基于SVD和熵优化频带熵的滚动轴承故障诊断研究
李华 刘韬 伍星 陈庆
摘要： 针对在奇异值分解（Singular Value Decomposition， SVD）中，随机噪声对各阶的贡献几乎相等，导致单一SVD降噪效果不理想的问题，提出了基于SVD和频带熵（Frequency Band Entropy， FBE）相结合的轴承故障特征提取方法。针对基于FBE的带通滤波器的阶数和带宽需经验确定的问题，提出了基于信息熵最小值原则的参数优化方法。首先，对原始振动信号在相空间重构Hankel矩阵并利用SVD进行降噪处理，采用奇异值相对变化率来确定模型的阶次；然后，对降噪后的信号进行基于FBE的带通滤波，并采用基于信息熵最小值原则的优化方法确定带通滤波器的阶数和带宽。最后，对滤波信号进行包络谱分析，提取轴承故障特征频率，并用峭度指标证明了带通滤波器的有效性。通过数值仿真和实际轴承故障数据分析，证明了该方法提取轴承故障特征频率的有效性。
关键词： 故障诊断； 滚动轴承； 奇异值分解； 频带熵； 带通滤波
中圖分类号： TH165+.3； TN911.7文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）02-0358-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.021
引言
滚动轴承是旋转机械的重要元件，其故障是造成旋转机械故障的重要原因之一。因此，对轴承的状态监测与故障诊断是机械设备故障诊断的研究热点[1]。
当滚动轴承发生故障时，其振动信号包含了大量的运行状态信息，表现为非平稳性和多分量性的调制信号，故障信号中大量的突变以及短期的丛集成分也包含在其中，特别在故障早期，由于调制源弱，故障信号微弱，并且受周围设备、环境的噪声干扰，导致故障特征频率难以提取、识别[2-3]。因此，如何提取出故障轴承的故障特征频率，对保障机械设备的正常运行具有重要意义[4]。
奇异值分解技术在故障诊断领域已有大量成果的应用，冷永刚等[5]提出了SVD分量包络检测方法，成功应用于轴承故障检测。王树青等[6]提出了基于奇异值相对变化率的模型定阶方法。B Yang等[7]将稀疏表示和位移不变K-SVD相结合应用于风力发电机的轴承故障诊断。Golafshan R等[8]将SVD和Hankel矩阵成功应用于滚动轴承，并实现故障检测。针对单独的SVD降噪效果往往不佳，张晓涛等[9]将奇异值分解与快速谱峭度算法相结合，应用于声发射监测齿轮箱轴承故障。王建国等[4]提出了将奇异值分解和局部均值分解相结合的故障特征提取方法，取得了良好的效果。
本文针对轴承早期故障微弱、低信噪比的特点，提出将SVD和基于FBE的自适应滤波技术相结合的方法，并应用于轴承的故障特征提取；针对带通滤波器的阶数和带宽参数的确定问题，提出了基于信息熵最小值的参数优化方法。对原信号进行SVD分解，并对重构信号进行基于FBE的带通滤波（利用信息熵优化其参数），包络解调分析，提取轴承故障特征频率。与理论故障特征频率比较，判断轴承故障状态。
1基础理论〖2〗1.1SVD假设有采集的轴承原始离散信号Y=[y（1），y（2），…，y（N）]，基于相空间重构理论，构造Hankel矩阵如下[4]
X=y（1）y（2）…y（n）
y（2）y（3）…y（n+1）
…………
y（N-n+1）y（N-N+2）…y（N）（1）
式中1
对矩阵X进行奇异值分解，则有X=USVT（2）式中上标“T”表示矩阵转置。U和VT分别为（N-n+1）×（N-n+1）和n×n矩阵，S为（N-n+1）×n的对角阵，主对角线元素为λi（i=1，2，…，k），且k=min（（N-n+1），n），即有S=diag（λ1，λ2，…，λk）（3）式中λ1，λ2，…，λk是矩阵X的奇异值，且有λ1≥λ2≥…≥λk≥0，U和VT表示左右奇异阵。
奇异值在模型的阶次k处会产生突降，但信号受到强噪声干扰时，非零奇异值的个数远远大于模型的阶数k，并且使得奇异值在模型阶次处的突降不明显，本文采用文献[6]提出的奇异值相对变化率进行模型的定阶。即定义模型阶次的指标如下MOi=λi-λi+1λi+1， i=1，2，…，k-1（4）由于奇异值降序排列，在突降点大的位置，模型阶次指标MOi将出现峰值，所以，认为MOi最大值，即最大峰值处的值为模型的阶次。
1.2频带熵
T Liu等[10]结合时频分析和信息熵提出了频带熵的方法，并应用于轴承故障诊断。
1.2.1频带熵
基于幅值谱熵的频带熵分析方法，计算如下[10]：
首先，对信号做时频变换（STFT实现）。对原信号x（i），i=1，2，…，N进行STFT分析，其时频分布如下TER=r1，1…r1，C
…
rM，1…rM，C（5）式中M为频率点数，C=NL，L为窗函数沿时间轴移动的步长。
其次，第i个频率分量的幅值沿时间的变化定义为Xfi=（ri，1，ri，2，…，ri，C），则单个频率分量的频带熵可以由下式估计Hsi=-∑Cm=1pm，iln（pm，i）/lnC
pm，i=Xfi（Fm）/∑Cm=1Xfi（Fn）
∑Cm=1pm，i=1（6）式中F为频率分量Xfi沿时间轴的谱分布，其变化揭示了该频率分量沿时间轴的变化情况。
