应该适当增加它.认知负荷理论提倡采用提前训练[13]的方法（通过适当增加内在认知负荷，从而适当增加工作记忆资源的方法，增加了与之相关的认知负荷），即在原有相关知识的基础上，对即将进行的学习材料进行辨析（联系和区分），從而帮助实现在新旧知识之间建立实质性的非人为的联系[13].
3.2部分整体——降低内在认知负荷
分割平面向量基本定理，剖析关键词“有且仅有”，运用几何刻画（图4）和代数证明（图5）两种方法解读实数λ1、λ2的存在性和唯一性.
3.3变异任务——增加相关认知负荷
探究平行四边形内（图6）任意给定的向量a，可以对应多少组不同的基底，深刻解读基底[WTHX]e[WTBX]1、[WTHX]e[WTBX]2的不唯一性;刻画直角三角形中（图7）基底的建立过程，解读基底的恰当选取原则.
设计意图：对于平面向量基本定理的内容，往往容易忽略对同一平面可以有不同的基底的解读，即基底[WTHX]e[WTBX]1、[WTHX]e[WTBX]2不唯一性的解读.从几何意义看，就是给定平行四边形的一条对角线，可以做无数个与之对应的平行四边形[8]，这个过程调动了学生认知中关于平行四边形不稳定性的知识;既然基底的选择不唯一[8]，那么该如何恰当选取基底进行运算呢？平行四边形的不稳定性质让我们自然而然地联想到三角形稳定性的知识.选取一组相互垂直的基底，通过建立平面直角坐标系的形式，建立与x轴、y轴方向相同的单位向量[WTHX]i ，j[WTBX]作为基底，让向量的分解在一个稳定的直角三角形中进行.为了方便研究，引出了平面直角坐标系以及单位向量的概念，从而为进入到下一节内容“平面向量的正交分解及坐标表示”的学习做铺垫.通过有意义的、实质性的认知操作，简化平面向量基本定理的理解难度.认知负荷理论的形式效应告诉我们：工作记忆在某些形式下可以拓展[15]，为了更深刻地理解相关知识，有时候呈现一些“冗余”信息，反而帮助降低内在认知负荷.认知负荷理论提倡任务变异设计，即在设计学习任务时，变化任务本身（表面内容的变异与深层结构的变异）和呈现方式，一方面促使学习者对相似或相关特征与无关特征进行区分，从而利于问题图式的构建;另一方面，为学习者提供辨认相似特征的机会，扩展样例试用范围，利于图式的发展和迁移[16]，从而适度增加相关认知负荷.
众所周知，平面向量基本定理是有关向量分解的一个重要定理，蕴含着数学的简洁美和变换美[7].在教学中，如何让学生理解平面向量基本定理，并且对平面向量基本定理的内容产生兴趣，这些问题都值得我们深思.本节课的教学设计，一方面以章建跃教学目标体系为指导，从优化认知结构的角度设计了课堂教学目标;另一方面，为了有效管理认知负荷，提出温故知新——增加相关认知负荷、部分整体——降低内在认知负荷、变异任务——增加相关认知负荷三个环节设计教学过程.以上教学设计仍有很多不足之处，如未从降低外在认知负荷的角度整合教学过程，未从整体性角度优化三种认知负荷.此外，关于平面向量基本定理的教学，还可以与为什么两条相交直线确定一个平面、两平面平行的判定以及空间向量基本定理等相关知识建立关联，这里尚未涉及，因而需要进一步研究改进.
参考文献
[1]陆正海.基于课程理念的平面向量教学[J].数学通报， 2012，51 （8）：31-34.
[2]金从晓.课例：平面向量基本定理[J].中学数学教学参考， 2015，5：34-35.
[3]FredPaas，Tamara van Gog，John Sweller.Cognitive Load Theory： New Conceptualizations， Specifications， and Integrated Research Perspectives.Learning and Instruction.2010，22（2）：115-121.
[4]Aygil Takir 1，Meral Aksu.The Effect of an Instruction Designed by Cognitive Load Theory Principles on 7th Grade Students Achievement in Algebra Topics and Cognitive Load. Creative Education.2012，3（2）：232-240.
[5]李爽，王光明.认知负荷理论指导下的勾股定理教学课件设计[J].數学通报， 2017，56（1）：9-16.
[6]章建跃.数学教学目标再思考[J].中国数学教育， 2012，9：2-7.
