基于匹配追踪算法阈值改进的MIMO?OFDM信道估计研究
吴君钦+李宁+王加莉
摘 要： 对于MIMO?OFDM系统信道估计的研究在国内外已经取得了一定的成果，其中采用CoSaMP算法进行信道估计时支撑候选集的选择尤为重要。采用CoSaMP算法对MIMO?OFDM信道进行估计，并在此基础上引入原子弱选择标准对候选集进行更进一步的优化，使改进后的CoSaMP算法在达到自适应的同时提高运算速率，达到信道估计算法自适应的目的。实验结果表明，对CoSaMP算法的候选集选择添加阈值后进行重构信号时复杂度降低，提高了运算速率，同时均方根误差较CoSaMP算法和OMP算法都有一定的提高。
关键词： 信道估计； 压缩感知； MIMO?OFDM； 原子弱选择； CoSaMP算法； OMP算法
中图分类号： TN92?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）01?0009?04
Abstract： The study on channel estimation of MIMO?OFDM system has gotten a certain achievement at home and abroad， in which it is particularly important for channel estimation to use the CoSaMP algorithm to support candidate set selection. The CoSaMP algorithm is adopted for estimation of the MIMO?OFDM channel. And on this basis， the atomic weak selection criteria is introduced to optimize the candidate set further， which can improve the computing speed while making the improved CoSaMP algorithm realize self?adaptation. The experimental results show that the improved CoSaMP algorithm can reduce the complexity of signal reconstruction while the threshold is selected and added into the candidate set of the algorithm and improve the computing speed， and its root?mean?square error is better than that of the CoSaMP algorithm and OMP algorithm.
Keywords： channel estimation； compressed sensing； MIMO?OFDM； atomic weak selection； CoSaMP algorithm； OMP algorithm
0 引 言
正交频分复用（OFDM）技术在无线通信传输中的运用提高了无线传输效率。与多输入多输出（MIMO）技术相结合，能提高系统的通信质量和系统容量[1]。在现有的无线通信环境中，无线频谱资源相当匮乏，MIMO?OFDM系统能有效提高资源利用率和对抗信号频率的选择性衰落。信号在传输过程中会产生符号间干扰（Inter Symbol Interference，ISI），因此，要对信道的状态信息进行估计，从而减少符号间的干扰，提高传输质量，发挥其优越性[2]。传统的信道估计算法没有充分考虑信号的特性，文献[3]对信道频域自相关矩阵采用矩阵低秩逼近得到信道响应，该算法对精度有一定的提高，但是运算量较大，存在一定的复杂度问题，现实中运用存在一定的难度。近年来实验研究表明，信号在传输过程中大多数能量主要集中在少数几个信道路径上，体现信号的传输具有稀疏性[4]。根据信号的这一先验知识，DL Donoho等人在2006年提出了压缩感知（Compressed Sensing，CS）[5]技术，极大地提高了信道估计的速率和精确度。压缩感知技术的提出和证明，随即在生物传感、图像处理、信号处理等领域取得了一定的研究成果。文献[6]采用匹配追踪算法（MP），相比于传统利用最小二乘估计算法（LS）信道估计复杂度降低，以较少的导频达到较高的信道恢复效果。文献[7]运用正交匹配追踪算法（OMP）对OFDM系统进行信道估计，仿真结果显示具有很好的效果，但是存在复杂度的问题，并且需要稀疏度已知。