最后，计算每个频率分量的频带熵值，得到全频带的各个频率分量的频带熵分布如下Hsf=（Hs1，Hs2，…，HsM）（7）第2期李华，等： 基于SVD和熵优化频带熵的滚动轴承故障诊断研究振 动 工 程 学 报第31卷如果频率分量Xfi随时间的变化较平缓或规律变化，则该频率分量的频带熵值较小；若在某段时间内有复杂的波动，则频带熵值较大。在轴承故障诊断中可用于寻找轴承的共振频率[11]，即频带熵值最小处的频率分量（H=min（Hsf）），为自适应滤波的参数设计提供参考。
1.2.2基于频带熵的包络分析
利用频带熵设计自适应滤波器，对滤波后的信号进行Hilbert包络分析获取轴承的故障特征频率。
首先计算不同窗长度下的频带熵值，窗长度为Nw=2k，k=1，2，…，M。
然后设计带通滤波器。选择频带熵值最小处对应的频率分量作为滤波器的中心频率f0，利用STFT的窗长度Nw估计滤波器的带宽Δf≈a·fs/Nw，fs为信号采样频率[12]。
最后，对滤波后的信号进行包络分析提取轴承故障特征频率。
1.3信息熵
假设一个随机序列x（n）=（x1，x2，…，xn）含有N个可能值，取得这些值的概率分布为P=（p1，p2，…，pn），则序列的信息熵为[13]H（x）=-∑Ni=1pilgpi（8）信息熵描述了系统的不确定程度。当概率分布P的不确定度越大时，对应的熵值就会越大；反之，当P的不确定度越小时，熵值也越小。因此，若分解得到的频带包含故障信息，由于周期冲击的缘故，其表现的越有序，熵值小。基于此，本文提出利用信息熵优化基于FBE的带通滤波器参数。
1.4基于SVD-FBE的故障特征提取
在SVD分析中，随机噪声对各阶的贡献几乎相等，即随机噪声几乎均匀分布在各阶，这造成了单独使用SVD降噪效果往往不理想。基于此，本文提出了SVD与FBE相结合的轴承故障诊断方法，将FBE的自适应带通滤波器设计能力与SVD的通频带降噪能力结合，对微弱轴承故障特征频率进行提取。并且，文中还对基于FBE的带通滤波器的带宽和阶数进行了基于信息熵最小值的优化。算法流程图如图1所示。
本文所述方法的具体步骤如下：
（1）对采集的轴承原始振动信号进行基于相空间重构，获得Hankel矩阵；
（2）对信号进行SVD分解降噪处理，并利用奇异值相对变化率进行模型定阶；
（3）对降噪信号进行FBE分析，设计自适应带通滤波器，并利用信息熵最小值原则优化带通滤波器的带宽和阶数；
（4）对上述滤波后的信号进行包络解调分析，提取轴承故障特征频率，并与理论值进行比较，判断轴承故障部位。
图1诊断方法流程图
Fig.1The flow chart of fault diagnosis2信号仿真分析
为验证上述分析方法的有效性，本文将轴承内圈故障的仿真信号进行分析，滚动轴承的仿真信号可通过下式得到[10]x（t）=∑Mi=1Ais（t-iT-τi）+n（t）
Ai=A0cos（2πQt+φA）+CA
s（t）=e-Btsin（2πfnt+φw）（9）系统采样频率fs=12000 Hz，结构共振频率fn=3000 Hz，内圈故障频率fi为100 Hz，转频fr=28 Hz，阻尼比B=500。为了验证算法的有效性，添加信噪比为-5 dB的随机噪声。图2为仿真信号时域波形和包络谱。由图2（a），该信号中包含复杂噪声信息。图2（b）的原始信号包絡谱，虽然能提取到故障特征频率，但存在很严重的噪声影响。因此，需要进一步提高信噪比。
图2内圈故障仿真信号
Fig.2Simulated signal with inner race defect2.1SVD分析
对原始振动信号进行SVD分析，首先相空间重构Hankel矩阵，利用SVD对信号进行降噪处理，采用奇异值相对变化率确定模型阶次。为了能清楚地显示奇异值的相对变化率，本文仅给出前50个点的奇异值相对变化率，如图3所示。由图3可知，在第二个奇异值处出现最大突降。故将前2个分量进行叠加重构，得到降噪后的信号。
图3奇异值相对变化率
Fig.3The relative rate of change in singular values
对上述的重构信号进行包络分析，其包络谱如图4所示。由图4可知，其重构信号包络谱可以提取出故障特征频率且相比于原信号包络图2（b），通
图4重构信号包络谱
Fig.4Envelope spectrum of reconstructed signal频带噪声有明显的减少，故障特征频率的幅值增大，但仍被噪声包围。因此，需要对重构信号进行再降噪处理。
2.2基于频带熵的带通滤波分析
2.2.1频带熵分析
为了能更加清晰地提取故障特征，提高信号信噪比，在原始信号经过SVD降噪后，采用基于FBE的自适应带通滤波器对原信号进行进一步的降噪处理，并对带通滤波器的带宽和阶数进行信息熵最小值的优化。
从图5可知，共振频率为3000 Hz，即带通滤波器中心频率为fn=3000 Hz。且最优的窗长Nw=128。
图5内圈故障仿真信号频带熵分析
Fig.5Analysis of FBE of the simulated signal of the inner fault2.2.2带通滤波器参数优化
利用信息熵最小值优化带通滤波器的阶数和带宽。经过分析，在不影响精度的前提下，首先在经验的带宽基础上优化带通滤波器阶数，然后在此最优阶数下确定滤波器的带宽，有利于提高运行效率。故取带宽系数Δf=a·fs/N*w，a=1.5。可得当滤波器阶数M=23时具有信息熵最小值（0.5546），因此，选取滤波器最优阶数为M=23。然后，利用信息熵最小值原则，在最优阶数M下优化带宽参数a。