[7]王海青.“平面向量基本定理的重点及其建议”[J].数学通报， 2013，52（7）：30-32.
[8]黎栋材，王尚志.平面向量基本定理教学设计[J].数学通报， 2015，54（1）：29-37.
[9]李自成.关于“平面向量基本定理的说课”[J].数学通报， 2006，45（4）：33-34.
[10]张硕，马欢欢.课标教材平面解析几何教学情况的调查研究计[J].数学教育学报， 2014，23（4）：96-100.
[11]连四清，伍春兰.认知负荷理论与数学教学样例设计[J].数学通报， 2005，44（11）：22-24.
[12]高峥，翁凯庆.一种面向差错控制的认知观测系统模型——平面向量概念理解差错模式实证研究[J].数学教育学报， 2006，15（2）：53-56.
[13]陈燕，罗增儒，赵建斌.从认知负荷理论看数学错误[J].数学教育学报， 2009，18（4）：19-22.
[14]佘岩，陈鸥昊，连四清.学生知识经验对分离元素策略的影响[J].数学教育学报， 2017，26（6）：56-59.
[15]唐剑岚，周莹.认知负荷理论及其研究进展[J].广西师范大学学报：哲学社会科学版， 2008，44（2）：75-83.
[16]赖日生，曾晓青，陈美容.从认知负荷理论看教学设计[J].江西教育学院学报（社会科学版），2005，26（1）：52
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【摘要】认知负荷理论为研究教学设计提供了一种新的理论框架.以平面向量基本定理为例，基于认知结构原理，进行课堂教学目标设计;基于交互作用原理，提出提前训练——增加相关认知负荷、部分整体——降低内在认知负荷、变异任务——增加相关认知负荷三个环节设计教学过程.
【关键词】认知负荷理论;平面向量基本定理;认知结构;交互作用;课堂教学目标;教学过程设计
向量是近代数学中重要的和基础的概念之一[1]，而平面向量基本定理又是向量知识模块中的核心内容.课本中关于平面向量基本定理的表述充分彰显了数学的严谨性和逻辑性，但冗长的文字、抽象的公式、陌生的数学符号、邻近的交互概念增加了学生学习的认知负荷.研究表明，在平面向量基本定理概念形成的过程中，教师通常以强化定理的应用技巧替代对定理的本质理解[2]，导致学生的主体参与感被剥夺.近年来，认知负荷理论特别关注认知结构[3]，强调工作记忆原理[3]，并从交互性角度[4]重新定义认知负荷概念.这里应用认知负荷理论对平面向量基本定理课堂教学目标及教学过程进行设计.
1 认知负荷理论基本观点
认知负荷理论是基于人类认知结构与外界信息的交互作用而提出的一种有效管理教学设计的理论[5].该理论认为，工作记忆与长时记忆之间是一个从具体到抽象的连续体.起初，由于持续时间有限（没有经过排练组合的工作记忆会在30秒内丢失）和处理容量有限（工作记忆一次只能处理4±1个元素）[3]，工作记忆在初始转态中只能获取最简单的信息;随后，伴随认知结构中的同化和顺应，工作记忆开启模块化程序（通过释放单个信息元素所需要的储存空间，编码形成信息单元）和自动化程序（在实践过程中投入大量的认知努力后自动发展到需要对其操作进行最少思考的程度）改善和绕过限制[4];最后，工作记忆以图式（可以用来解释人类为什么能很快地解决问题[4]）的形式融入到长时记忆中去.
认知负荷理论关注高元素交互性的学习材料[3]，将元素交互性作为定义性特征融入认知负荷的概念界定中，强调教学设计必须有效管理三种认知负荷：内在认知负荷、外在认知负荷以及相关认知负荷.内在认知负荷是指工作记忆对认知任务本身所包含的信息元素的数量及其交互性进行认知加工活动所产生的负荷[3];外在认知负荷被认为是由对当前任务不重要的元素交互作用引起的负荷[3];相关认知负荷由用于处理有助于学习的元素交互性的工作记忆资源组成[3].从教学设计的整体角度来看，总的认知负荷是至少两个完全不同因素的混合体.这里将有效管理认知负荷贯穿于平面向量基本定理课堂教学目标及教学过程设计之中.
2 “平面向量基本定理”课堂教学目标设计及目标解析
2.1课堂教学目标
1.理解平面向量基本定理中关键词的含义;
2.经历平面向量基本定理的形成过程，感受知识建构过程中的改造与重组;
3.感受数形结合思想.