本文在匹配追踪算法的基础上进行优化，并通过系统仿真证明，利用CoSaMP算法对MIMO?OFDM系统进行信道估计，在保证精确的基础上，算法的运算速率还有一定的提升空间。
1 MIMO?OFDM系统原理
假设MIMO?OFDM系统在发射端有[Nt]根天线，在接收端有[Nr]根天线，子载波个数为[K。]将发送的数据[X]分成[Nt]个数据块[Xi，]其中[i=1，2，…，Nt，]原理图如图1所示。信道参数为选择性衰落信道，并且该信道满足压缩感知的稀疏性，且稀疏信道的相干时间远大于OFDM的符号周期。则第[m]根发送天线与第[n]根接收天线之间的响应为：
[hnm=i=0N-1hnmiδτ-τi] （1）
式中：[N]为信道的多径数；[hnm]为第[i]徑的复增益；[τi]为第[i]径的时延。其在子载波[k]处的频域信道响应为：
[Hnmk=t=0N-1hnmtWktK] （2）
式中[WktK=exp-2πjktK。]
对发射端的数据块[Xi]分别进行IFFT变换，然后插入循环前缀（Cyclic Prefix，CP），其中假设循环长度要大于最大的路径时延，这样就可以忽略系统的载波间干扰和符号间干扰。最后进行并/串转换后通过天线进行无线传输。在接收端，接收天线对数据进行发送前的逆处理得到输出信号。假设OFDM系统采取[N]点傅里叶变换，系统中有[P]个导频信号分别位于子载波[k1，k2，…，kp]上，用于信道估计。则在第[n]根接收天线接收到的信号表示为：
[ynk=m=1NtHnmkXmk+Znk] （3）
式中：[ynk]和[Xmk]为第[n]根接收天线和第[m]根发送天线在第[k]个子载波上接收和发送的信号；[Hnmk]为第[m]根天线与第[n]根天线在[k]上的频域冲击响应。
由式（3）可知，第[n]根天线上接收的导频信号表示为：
[yn=m=1NtdiagXmHnm+Zn] （4）
式中：[yn=ynk1，ynk2，…，ynkpT]为第[n]根天线接收到的导频信号；[Xm=Xmk1，Xmk2，…，Xmkp]为第[m]根天线发送的导频信号；[Zn]是均值为零，方差为[σ2n]的高斯白噪声；[Hnm=Hnmk1，Hnmk2，…，Hnmkp]代表第[m]根天线与第[n]根天线间的信道频域冲击响应。令[F]为傅里叶变换矩阵：
[F=1KW00KW01K…W0K-1KW10KW11K…W1K-1K????WK-10KWK-11K…WK-1K-1K] （5）
则式（4）可以表示为：
[yn=m=1NtdiagXmFLhnm+Zn] （6）
令[hn=hTn1，hTn2，…，hTNNtT]为[NtN×1]的列向量；[X=diagx1FN，diagx2FN，…，diagxNtFN]为[P×NtN]维矩阵，则式（6）为：
[yn=Xhn+Zn] （7）
式（7）为MIMO?OFDM系统模型，可以表示为：
[y=Xh+Z] （8）
2 压缩感知
2.1 压缩感知综述
压缩感知的提出突破了信号处理对于奈奎斯特抽样定理的限定，其原理是利用非线性优化从线性观测中恢复逼近出原始信号。该方法对稀疏信号能以较低的采样频率采样，并在接收端转化为求解最优化的问题，能达到压缩的目的，从而提高资源利用率。由式（8）知压缩感知观测恢复模型为：[y=Xh+Z。]式中，[X]为[M×N]维测量矩阵（[M?N]），[Z]为随机高斯白噪声，其中假设一个有限长信号[h，][h∈RN×1，][h]在某个变换域[ψ]上是稀疏的，信号[h]可表示为：
[h=i=1Nθiψi 或 h=ψθ] （9）
并且这里要求[X]满足“限制等距特性（RIP）”[8]，测量矩阵[X]与[K]稀疏信号[h]和常数[δK∈（0，1）]满足[K]阶约束等距性，即：
[1-δKh22≤Xh22≤1+δKh22] （10）
式中[h22=i=1Nhi2]表示矢量信号[h]的2阶范数。