当a取0.8时，具有熵最小值（0.554）。因此，最优带宽系数取a=0.8。带宽系数a和信息熵的关系如图6所示。
图6带宽系数与熵的关系
Fig.6The relationship between bandwidth coefficient and entropy
优化后的带通滤波器参数对为[M，a]=[23，0.8]。对上述重构信号进行滤波降噪，然后进行包络解调分析。如图7所示的包络谱，能够清晰地提取轴承的故障特征频率及其转频，边带也很清晰。与图4比较可知，经过带通滤波极大地剔除了宽频带噪声，提高了信噪比。证明了本文提出方法的有效性。
图7滤波信号包络谱
Fig.7Envelope spectrum of filtered signal
为说明效果，分别求取SVD重构信号和滤波信号的时域波形及其所对应的峭度指标，如图8（a），（b）所示。从8（a）中，无法清晰地提取冲击特征。而图8（b）中，冲击特征明显，可见滤波降噪具有良好效果。从峭度指标看，SVD重构信号的峭度值为3.4419，而带通滤波后的峭度值为8.3888，有明显的增幅。因此，证明了本文提出的信息熵优化带通滤波器参数的有效性。图8对比分析
Fig.8Comparative analysis3实验验证及分析
为了验证本文方法的有效性，对实际轴承数据进行了分析。数据来源于美国西储大学电气工程实验室的轴承数据[14]，轴承的型号为6205RS JEM SKF，采样频率fs=12000 Hz，试验数据选择转速为1730 r/min，负载为3 hp（2.205 kW），故障尺寸为0.021″，驱动端轴承在内圈故障状态下的数据。理论计算得到的滚动轴承转频fr=28.83 Hz和内圈故障特征频率fi=155.7 Hz。
图9内圈故障时域波形及频谱
Fig.9Time domain waveform and spectrum of inner fault
如图9（a），（b）所示为轴承内圈故障的原始信号时域波形和频谱，虽然在时域波形中有比较明显的冲击特征，但仍含有复杂的噪声信息。而频谱中无法提取故障特征频率。因此，有必要对信号进行预处理，提高其信噪比。
3.1SVD分析
如图10所示，为了能清楚地显示奇异值的相对变化率，画出前50个点的奇异值相对变化率。在第二个奇异值处出现最大突降。所以，将前2个分量进行叠加重構，即可得到降噪后的信号。
图10奇异值相对变化率
Fig.10The relative rate of change in singular values
图11内圈故障重构包络谱
Fig.11The envelope spectrum of reconstructed signal of inner fault将重构信号进行包络分析，其包络谱如图11所示。由图11可知，对原始轴承内圈振动信号进行SVD 降噪，可以提取出轴承故障特征频率，但故障特征频率被噪声包围。需要进一步对信号进行降噪处理。
3.2基于FBE的带通滤波器分析及参数优化
为了能够更加清晰地提取故障特征，在原始信号经过SVD降噪后，采用基于FBE的自适应带通滤波器对重构信号进行再降噪处理，并对滤波器的参数进行信息熵最小值的优化。
基于FBE，此处选择最优窗长度为Nw=128来设计带通滤波器，计算得自适应滤波器的参数为：中心频率取f0=2830 Hz，带宽为Δf=a·fsNw。同样地，首先经验的取a=1.5，可得滤波器阶数M=24时具有信息熵最小值（0.6909），因此，选取滤波器最优阶数为M=24；然后在此最优阶数M下优化带宽参数a。可得当a取3时，具有熵最小值（0.6896）。因此，最优带宽系数取为a=3。带宽系数a和信息熵的关系如图12所示。
由以上分析，可得优化后的带通滤波器参数对为[M，a]=[24，3]。对重构信号进行滤波降噪，然后进行包络解调分析。如图13所示的包络谱，能够清晰地提取轴承的故障特征频率、倍频及其转频，边带也很清晰。与图11比较可知，经过带通滤波极大地剔除了宽频带噪声，提高了信噪比。同样证明了本文提出方法的有效性。
图12带宽系数与熵的关系
Fig.12The relationship between bandwidth coefficient and entropy图13滤波信号包络谱
Fig.13Envelope spectrum of filtered signal同样地，在这里分别求取了SVD重构信号和滤波信号的时域波形及其峭度指标，如图14（a），（b）所示。从图14（a）可知，SVD重构信号冲击薄弱，对原信号有一定的失真，而在经过信息熵优化的带通滤波器滤波后，如图14（b）所示有明显的冲击特征。从峭度指标看，峭度从重构信号的3.2672增加到带通滤波后的5.3342，有明显的增幅。因此，也说明了本文方法的有效性。
为了说明信息熵最小值优化参数的优势，在这里人为的取带通滤波器参数[M，a]=[20，1.5]，
图14对比分析
Fig.14Comparative analysis图15参数为[20，1.5]的包络谱