2.2目标解析
认知负荷理论认为工作记忆是进入长时记忆必不可少的环节.虽然工作记忆在初始状态会受到持续时间和处理容量的限制，但是这种限制是必要的，因为在处理新元素时，完备的知识是不可用的，在解决问题的过程中，有限的元素不会导致组合爆炸[3]，所以工作记忆的初始状态是无法替代的.与工作记忆的初始状态相同，课堂教学目标是微观目标，虽然受到课堂时间和教学内容的限制，但课堂教学目标的预设是必要而且合理的.应在数学课程目标的指导下，综合考虑单元教学目标、当前教学内容的特点，制定出“具体的”、“可操作”、“可检查的”的课堂教学目标[6].这里致力于数学课程目标（数学课程目标是宏观目标，包含着多方面的、更为具体的目标），设定让学生感受数形结合思想为数学课堂教学目标[7];致力于单元教学目标（单元教学目标属于中观目标，需要付出大量的时间和精力），设定经历平面向量基本定理的形成过程，感受知识建构过程中的改造与重组的数学课堂教学目标[8][9][10].致力于当前教学内容的特点（平面向量基本定理用“基本”命名[11]，主要因为：两个不共线向量，能够构造出平面内的所有向量;构造平面内的任意向量，至少需要两个不共线向量;平面内的任意向量与有序实数对一一对应，实现了数与形的统一[12]）设定理解平面向量基本定理中关键词的含义为课堂教学目标.
3 “平面向量基本定理”教学过程设计
3.1提前训练——增加相关认知负荷
复习向量加法的三角形法则（图1）和平行四边形法则（图2），刻画平面向量基本定理的几何模型（图3）;比较向量加法的平行四边形法则与基底异同，揭示不共线向量基底的概念.
设计意图：基底是“二维向量”——平面向量的代表，在平面向量基本定理中发挥着基础性作用，因此对其进行解读是必不可少的教学环节.教材中，基底最早以几何表征的形式出现在向量加法的平行四边形法则中，而后在平面向量基本定理中以核心“符号”的形式亮相，因而学生的认知结构中没有基底的概念，直接解读基底不免过于生硬.通过复习向量加法的三角形法则（以两个向量首尾相连为基本法则）和向量加法的平行四边形法则（以两个向量起点在同一个点为运算基础），有助于帮助学生发现向量加法的平行四边形法则为平面向量基本定理的基底搭建几何模型.向量加法的平行四边形法则是平面向量基本定理基底的雏形，但两者又有区别，向量加法的平行四边形法则以共线向量自由移动为基础，而平面向量基本定理的基底则以不共线向量为前提，二者之间的差异便是新知识构建的起点和基本定理认识的起步.
通过复习已有相关知识、辨析新旧交互知识间接引入基底，这种引入方式有助于增加相关认知负荷.相关认知负荷是由用于处理有助于学习的元素交互性的工作记忆资源组成，它是产生有意义学习的认知活动的使然，教学设计应该适当增加它.认知负荷理论提倡采用提前训练[13]的方法（通过适当增加内在认知负荷，从而适当增加工作记忆资源的方法，增加了与之相关的认知负荷），即在原有相关知识的基础上，对即将进行的学习材料进行辨析（联系和区分），從而帮助实现在新旧知识之间建立实质性的非人为的联系[13].
3.2部分整体——降低内在认知负荷
分割平面向量基本定理，剖析关键词“有且仅有”，运用几何刻画（图4）和代数证明（图5）两种方法解读实数λ1、λ2的存在性和唯一性.
3.3变异任务——增加相关认知负荷
探究平行四边形内（图6）任意给定的向量a，可以对应多少组不同的基底，深刻解读基底[WTHX]e[WTBX]1、[WTHX]e[WTBX]2的不唯一性;刻画直角三角形中（图7）基底的建立过程，解读基底的恰当选取原则.
