浅谈相似三角形中的类比思想

    摘 要：数学思想是数学学科的精髓，三角形相似是中学数学几何部分的重要内容，除了知识的重要性以外，其蕴含着的类别数学思想也同样重要。类比的思想在所有学科的学习，甚至在生活中，应用都十分广泛，体现着学生活学活用、知识迁移的能力。所以本文以《相似三角形》的课程设计为例，体现在这部分内容学习时，如何体现出类比思想。

    关键词：初中数学 相似三角形 类比思想 课程设计

    一、知识储备

    1.三角形相似：形状完全相同的两个三角形为相似三角形；如果两个三角形相似，则互为放大或缩小的版本。

    2.预备定理（平行线定理）：平行线于三角形一边的直线和其它两边相交，构成的三角形与原三角形相似，形式上有A型、X型。

    3.类比思想：指的是根据两类对象在所要研究的某一方面具有相似性，可以得出相似的结论。

    二、三角形相似类比思想的体现

    1.三角形相似概念的类比

    三角形相似的概念可以类比于三角形全等的概念。教师在进行新课的引入时，可以先复习与三角形全等的相关知识，进而引导学生找出三角形相似与全等概念上的相似与区别，这样，不仅帮助学生回忆了与相似三角形联系紧密的旧概念，还可以通过分析分析它们的结构特征，建立起与新知识的联系。运用类比引入新概念，可使学生更好地理解概念的本质，培养学生的思维能力。[1]

    2.判定定理的类比

    著名的数学家欧拉认为：“类比就是大胆创造，不过，你应该首先找到双方的相似属性。”三角形相似这一模块的内容与全等有许多相似的地方，三角形相似的判定定理可以根据全等三角形的判定定理得到，即：形状、大小相同的两个三角形全等类比为形状相同的两个三角形相似，进而得到两个角对应相等的三角形相似（AA）；三角形三边对应相等则全等类比为三角形对应的三边成比例，则两个三角形相似；根据三角形全等的判定定理SAS类比于三角形对应的两边成比例，且夹角相等的额两个三角形相似；此外还有直角三角形相似的判定定理也可以根据直角三角形全等HL判定定理类比

    得到。[2]

    这样利用三角形相似与全等的结构几何特征，得到定理的类比，这样也是培养学生发现能力的过程。[3]

    3.证明方法的类比

    三角形相似判定定理的证明具有相似性，即通过一个定理的证明思路与过程可以类比出其他判定定理的证明过程，而且是要求学生自己独立完成。可以进行如下的课程设计来体现类比思想。

    求证：在△ABC于△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，证明两个三角形相似。（教师引导）

    图 1

    证明：采用叠合法。

    如图1所示，在△A'B'C'边A'B'上截取，过点D作直线DE//B'C'，得到∠A'DE=∠B'，△A'B'C'∽△A'DE，所以在△ABC与△A'DE中，∠A=∠A'，∠B=∠A'DE，所以△ABC△ADE，进而△ABC∽△ABC。

    接下来，可以让学生采用叠合法，证明如下两个定理：

    定理1：在△ABC于△A'B'C'中，∠A=∠A'，，求证两个三角形相似。

    定理2：在△ABC于△A'B'C'中，，求证两个三角形相似。

    这样的课程设计提高了课堂的教学效率，原先三个定理的内容需要两个课时才能完成，打断了知识的连续性，而现在只需要一个课时就可以将三种定理的证明讲解完，使课堂的内容具有连贯性，便于学生从整体上来理解各个判定定理的证明。

    4.相似三角形性质的类比

    性質1：两个相似三角形对应的高成比例，且为相似比。

    图 2

    证明：由于△ABC∽△A'B'C'，所以∠B=∠B'，有因为AD、AD'是高，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°，所以△ABD∽△A'B'D'，那么根据相似三角形对应边成比例得到：

    上述过程由教师引导学生一起完成，接下来，教师可以采用分组教学的方式，将相似三角形中线以及角平分线对应成比例的证明安排学生独立完成。思路则是利用两个内部的小三角形相似得到相应的结论，都是先证明两个三角形相似，然后用“相似三角形的对应边的比相等”证到结论。