Fig.15Envelope spectrum with parameters [20， 1.5]设计带通滤波器对重构信号进行带通滤波，滤波后的包络谱如图15所示。与图13相比，虽然能够提取故障特征频率，但明显存在更多的噪声影响，所以相比于人为决策，本文提出的信息熵优化带通滤波器参数的方法具有较高的可靠性，优势较为明显。
4结论
本文针对滚动轴承故障信号容易受周围环境噪声等的干扰、信噪比低等问题，单一的SVD方法往往达不到良好的降噪效果，提出了将SVD和基于FBE的自适应滤波相结合的解决方案，并且针对基于FBE的带通滤波器带宽和阶数需经验确定的问题，提出了基于信息熵最小值原则的参数优化方法。通过对仿真信号和实际轴承故障振动信号的处理及对比分析，结果表明该方法能够有效地滤除噪声干扰，提取各状态故障特征频率，达到比单一的SVD更好的效果。同时，以峭度为指标进行对比分析，也证明了本文提出的FBE带通滤波器参数优化方法的有效性。本文提出的滚动轴承故障诊断方法，对比理论故障特征频率可以将各种故障状态清晰地分离出来。参考文献：
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[14]http：//www.cwru.edu/laboratory/bearing/welcome_over view. htm.
Research on fault diagnosis of rolling bearing based on SVD
and optimized frequency band entropy by entropy
LI Hua， LIU Tao， WU Xing， CHEN Qing
（Faculty of Mechanical and Electrical Engineering， Key Laboratory of Vibration & Noise under Ministry of
Education of Yunnan Province， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）
Abstract： According to the problem that in singular value decomposition （SVD）， the contributions of random noise to each order are almost equal， which results in the unsatisfactory effect of noise reduction using SVD alone， a fault feature extraction method based on SVD and frequency band entropy （FBE） is proposed. Aiming at the order and bandwidth of the FBE-based band-pass filter which need to be determined by experience， a novel method of parameters optimization based on the principle of information entropy minimum is proposed. Firstly， the Hankel matrix is reconstructed from the original vibration signal in the phase space and the SVD method is used to reduce the noise. The singular value relative change rate is used to determine the order of the model.Then， FBE-based band-pass filtering is performed on the noise-reduced signal， and an optimization method based on the principle of information entropy minimum is used to determine the order and bandwidth of band-pass filter.Finally， the filtered signal is subjected to envelope analysis to extract the characteristic frequency of the bearing fault， and the effectiveness of the band-pass filter is proved by the kurtosis index. Through the numerical simulation and the analysis of the actual bearing fault data， the effectiveness of the method to extract the characteristic frequency of the bearing fault is validated.