设计意图：对于平面向量基本定理的内容，往往容易忽略对同一平面可以有不同的基底的解读，即基底[WTHX]e[WTBX]1、[WTHX]e[WTBX]2不唯一性的解读.从几何意义看，就是给定平行四边形的一条对角线，可以做无数个与之对应的平行四边形[8]，这个过程调动了学生认知中关于平行四边形不稳定性的知识;既然基底的选择不唯一[8]，那么该如何恰当选取基底进行运算呢？平行四边形的不稳定性质让我们自然而然地联想到三角形稳定性的知识.选取一组相互垂直的基底，通过建立平面直角坐标系的形式，建立与x轴、y轴方向相同的单位向量[WTHX]i ，j[WTBX]作为基底，让向量的分解在一个稳定的直角三角形中进行.为了方便研究，引出了平面直角坐标系以及单位向量的概念，从而为进入到下一节内容“平面向量的正交分解及坐标表示”的学习做铺垫.通过有意义的、实质性的认知操作，简化平面向量基本定理的理解难度.认知负荷理论的形式效应告诉我们：工作记忆在某些形式下可以拓展[15]，为了更深刻地理解相关知识，有时候呈现一些“冗余”信息，反而帮助降低内在认知负荷.认知负荷理论提倡任务变异设计，即在设计学习任务时，变化任务本身（表面内容的变异与深层结构的变异）和呈现方式，一方面促使学习者对相似或相关特征与无关特征进行区分，从而利于问题图式的构建;另一方面，为学习者提供辨认相似特征的机会，扩展样例试用范围，利于图式的发展和迁移[16]，从而适度增加相关认知负荷.
众所周知，平面向量基本定理是有关向量分解的一个重要定理，蕴含着数学的简洁美和变换美[7].在教学中，如何让学生理解平面向量基本定理，并且对平面向量基本定理的内容产生兴趣，这些问题都值得我们深思.本节课的教学设计，一方面以章建跃教学目标体系为指导，从优化认知结构的角度设计了课堂教学目标;另一方面，为了有效管理认知负荷，提出温故知新——增加相关认知负荷、部分整体——降低内在认知负荷、变异任务——增加相关认知负荷三个环节设计教学过程.以上教学设计仍有很多不足之处，如未从降低外在认知负荷的角度整合教学过程，未从整体性角度优化三种认知负荷.此外，关于平面向量基本定理的教学，还可以与为什么两条相交直线确定一个平面、两平面平行的判定以及空间向量基本定理等相关知识建立关联，这里尚未涉及，因而需要进一步研究改进.
参考文献
[1]陆正海.基于课程理念的平面向量教学[J].数学通报， 2012，51 （8）：31-34.
[2]金从晓.课例：平面向量基本定理[J].中学数学教学参考， 2015，5：34-35.
[3]FredPaas，Tamara van Gog，John Sweller.Cognitive Load Theory： New Conceptualizations， Specifications， and Integrated Research Perspectives.Learning and Instruction.2010，22（2）：115-121.
[4]Aygil Takir 1，Meral Aksu.The Effect of an Instruction Designed by Cognitive Load Theory Principles on 7th Grade Students Achievement in Algebra Topics and Cognitive Load. Creative Education.2012，3（2）：232-240.
[5]李爽，王光明.认知负荷理论指导下的勾股定理教学课件设计[J].數学通报， 2017，56（1）：9-16.
[6]章建跃.数学教学目标再思考[J].中国数学教育， 2012，9：2-7.
[7]王海青.“平面向量基本定理的重点及其建议”[J].数学通报， 2013，52（7）：30-32.
[8]黎栋材，王尚志.平面向量基本定理教学设计[J].数学通报， 2015，54（1）：29-37.
[9]李自成.关于“平面向量基本定理的说课”[J].数学通报， 2006，45（4）：33-34.
[10]张硕，马欢欢.课标教材平面解析几何教学情况的调查研究计[J].数学教育学报， 2014，23（4）：96-100.
[11]连四清，伍春兰.认知负荷理论与数学教学样例设计[J].数学通报， 2005，44（11）：22-24.
[12]高峥，翁凯庆.一种面向差错控制的认知观测系统模型——平面向量概念理解差错模式实证研究[J].数学教育学报， 2006，15（2）：53-56.
[13]陈燕，罗增儒，赵建斌.从认知负荷理论看数学错误[J].数学教育学报， 2009，18（4）：19-22.
[14]佘岩，陈鸥昊，连四清.学生知识经验对分离元素策略的影响[J].数学教育学报， 2017，26（6）：56-59.
[15]唐剑岚，周莹.认知负荷理论及其研究进展[J].广西师范大学学报：哲学社会科学版， 2008，44（2）：75-83.
[16]赖日生，曾晓青，陈美容.从认知负荷理论看教学设计[J].江西教育学院学报（社会科学版），2005，26（1）：52
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