任意边界条件非局部弹性杆纵振特性分析

    杜敬涛　许得水　吕朋　刘志刚

    

    

    

    摘要：基于非局部弹性理论，研究了弹性边界约束条件下杆结构纵向振动特性。在非局部杆两端引入纵向约束弹簧，通过设置相应弹簧刚度系数，可以得任意经典边界及其组合情况下非局部杆结构纵振问题。非局部弹性杆纵振位移采用一种改进傅立叶级数进行展开，在标准傅立叶级数基础上构造附加函数，以使纵振位移在整个求解域内足够光滑。通过联合求解非局部纵振微分方程与弹性边界约束条件获得系统特征矩阵。通过与现有文献中不同边界条件非局部弹性杆纵振模态数据进行对比，充分验证了所构造模型的正确性。在此基础上讨论了边界约束刚度系数和非局部特征参数对非局部弹性杆纵振特性的影响。与现有方法相比，该方法能够统一考虑任意边界条件，当边界条件改变时不需要对理论推导和计算程序进行重新修改，实现了非局部弹性杆纵振特性分析的最为一般情况。

    关键词：非局部理论；杆结构；纵向振动；弹性边界约束

    引言

    经典连续介质理论广泛应用于固体和结构力学行为的建模分析，并取得了丰硕的研究成果，然而对于外部载荷特征尺度与内部微观特征尺度相近情况下的裂纹尖端应力奇异性、高频波弥散现象和微纳米材料等问题，采用经典连续介质理论难以获得令人满意的结果。1966年，Eringen在考虑微观力学中长程效应的基础上提出非局部理论，作为经典连续介质理论的扩充与发展，非局部理论能够有效计及微观尺度效应，为解决考虑内部微观或细观结构的问题奠定了理论基础。

    自非局部理论提出以来受到了研究人员的极大关注，理论体系逐步完善，并在黏弹性力学、断裂力学、晶体错位理论等方面的研究中取得了一系列成果，解决了许多经典连续介质力学难以解决的问题。戴天民对连续统理论进行了大量工作，对微极连续耦合场论和极性连续统理论的基本原理进行了详细论述。周振功等采用非局部弹性理论，计算了裂纹尖端应力场，消除了裂纹尖端应力场的奇异性。毕贤顺等推导了半无限大平面不同材料在线性载荷作用下非局部弹性问题的解析解；刘振国等采用非局部线性理论分析了圆孔周边应力集中的量纲问题。Pisano和Fuschi获得了非局部弹性直杆应变场的封闭解。Weckner和Abeyaratne将长程力应用于无限长杆的动力学响应分析。Lei等采用非局部理论研究了含非局部阻尼分布参数系统的动力学问题。

    近年来，随着材料科学的迅速发展，碳纳米管等纳米材料因其具有独特的行为特性，针对其振动分析受到国内外学者的广泛关注。研究表明经典的连续介质理论难以充分刻画其力学行为，为此，学者们进一步引入尺度效应，即采用非局部理论研究纳米结构振动特性。纵向振动作为纳米管（棒）一种重要的振动形式，基于非局部理论开展纳米棒（杆）纵振特性分析引起了人们的研究兴趣。郑长良在非局部弹性理论框架下分析了弹性直杆纵向振动，结合一维晶格动力学，得到了Eringen非局部理论中材料常数的一个上限。Aydogdu基于非局部弹性理论，研究了不同边界条件下非局部直杆几何参数和非局部特征参数对纵振固有频率的影响。黄伟国等运用非局部理论分析了三种典型边界条件下压杆稳定与轴向振动问题，并讨论了临界压力和固有频率的尺度效應。雷勇军等分别运用Ritz法和传递函数法求解了非局部弹性杆经典边界条件下纵向振动的模态频率。由于数学处理上存在一定难度，这方面的研究主要局限于经典边界条件，即固定、自由等，事实上，边界条件作为影响结构振动特性的重要因素，对于纳米杆纵振同样具有重要影响，显然，现有研究限制了人们对此类问题的全面认识。

    针对现有研究不足，本文基于非局部弹性理论建立了弹性边界约束杆结构纵向振动分析模型，任意经典边界及其组合可以通过设置边界约束刚度系数得到。非局部杆纵振位移采用改进傅立叶级数展开，联合求解非局部纵振微分方程与弹性边界约束条件获得系统特征矩阵。通过与文献中不同边界条件非局部弹性杆纵振固有频率对比，对本文模型正确性进行验证，并讨论了边界约束刚度系数和非局部特征参数对非局部弹性杆纵振特性的影响。