Key words： fault diagnosis； rolling element bearing； singular value decomposition（SVD）； frequency band entropy； band-pass filtering
摘要： 针对在奇异值分解（Singular Value Decomposition， SVD）中，随机噪声对各阶的贡献几乎相等，导致单一SVD降噪效果不理想的问题，提出了基于SVD和频带熵（Frequency Band Entropy， FBE）相结合的轴承故障特征提取方法。针对基于FBE的带通滤波器的阶数和带宽需经验确定的问题，提出了基于信息熵最小值原则的参数优化方法。首先，对原始振动信号在相空间重构Hankel矩阵并利用SVD进行降噪处理，采用奇异值相对变化率来确定模型的阶次；然后，对降噪后的信号进行基于FBE的带通滤波，并采用基于信息熵最小值原则的优化方法确定带通滤波器的阶数和带宽。最后，对滤波信号进行包络谱分析，提取轴承故障特征频率，并用峭度指标证明了带通滤波器的有效性。通过数值仿真和实际轴承故障数据分析，证明了该方法提取轴承故障特征频率的有效性。
关键词： 故障诊断； 滚动轴承； 奇异值分解； 频带熵； 带通滤波
中圖分类号： TH165+.3； TN911.7文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）02-0358-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.021
引言
滚动轴承是旋转机械的重要元件，其故障是造成旋转机械故障的重要原因之一。因此，对轴承的状态监测与故障诊断是机械设备故障诊断的研究热点[1]。
当滚动轴承发生故障时，其振动信号包含了大量的运行状态信息，表现为非平稳性和多分量性的调制信号，故障信号中大量的突变以及短期的丛集成分也包含在其中，特别在故障早期，由于调制源弱，故障信号微弱，并且受周围设备、环境的噪声干扰，导致故障特征频率难以提取、识别[2-3]。因此，如何提取出故障轴承的故障特征频率，对保障机械设备的正常运行具有重要意义[4]。
奇异值分解技术在故障诊断领域已有大量成果的应用，冷永刚等[5]提出了SVD分量包络检测方法，成功应用于轴承故障检测。王树青等[6]提出了基于奇异值相对变化率的模型定阶方法。B Yang等[7]将稀疏表示和位移不变K-SVD相结合应用于风力发电机的轴承故障诊断。Golafshan R等[8]将SVD和Hankel矩阵成功应用于滚动轴承，并实现故障检测。针对单独的SVD降噪效果往往不佳，张晓涛等[9]将奇异值分解与快速谱峭度算法相结合，应用于声发射监测齿轮箱轴承故障。王建国等[4]提出了将奇异值分解和局部均值分解相结合的故障特征提取方法，取得了良好的效果。
本文针对轴承早期故障微弱、低信噪比的特点，提出将SVD和基于FBE的自适应滤波技术相结合的方法，并应用于轴承的故障特征提取；针对带通滤波器的阶数和带宽参数的确定问题，提出了基于信息熵最小值的参数优化方法。对原信号进行SVD分解，并对重构信号进行基于FBE的带通滤波（利用信息熵优化其参数），包络解调分析，提取轴承故障特征频率。与理论故障特征频率比较，判断轴承故障状态。
1基础理论〖2〗1.1SVD假设有采集的轴承原始离散信号Y=[y（1），y（2），…，y（N）]，基于相空间重构理论，构造Hankel矩阵如下[4]
X=y（1）y（2）…y（n）
y（2）y（3）…y（n+1）
…………
y（N-n+1）y（N-N+2）…y（N）（1）
式中1
对矩阵X进行奇异值分解，则有X=USVT（2）式中上标“T”表示矩阵转置。U和VT分别为（N-n+1）×（N-n+1）和n×n矩阵，S为（N-n+1）×n的对角阵，主对角线元素为λi（i=1，2，…，k），且k=min（（N-n+1），n），即有S=diag（λ1，λ2，…，λk）（3）式中λ1，λ2，…，λk是矩阵X的奇异值，且有λ1≥λ2≥…≥λk≥0，U和VT表示左右奇异阵。
奇异值在模型的阶次k处会产生突降，但信号受到强噪声干扰时，非零奇异值的个数远远大于模型的阶数k，并且使得奇异值在模型阶次处的突降不明显，本文采用文献[6]提出的奇异值相对变化率进行模型的定阶。即定义模型阶次的指标如下MOi=λi-λi+1λi+1， i=1，2，…，k-1（4）由于奇异值降序排列，在突降点大的位置，模型阶次指标MOi将出现峰值，所以，认为MOi最大值，即最大峰值处的值为模型的阶次。
1.2频带熵
T Liu等[10]结合时频分析和信息熵提出了频带熵的方法，并应用于轴承故障诊断。
1.2.1频带熵
基于幅值谱熵的频带熵分析方法，计算如下[10]：
首先，对信号做时频变换（STFT实现）。对原信号x（i），i=1，2，…，N进行STFT分析，其时频分布如下TER=r1，1…r1，C
…
rM，1…rM，C（5）式中M为频率点数，C=NL，L为窗函数沿时间轴移动的步长。
其次，第i个频率分量的幅值沿时间的变化定义为Xfi=（ri，1，ri，2，…，ri，C），则单个频率分量的频带熵可以由下式估计Hsi=-∑Cm=1pm，iln（pm，i）/lnC
pm，i=Xfi（Fm）/∑Cm=1Xfi（Fn）
∑Cm=1pm，i=1（6）式中F为频率分量Xfi沿时间轴的谱分布，其变化揭示了该频率分量沿时间轴的变化情况。