    性质2：两个相似三角形对应的中线成比例，且为相似比。

    性质3：两个相似三角形对应的角平分线成比例，且为相似比。

    比如，可以将学生分为8个组，其中4各组证明形似三角形的中线性质，剩下的同学证明相似三角形角平分线的性质。这样的设计可以在学生感刚刚掌握相似三角形高的性质之后，利用相类似的证明思路，通过小组讨论这样灵活的教学形式，让学生体会到知识之间的紧密联系，新旧知识融会贯通。

    类比思想在相似三角形中的应用，将新旧知识点进行结合，在巩固旧知识的同时，还学习了新的知识，降低了许多同学的学习难度，学习变得有章可循。

    5.三角形相似的应用

    一种数学思想之所以重要，是由于其拥有较高的现实意义，即应用性较强。类比思想的重要性就体现在其应用可以简化习题。无论是在初中阶段还是高中阶段的基础教育中，类比的思想是一种重要的解题方法，以此来指导教师教学和学生学习，从而实现教师和学生轻松而高效的教和学。三角形相似的相关习题种类多样化，这样导致学生在解题时常常感觉困难，造成的原因之一是不定的利用类比的思想来求解习题，也就是不懂得如何举一反三。比如，可以将利用相似来证明比例式、证明三角形相似、求某一线段的长等等。

    例1：如图3在△ABC中，DE//BC，BF平分∠ABC，BF的延长线交DE的延长线于点F，AD=1，BD=2，BC=4，那么EF=______.

    图 3

    例2：如图4，CD是∠ACB的角平分线，BE//CD.求证：（1）BC=CE；（2）

    图 4

    例1与例2的证明方式相似，涉及到角平分线、平分线内容，可以将例1的解题方法类比用在例2 的证明上，实质上许多题目是某一题目的变式，具有相似性，只要善于利用类比法，就可以提高学习的效率。类比思想还有助于发散学生思考问题的思维，增强创造能力，这也是素质教育的要求。在中考的题目中，有许多都是由三角形相似图形变形构成的新图形，利用类比的思想来寻找角或是边的关系，从而找到解题的方法。

    三、提升类比思想渗透在教学中的策略

    相似三角形是初中阶段的知识点，尽管在这之前已经接触到了类比思想，但是并不熟练，没有掌握类比思想的核心，基于此，提升类比思想的渗透的首要策略是加强教师的引导。教师要深入研究教材，发现可以应用类比思想的内容，并会恰当的对学生进行引导；其次，要紧扣每节课的教学主线。每节课的教学主线贯穿了整节课知识的核心知识、技能、数学思想方法。比如在进行三角形相似性质的教学时，三角形相似对应高、中线、角平分线对应的比是主线，教师在课堂上的每一点引导都是分布在这条主线的周围，新知的探究与生成，完全建立在旧知的回顾与应用的基础之上，“两角对应相等的两个三角形相似”和“相似三角形的对应边成比例”成就了“相似三角形的对应高的比等于相似比”，同时还为下一步的类比探究积累了宝贵的经验；最后，要注重课堂教学形式的多样性，比如加入小组讨论，这样的教学方法十分适合探究类的问题，他们将自己的想法互相交流，通过师生、生生之间互动辨析，逐步将这些个性化的经验变为大家认同的经验，将知识、方法互相共享。

    结语

    在教学中发现，学生在初学三角形相似的判定定理证明时，常常無从下手，可是将类比的思想加入在教学中，学生有全等的知识与方法作为铺垫，类比后相似三角形的内容变得熟悉，提高了学生的学习效率。实际上类比思想在中学中的应用不仅仅体现在三角形相似的教学中，教师要善于深度挖掘教材，培养学生自主学习的能力。总之，应该更加注重类比思想的教学，培养学生解决数学问题的能力，提高每位学生的数学素养，真正的实现“素质教育”。

    参考文献

    [1]王月祥.突出类比思想，促进课堂生成[J]，教学导航，2016，（9）：65.

    [2]丁科利.相似三角形中的类比思想—《相似三角形》的教学设计[J].初中数学教与学，2017，（8）：67.

    [3]吴凯红.重组教材关联处，“同而不同”在类比—“相似三角形的判定方法”教学设计及解读[J].教学导航，2017，（3）：23.

    作者简介

    贾安国（1970，10—），男，汉，四川成都人，中学一级教师，彭州市丽春镇北君平初级中学，研究方向：初等教育。