案例教学法在《离散数学》命题逻辑教学中的应用
李艳艳 高美平
摘 要：研究解决《离散数学》命题逻辑教学中发现的问题——课本例题虽然经典，但是趣味性不足、与实际生活联系不紧密，学生不能熟练应用知识解决问题。本文在查阅大量资料的基础上，收集整理适合有趣的案例，并将它们应用于课堂教学，从而达到增加学生学习兴趣和应用数学知识解决实际问题的目的。
关键词：案例教学法;离散数学;命题逻辑
中图分类号：O151.2 ?文献标识码：A
离散数学是数学与应用数学专业的一门专业必修课，涉及的主要内容之一就是用数学方法研究逻辑问题的命题逻辑，教学中占具三分之一的课时。从使用的教材发现，课本上所举的例子虽然很经典，但是缺乏与时俱进的趣味性，而且和实际生活的联系也不密切，这就导致了学生往往已将课本内容学得很熟悉，可却不会应用它们解决实际生活中的逻辑问题，对于知识的学习还停留在纸上谈兵阶段，违背了学习逻辑内容的本质，没有达到学以致用的效果。关于命题逻辑部分的教学，王国卿、吴群妹在文献[1]、文献[2]做了一定研究，本文从案例教学法的角度继续研究该问题。为了解决命题逻辑部分教学中不能理论联系实际的情况，本文在查阅大量资料的基础上，收集整理适合有趣的案例，并将它们应用于课堂教学，从而达到增加学生学习兴趣和应用数学知识解决实际问题的目的。命题逻辑部分的问题主要分为三部分：根据已知条件推断结论、增加条件推出结论和应用推理理论推出结论三种类型。解决的手段主要是等值演算和推理理论。下面对这三部分内容分别给出来源于实际生活的生动有趣的案例，在案例的解决过程中，达到学以致用、举一反三的目的。
1 根据已知条件推断结论
例1 红红、丹丹、阳阳、珍珍和慧慧是同一家公司的同事，因工作的需要，她们不能同时出席公司举办的新产品发布会。她们的出席情况是：（1）只有红红出席，丹丹、阳阳和珍珍才都出席;（2）红红不能出席;（3）如果丹丹不出席，阳阳也不出席;（4）如果阳阳不出席，慧慧也不出席;（5）已经决定慧慧出席发布会。
根据上述情况，可以推出（ ）。
A.丹丹出席发布会，阳阳和珍珍不出席发布会
B.珍珍出席发布会，丹丹和阳阳不出席发布会
C.阳阳和珍珍出席发布会，丹丹不出席发布会
D.丹丹和阳阳出席发布会，珍珍不出席发布会
解：命题符号化：设 p：红红出席，q：丹丹出席，r：阳阳出席，s：珍珍出席，t：慧慧出席，则出席情况为：
（（q∧r∧s）→p）∧p∧（q→r）∧（r→t）
对上式等值演算，得：
（（q∧r∧s）→p）∧p∧（q→r）∧（r→t）
p∧q∧r∧s∧t
则得出红红、珍珍、慧慧不出席，丹丹、阳阳出席的结论，即答案为D。
例2 如果张三作案，那么李四一定是主犯;如果张三没作案，那么王五参与作案。如果李四不是主犯，那么王五没有参与作案。
由此可以推出以下哪项？（ ）
1.张三没作案
2.李四一定是主犯
3.李四不一定是主犯
4.王五参与作案
5.张三作案
解：命题符号化：设 p：张三作案，q：李四为主犯，r：王五参与作案，则已知事实为（p→q）∧（p→r）∧（q→r）。
（q→p）∧（p→r）∧（q→r）（q→r）∧（q→r）1
所以q的真值为0，那么q的真值就为1。从而推断李四一定为主犯，答案为B。
例3 小轩和小萌的妈妈买了一个精美的小蛋糕放在冰箱，早晨起床发现蛋糕不见了，经询问，两个小朋友都说自己没有吃。于是妈妈就充当警察，寻找偷吃蛋糕的小馋猫。已知事实如下：（1）小轩或小萌吃了蛋糕;（2）若小轩吃了蛋糕，则偷吃时间不能发生在午夜前;（3）若小萌说的正确，则午夜时屋里灯光未灭;（4）若小萌说的不正确，则偷吃时间发生在午夜之前;（5）午夜时屋里灯光灭了。
则，偷吃蛋糕的是（ ）。
解：命题符号化：设p：小轩偷吃了蛋糕;q：小萌偷吃了蛋糕;r：偷吃时间发生在午夜前;s：小萌说的正确;t：午夜时屋里灯光未灭。
根据妈妈已查明的事实，p∨q，p→r，s→t，s→r，t的值都为真，由此推出p或q。
下面寻找上述各式的合取式的成真赋值。
（p∨q）∧（p→r）∧（s→t）∧（s→r）∧（t）
（p∨q）∧（p∨r）∧（s∨t）∧（s∨r）∧（t）
（p∨q）∧（p∧s∧r∧t）
（p∧s∧r∧t）
它的成真赋值是p=0，q=1，s=0，r=1，t=0，由此可知，小萌偷吃了蛋糕。
2 增加条件推出结论
例4 如果甲和乙考试都没及格的话，那么丙就一定及格了。上述前提再增加以下哪项，就可以推出“甲考试及格了”的结论。
1.丙及格了
2.乙和丙都没有及格
3.丙沒有及格