最后，计算每个频率分量的频带熵值，得到全频带的各个频率分量的频带熵分布如下Hsf=（Hs1，Hs2，…，HsM）（7）第2期李华，等： 基于SVD和熵优化频带熵的滚动轴承故障诊断研究振 动 工 程 学 报第31卷如果频率分量Xfi随时间的变化较平缓或规律变化，则该频率分量的频带熵值较小；若在某段时间内有复杂的波动，则频带熵值较大。在轴承故障诊断中可用于寻找轴承的共振频率[11]，即频带熵值最小处的频率分量（H=min（Hsf）），为自适应滤波的参数设计提供参考。
1.2.2基于频带熵的包络分析
利用频带熵设计自适应滤波器，对滤波后的信号进行Hilbert包络分析获取轴承的故障特征频率。
首先计算不同窗长度下的频带熵值，窗长度为Nw=2k，k=1，2，…，M。
然后设计带通滤波器。选择频带熵值最小处对应的频率分量作为滤波器的中心频率f0，利用STFT的窗长度Nw估计滤波器的带宽Δf≈a·fs/Nw，fs为信号采样频率[12]。
最后，对滤波后的信号进行包络分析提取轴承故障特征频率。
1.3信息熵
假设一个随机序列x（n）=（x1，x2，…，xn）含有N个可能值，取得这些值的概率分布为P=（p1，p2，…，pn），则序列的信息熵为[13]H（x）=-∑Ni=1pilgpi（8）信息熵描述了系统的不确定程度。当概率分布P的不确定度越大时，对应的熵值就会越大；反之，当P的不确定度越小时，熵值也越小。因此，若分解得到的频带包含故障信息，由于周期冲击的缘故，其表现的越有序，熵值小。基于此，本文提出利用信息熵优化基于FBE的带通滤波器参数。
1.4基于SVD-FBE的故障特征提取
在SVD分析中，随机噪声对各阶的贡献几乎相等，即随机噪声几乎均匀分布在各阶，这造成了单独使用SVD降噪效果往往不理想。基于此，本文提出了SVD与FBE相结合的轴承故障诊断方法，将FBE的自适应带通滤波器设计能力与SVD的通频带降噪能力结合，对微弱轴承故障特征频率进行提取。并且，文中还对基于FBE的带通滤波器的带宽和阶数进行了基于信息熵最小值的优化。算法流程图如图1所示。
本文所述方法的具体步骤如下：
（1）对采集的轴承原始振动信号进行基于相空间重构，获得Hankel矩阵；
（2）对信号进行SVD分解降噪处理，并利用奇异值相对变化率进行模型定阶；
（3）对降噪信号进行FBE分析，设计自适应带通滤波器，并利用信息熵最小值原则优化带通滤波器的带宽和阶数；
（4）对上述滤波后的信号进行包络解调分析，提取轴承故障特征频率，并与理论值进行比较，判断轴承故障部位。
图1诊断方法流程图
Fig.1The flow chart of fault diagnosis2信号仿真分析
为验证上述分析方法的有效性，本文将轴承内圈故障的仿真信号进行分析，滚动轴承的仿真信号可通过下式得到[10]x（t）=∑Mi=1Ais（t-iT-τi）+n（t）
Ai=A0cos（2πQt+φA）+CA
s（t）=e-Btsin（2πfnt+φw）（9）系统采样频率fs=12000 Hz，结构共振频率fn=3000 Hz，内圈故障频率fi为100 Hz，转频fr=28 Hz，阻尼比B=500。为了验证算法的有效性，添加信噪比为-5 dB的随机噪声。图2为仿真信号时域波形和包络谱。由图2（a），该信号中包含复杂噪声信息。图2（b）的原始信号包絡谱，虽然能提取到故障特征频率，但存在很严重的噪声影响。因此，需要进一步提高信噪比。
图2内圈故障仿真信号
Fig.2Simulated signal with inner race defect2.1SVD分析
对原始振动信号进行SVD分析，首先相空间重构Hankel矩阵，利用SVD对信号进行降噪处理，采用奇异值相对变化率确定模型阶次。为了能清楚地显示奇异值的相对变化率，本文仅给出前50个点的奇异值相对变化率，如图3所示。由图3可知，在第二个奇异值处出现最大突降。故将前2个分量进行叠加重构，得到降噪后的信号。
图3奇异值相对变化率
Fig.3The relative rate of change in singular values
对上述的重构信号进行包络分析，其包络谱如图4所示。由图4可知，其重构信号包络谱可以提取出故障特征频率且相比于原信号包络图2（b），通
图4重构信号包络谱
Fig.4Envelope spectrum of reconstructed signal频带噪声有明显的减少，故障特征频率的幅值增大，但仍被噪声包围。因此，需要对重构信号进行再降噪处理。
2.2基于频带熵的带通滤波分析
2.2.1频带熵分析
为了能更加清晰地提取故障特征，提高信号信噪比，在原始信号经过SVD降噪后，采用基于FBE的自适应带通滤波器对原信号进行进一步的降噪处理，并对带通滤波器的带宽和阶数进行信息熵最小值的优化。
从图5可知，共振频率为3000 Hz，即带通滤波器中心频率为fn=3000 Hz。且最优的窗长Nw=128。
图5内圈故障仿真信号频带熵分析
Fig.5Analysis of FBE of the simulated signal of the inner fault2.2.2带通滤波器参数优化
利用信息熵最小值优化带通滤波器的阶数和带宽。经过分析，在不影响精度的前提下，首先在经验的带宽基础上优化带通滤波器阶数，然后在此最优阶数下确定滤波器的带宽，有利于提高运行效率。故取带宽系数Δf=a·fs/N*w，a=1.5。可得当滤波器阶数M=23时具有信息熵最小值（0.5546），因此，选取滤波器最优阶数为M=23。然后，利用信息熵最小值原则，在最优阶数M下优化带宽参数a。
