关于高中数学解题中分类讨论思想的应用探究
付傅文
数学思想方法是基于实践数学学习活动而总结提炼出的关于数学学习的内涵与本质，可以指导人类科学的思考与解决问题.分类讨论思想与函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想并称为高中数学阶段的四大思想方法，高中数学学习过程是将数学知识和数学思想融合的过程.其中分类讨论思想更是贯穿整个高中数学学习，因此探究如何灵活运用分类讨论思想具有非常重要的现实意义.
一、分类讨论思想概述
分类讨论思想是指在解决复杂的综合性问题过程中，因下一环节存在诸多可能性，因此难以利用统一的方法、公式等进行求解，需要按照一定的分类标准，自顶而下的将问题进行分割，从而将复杂的综合性问题转化为多个基础性问题，以期将大问题转化为多个小问题，然后针对每个小问题“分割包围，各个击破”，最后“积零为整”，再结合实际情况将各种小问题的答案有机整合，即开始先“分”，分类解决问题后再“合”，这便是分类讨论思想的内涵与精髓.
1.引起进行分类讨论的原因.
根据引起分类的原因确定分类标准才能有的放矢，引起分类的原因主要有：
（1）由于数学概念、性质等所引起的分类讨论，例如绝对式|a|>0，此时就需要讨论a>0或者a<0的情况；
（2）由于性质、定理等的限制所引起的分类讨论，例如一元二次方程的求根公式，等比数列的求和公式等，这些公式、定理的使用都有限制条件；
（3）由于参数取值范围不定所引起的分类讨论，在函数、不等式等题目中最为常见；
（4）由于数学运算所引起的分类讨论，例如三角函数的定义域问题，对数函数的真数与底数；
（5）由于图形的不确定性（例如点、面、线等相对位置不定）所引起的分类讨论，此类情况主要出现在函数题目中，尤其部分关于函数图像的题目中；
2.分类的基本原则.
分类是分类讨论的第一步，直接决定了后续计算的成败，因此分类必须要按照一定的原则进行，做到不重复、不遗漏，具体原则如下：
（1）标准统一：在涉及多次分类讨论的情况下，分类的标准务必要前后统一，避免自相矛盾.
（2）不重不漏：遗漏与重复是运用分类讨论思想最常见的问题，遗漏就意味着最终的求解结果是不完善的；重复就会导致后续计算过程中自相矛盾.
（3）多层分类：部分问题只需要一次分类讨论即可迎刃而解，但是复杂程度高的问题就需要多层分类，层层肢解，在这个过程中也需要遵循前后统一与不重不漏的原则；
（4）把握分类时机：分类实际需要准确拿捏，分类过早则会导致计算量增加；推迟分类则意味着上一步计算已出现严重错误.
3.应用分类讨论思想进行解题的步骤.
第一步：首先对题目进行正常求解，当分析出需要分类讨论的时候，需要明确讨论对象与动机，确定讨论变量；该步要注重“水到渠成”，切忌“无病呻吟”.
第二步：按照分类原则确定分类标准，最重要的原则就是“不重不漏”.
第三步：按照分类标准进行分类，需要注意的是，为了保证分类的正确性，分类结束之后必须要及时复核是否出现遗漏或者重复的情况.
第四步：针对每种分类情况逐一求解.
第五步：将各种情况下的求解结果进行合并.
总之，分类讨论思想是高中阶段重要的思想方法，分类讨论思想适用于函數、圆锥曲线、数列等题型，在解题过程中往往与求导、函数单调性（还有周期性等）、数形结合思想等数学知识、思想方法等紧密相连，共同使用，在解题过程中往往能够起到事半功倍的效果.学生在进行数学学习过程中需要有意识的学习并利用分类讨论思想，提升学习效果.
数学思想方法是基于实践数学学习活动而总结提炼出的关于数学学习的内涵与本质，可以指导人类科学的思考与解决问题.分类讨论思想与函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想并称为高中数学阶段的四大思想方法，高中数学学习过程是将数学知识和数学思想融合的过程.其中分类讨论思想更是贯穿整个高中数学学习，因此探究如何灵活运用分类讨论思想具有非常重要的现实意义.
一、分类讨论思想概述
分类讨论思想是指在解决复杂的综合性问题过程中，因下一环节存在诸多可能性，因此难以利用统一的方法、公式等进行求解，需要按照一定的分类标准，自顶而下的将问题进行分割，从而将复杂的综合性问题转化为多个基础性问题，以期将大问题转化为多个小问题，然后针对每个小问题“分割包围，各个击破”，最后“积零为整”，再结合实际情况将各种小问题的答案有机整合，即开始先“分”，分类解决问题后再“合”，这便是分类讨论思想的内涵与精髓.
1.引起进行分类讨论的原因.
根据引起分类的原因确定分类标准才能有的放矢，引起分类的原因主要有：
（1）由于数学概念、性质等所引起的分类讨论，例如绝对式|a|>0，此时就需要讨论a>0或者a<0的情况；
（2）由于性质、定理等的限制所引起的分类讨论，例如一元二次方程的求根公式，等比数列的求和公式等，这些公式、定理的使用都有限制条件；
（3）由于参数取值范围不定所引起的分类讨论，在函数、不等式等题目中最为常见；
（4）由于数学运算所引起的分类讨论，例如三角函数的定义域问题，对数函数的真数与底数；
（5）由于图形的不确定性（例如点、面、线等相对位置不定）所引起的分类讨论，此类情况主要出现在函数题目中，尤其部分关于函数图像的题目中；
2.分类的基本原则.
分类是分类讨论的第一步，直接决定了后续计算的成败，因此分类必须要按照一定的原则进行，做到不重复、不遗漏，具体原则如下：
（1）标准统一：在涉及多次分类讨论的情况下，分类的标准务必要前后统一，避免自相矛盾.
（2）不重不漏：遗漏与重复是运用分类讨论思想最常见的问题，遗漏就意味着最终的求解结果是不完善的；重复就会导致后续计算过程中自相矛盾.
（3）多层分类：部分问题只需要一次分类讨论即可迎刃而解，但是复杂程度高的问题就需要多层分类，层层肢解，在这个过程中也需要遵循前后统一与不重不漏的原则；
（4）把握分类时机：分类实际需要准确拿捏，分类过早则会导致计算量增加；推迟分类则意味着上一步计算已出现严重错误.
3.应用分类讨论思想进行解题的步骤.
第一步：首先对题目进行正常求解，当分析出需要分类讨论的时候，需要明确讨论对象与动机，确定讨论变量；该步要注重“水到渠成”，切忌“无病呻吟”.
第二步：按照分类原则确定分类标准，最重要的原则就是“不重不漏”.
第三步：按照分类标准进行分类，需要注意的是，为了保证分类的正确性，分类结束之后必须要及时复核是否出现遗漏或者重复的情况.
第四步：针对每种分类情况逐一求解.
第五步：将各种情况下的求解结果进行合并.
总之，分类讨论思想是高中阶段重要的思想方法，分类讨论思想适用于函數、圆锥曲线、数列等题型，在解题过程中往往与求导、函数单调性（还有周期性等）、数形结合思想等数学知识、思想方法等紧密相连，共同使用，在解题过程中往往能够起到事半功倍的效果.学生在进行数学学习过程中需要有意识的学习并利用分类讨论思想，提升学习效果.