4.乙和丙都及格了
解：命题符号化：设p：甲考试及格，q：乙考试及格，r：丙考试及格，则命题为（p∧q）→r。
由等值演算知（p∧q）→r（r∧q）→p，所以再增加条件：当乙和丙考试都没有及格时，就可以推出甲考试及格了，因此选B。
例5 某高校外语教研室新招进五位外语老师，每位老师只教授一门外语，并且满足以下条件：（1）如果小钱教德语，那么小孙不教俄语;（2）或者小李教德语，或者小钱教德语;（3）如果小孙不教俄语，那么小赵不教法语;（4）或者小赵教法语，或者小周不教英语。
以下哪项如果为真，可以得出“小李教德语”的结论？
1.小孙不教俄语
2.小钱教德语
3.小周教英语
4.小赵不教法语
解：命题符号化：设 p：小钱教德语，q：小孙教俄语，r：小李教德语，s：小孙教德语，t：小赵教法语，t：小周教英语，则题目满足条件为：
（p→q）∧（p∨r）∧（q→t）∧（t∨n）
等值演算得：
（p→q）∧（p∨r）∧（q→t）∧（t∨n）（t∨n）→r
故要得到小李教德语，只需增加小赵教法语或小周教英语就可以。则答案选C。
3 用推理理论推出结论
例6 已知：（1）如果甲和乙是肇事者，丙就不是肇事者;（2）如果丁是肇事者，那么乙就是肇事者;（3）甲和丙都是肇事者。
由此推出：（ ）
A.乙和丁都是肇事者
B.乙和丁都不是肇事者
C.乙是肇事者，丁不是肇事者
D.乙不是肇事者，丁是肇事者
解：命题符号化：设 p：甲是肇事者，q：乙是肇事者，r：丙是肇事者，s：丁是肇事者。则已知前提为：（p∧q）→r，s→q，p∧r。
使用推理理论求解结论：
①（p∧q）→r 前提引入 ⑤ s→q 前提引入
②（p∧r）→q ①置换 ⑥s ④⑤拒取式
③p∧r 前提引入 ⑦q→s ⑤置换
④q ②③假言推理 ⑧q∧s ④⑥假言推理
那么可知，乙和丁都不是肇事者，故B选项正确。
例7 如果阿根廷参加联盟，则巴西和智利将抵制联盟。如果巴西和智利有一国抵制联盟，那么联盟就会名存实亡。而联盟没有名存实亡。
从这段文字可以推出：
A.巴西没有参加联盟;B.巴西参加联盟;C.智利和巴西至少有一国没有参加联盟;D.阿根廷没有参加联盟
解：命题符号化：
设 p：阿根廷参加联盟;q：巴西抵制联盟;r：智利抵制联盟;s：联盟名存实亡
则已知前提为：p→（q∧r），（p∨q）→s，s
使用推理理论求解结论：
①（p∨q）→s 前提引入 ?②s 前提引入
③p∧q ①②拒取式 ④q ③化简
⑤p→（q∧r） 前提引入 ⑥（p→q）∧（p→r） ⑤置换
⑦p→q ⑥化简 ⑧p ④⑦拒取式
則得到结论阿根廷没有参加联盟，选D。
例8 如果今天星期三，则要进行线性代数或概率论期中测试。如果线代老师有会，则不考线代，线代老师有会。所以进行概率论期中测试。
解：命题符号化：
设p：今天星期三;q：进行线性代数期中测试;r：进行概率论期中测试;s：线代老师有会。
则已知前提为：p→（q∨r），s→q，p，s
结论：r
证明：
①p→（q∨r） 前提引入 ?②p 前提引入
③ q∨r ①②假言推理 ④s→q 前提引入
⑤s 前提引入 ⑥q ④⑤假言推理
⑦ r ③⑥析取三段论
由以上证明知，进行概率论期中测试。
例9 如果小明是计算机类专业学生，他必学好离散数学。如果他不是计算机类专业学生，他必须是数学专业学生。他没学好离散数学。所以他是数学专业学生。
解：命题符号化：p：小明是计算机类专业学生;q：他学好离散数学;r：他是数学专业学生。
前提：p→q，r→p，q
①p→q 前提引入; ?②q 前提引入
③p ①②拒取式 ④r→p 前提引入
⑤r③④拒取
由上可知，他是数学专业学生。
4 结语
本文通过选用九个典型实际案例，让学生在解决案例的过程中达到熟悉、强化知识的目的，这样做不仅提高了学生学习的兴趣，也让学生进一步掌握数学来源于生活又服务于生活的本质。该教学法给原本枯燥乏味的数学课堂注入了活力，使学生觉得数学离自己的生活是那样近，在提高学生数学学习主动性的同时，也学会了用数学的眼光看待并解决问题。
参考文献：
[1]王国卿.“离散数学”命题逻辑的教与学研究[J].无线互联科技，2019，8：151-152.
[2]吴群妹.浅谈怎样学习离散数学中的命题逻辑[J].科技信息，2009，9：169-170.
基金项目：文山学院《高等代数》精品课程建设项目
作者简介：李艳艳（1982—），女，甘肃庆阳人，硕士，副教授，研究方向：矩阵理论及其应用、数值分析，大学数学教学。