当a取0.8时，具有熵最小值（0.554）。因此，最优带宽系数取a=0.8。带宽系数a和信息熵的关系如图6所示。
图6带宽系数与熵的关系
Fig.6The relationship between bandwidth coefficient and entropy
优化后的带通滤波器参数对为[M，a]=[23，0.8]。对上述重构信号进行滤波降噪，然后进行包络解调分析。如图7所示的包络谱，能够清晰地提取轴承的故障特征频率及其转频，边带也很清晰。与图4比较可知，经过带通滤波极大地剔除了宽频带噪声，提高了信噪比。证明了本文提出方法的有效性。
图7滤波信号包络谱
Fig.7Envelope spectrum of filtered signal
为说明效果，分别求取SVD重构信号和滤波信号的时域波形及其所对应的峭度指标，如图8（a），（b）所示。从8（a）中，无法清晰地提取冲击特征。而图8（b）中，冲击特征明显，可见滤波降噪具有良好效果。从峭度指标看，SVD重构信号的峭度值为3.4419，而带通滤波后的峭度值为8.3888，有明显的增幅。因此，证明了本文提出的信息熵优化带通滤波器参数的有效性。图8对比分析
Fig.8Comparative analysis3实验验证及分析
为了验证本文方法的有效性，对实际轴承数据进行了分析。数据来源于美国西储大学电气工程实验室的轴承数据[14]，轴承的型号为6205RS JEM SKF，采样频率fs=12000 Hz，试验数据选择转速为1730 r/min，负载为3 hp（2.205 kW），故障尺寸为0.021″，驱动端轴承在内圈故障状态下的数据。理论计算得到的滚动轴承转频fr=28.83 Hz和内圈故障特征频率fi=155.7 Hz。
图9内圈故障时域波形及频谱
Fig.9Time domain waveform and spectrum of inner fault
如图9（a），（b）所示为轴承内圈故障的原始信号时域波形和频谱，虽然在时域波形中有比较明显的冲击特征，但仍含有复杂的噪声信息。而频谱中无法提取故障特征频率。因此，有必要对信号进行预处理，提高其信噪比。
3.1SVD分析
如图10所示，为了能清楚地显示奇异值的相对变化率，画出前50个点的奇异值相对变化率。在第二个奇异值处出现最大突降。所以，将前2个分量进行叠加重構，即可得到降噪后的信号。
图10奇异值相对变化率
Fig.10The relative rate of change in singular values
图11内圈故障重构包络谱
Fig.11The envelope spectrum of reconstructed signal of inner fault将重构信号进行包络分析，其包络谱如图11所示。由图11可知，对原始轴承内圈振动信号进行SVD 降噪，可以提取出轴承故障特征频率，但故障特征频率被噪声包围。需要进一步对信号进行降噪处理。
3.2基于FBE的带通滤波器分析及参数优化
为了能够更加清晰地提取故障特征，在原始信号经过SVD降噪后，采用基于FBE的自适应带通滤波器对重构信号进行再降噪处理，并对滤波器的参数进行信息熵最小值的优化。
基于FBE，此处选择最优窗长度为Nw=128来设计带通滤波器，计算得自适应滤波器的参数为：中心频率取f0=2830 Hz，带宽为Δf=a·fsNw。同样地，首先经验的取a=1.5，可得滤波器阶数M=24时具有信息熵最小值（0.6909），因此，选取滤波器最优阶数为M=24；然后在此最优阶数M下优化带宽参数a。可得当a取3时，具有熵最小值（0.6896）。因此，最优带宽系数取为a=3。带宽系数a和信息熵的关系如图12所示。
由以上分析，可得优化后的带通滤波器参数对为[M，a]=[24，3]。对重构信号进行滤波降噪，然后进行包络解调分析。如图13所示的包络谱，能够清晰地提取轴承的故障特征频率、倍频及其转频，边带也很清晰。与图11比较可知，经过带通滤波极大地剔除了宽频带噪声，提高了信噪比。同样证明了本文提出方法的有效性。
图12带宽系数与熵的关系
Fig.12The relationship between bandwidth coefficient and entropy图13滤波信号包络谱
Fig.13Envelope spectrum of filtered signal同样地，在这里分别求取了SVD重构信号和滤波信号的时域波形及其峭度指标，如图14（a），（b）所示。从图14（a）可知，SVD重构信号冲击薄弱，对原信号有一定的失真，而在经过信息熵优化的带通滤波器滤波后，如图14（b）所示有明显的冲击特征。从峭度指标看，峭度从重构信号的3.2672增加到带通滤波后的5.3342，有明显的增幅。因此，也说明了本文方法的有效性。
为了说明信息熵最小值优化参数的优势，在这里人为的取带通滤波器参数[M，a]=[20，1.5]，
图14对比分析
Fig.14Comparative analysis图15参数为[20，1.5]的包络谱
Fig.15Envelope spectrum with parameters [20， 1.5]设计带通滤波器对重构信号进行带通滤波，滤波后的包络谱如图15所示。与图13相比，虽然能够提取故障特征频率，但明显存在更多的噪声影响，所以相比于人为决策，本文提出的信息熵优化带通滤波器参数的方法具有较高的可靠性，优势较为明显。
4结论
本文针对滚动轴承故障信号容易受周围环境噪声等的干扰、信噪比低等问题，单一的SVD方法往往达不到良好的降噪效果，提出了将SVD和基于FBE的自适应滤波相结合的解决方案，并且针对基于FBE的带通滤波器带宽和阶数需经验确定的问题，提出了基于信息熵最小值原则的参数优化方法。通过对仿真信号和实际轴承故障振动信号的处理及对比分析，结果表明该方法能够有效地滤除噪声干扰，提取各状态故障特征频率，达到比单一的SVD更好的效果。同时，以峭度为指标进行对比分析，也证明了本文提出的FBE带通滤波器参数优化方法的有效性。本文提出的滚动轴承故障诊断方法，对比理论故障特征频率可以将各种故障状态清晰地分离出来。参考文献：
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Research on fault diagnosis of rolling bearing based on SVD
and optimized frequency band entropy by entropy
LI Hua， LIU Tao， WU Xing， CHEN Qing
（Faculty of Mechanical and Electrical Engineering， Key Laboratory of Vibration & Noise under Ministry of
Education of Yunnan Province， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）
Abstract： According to the problem that in singular value decomposition （SVD）， the contributions of random noise to each order are almost equal， which results in the unsatisfactory effect of noise reduction using SVD alone， a fault feature extraction method based on SVD and frequency band entropy （FBE） is proposed. Aiming at the order and bandwidth of the FBE-based band-pass filter which need to be determined by experience， a novel method of parameters optimization based on the principle of information entropy minimum is proposed. Firstly， the Hankel matrix is reconstructed from the original vibration signal in the phase space and the SVD method is used to reduce the noise. The singular value relative change rate is used to determine the order of the model.Then， FBE-based band-pass filtering is performed on the noise-reduced signal， and an optimization method based on the principle of information entropy minimum is used to determine the order and bandwidth of band-pass filter.Finally， the filtered signal is subjected to envelope analysis to extract the characteristic frequency of the bearing fault， and the effectiveness of the band-pass filter is proved by the kurtosis index. Through the numerical simulation and the analysis of the actual bearing fault data， the effectiveness of the method to extract the characteristic frequency of the bearing fault is validated.
Key words： fault diagnosis； rolling element bearing； singular value decomposition（SVD）； frequency band entropy； band-pass filtering