本文采取随机高斯矩阵作为观测矩阵[Φ，]理论证明当[M≥cKlogNK]时高斯矩阵在很大概率下具有RIP性质[9]，且随机高斯矩阵与大多数矩阵具有很好的不相关性。对于接收端接收到的观测值[y，]通过转化为求解一个最优[l0]范数问题来重构原始信号。
[minψTX0s.t. ACSX≈?ψTX=Y] （11）
本文采用贪婪算法对观测信号进行估计，通过每次迭代过程选出一个或多个最优解来逐步逼近，达到最大限度恢复出原始信号的目的。这类算法包括MP算法、OMP算法、CoSaMP算法等，相比于其他类恢复算法，具有实时性和重建信号的维数较小等优点。
2.2 稀疏信道估计算法
CoSaMP算法在进行信道估计时需要已知信号的稀疏度，并且复杂度较高。本文基于压缩感知匹配追踪算法来降低复杂度和稀疏度自适应改进，并在此基础上使用原子弱选择标准[10]进行筛选，使候选集的选择更加精确，使算法的复杂度有所降低。
CoSaMP算法如下：
输入：观测值[y，]恢复矩阵[A，]稀疏度[K]
输出：信号的稀疏逼近
① 初始化[r0=y，][i=1，][Ω0=?；]
② 求残差向量与恢复矩阵的内积，[θ=ATri-1；]
③ 内积的前[2K]为索引，[P=supθ2K]；
④ 更新索引集，[P=P?Ωi-1；]
⑤ 最小二乘法，[θP=A+：，Py；]
⑥ 选取前[K]个值，[θ=θK；]
⑦ 更新残差向量，[ri=y-Aθ。]
从传统的CoSaMP算法中可以看出，该算法每次在对索引进行选择时都为[2K，]而在进一步的选择时为[K，]因而这些下标存在冗余，并且随着残差能量的减少，冗余效果更加明显，因此，该算法的预选方案会使算法的复杂度提高。另外，传统CoSaMP算法在稀疏度已知情况下进行信道估计，限制了该算法的实际运用。本文在不影响算法效果的同时，通过对该算法预选阶段的改进对该算法进行优化和提升，并实现稀疏度自适应，以达到提高算法运算速率的目的。
改进后的算法在CoSaMP算法基础上采用自适应恢复算法，并在预选阶段采用原子弱选择标准进行筛选，降低算法的复杂度，原子弱选择标准如下：
[i：gj≥α?maxjgj] （12）
式中：[α∈（0，1]]；[gjgj=j=1，2，…，N]為观测矩阵[A]与残差矩阵的内积。
在求得残差与每一列内积后的索引值时，通过式（12）进行进一步筛选，减少索引的冗余，降低算法的复杂度。本算法的优点实现了算法自适应，并在此基础上提高了算法的运算速率。
CoSaMP算法阈值改进后的流程如下：
输入：观测值[y，]恢复矩阵[A，]初始化支撑集尺寸[step_size]
输出：信号估计值
1） 算法初始化。
初始化残差[r0=y；]初始化支撑集[S=step_size；]索引集[Ω0=?；]迭代次数[i=1；]阶段次数[n=1。]
2） 循环迭代过程。
① 计算残差[rn-1]与矩阵[A]的每一列的内积，[u=ATrn-1，]并将[u]的绝对值中[2S]个最大值对应的索引存入[P]中。
② 原子弱选择：从[2S]个原子中选取所有满足[i：gj≥α?maxjgj]的脚标存入候选集[Jn-1]中。
③ 更新候选集[Ωn-1=Ωn?Jn-1]。
④ 获取索引内新的估计值[hn=X+Ωny]。
⑤ 选取最大的[S]个主要抽头系数，其他非主要抽头系数置0，[ΩnD=suphnS]。
⑥ 更新残差向量。若新的残差能量大于上次残差能量，[n=n+1]，[S=S×n]。
⑦ 循环①～⑥，直到满足迭代停止条件。其中，本文的停止条件为[hn-h22≤10-3S≥64]。
改进后的CoSaMP算法在得到原子候选集后，通过原子弱选择的阈值选择优化准则后，降低了原算法在预选阶段的冗余，在实际应用中原子的预选阶段对算法精确度的影响不是很大，而且提高了算法的复杂度，因此，在预选阶段对原子的选择引用原子弱选择标准对CoSaMP算法进行阈值改进，在不影响精确度的同时能够降低算法的复杂度。
3 实验分析
MIMO?OFDM系统信道为选择性衰落信道，采用Simulink绘制，其参数为：[Nt=2，][Nr=2，]调制方式为QAM调制，子载波个数[N=1 024，]其中导频子载波个数为56，信道长度[L=32，]其中原子弱选择标准中的[α]取0.5，假设系统的参数在一个OFDM符号周期内不变化。本文采用均方根误差来反应信道估计误差，[αRMSE]越小则说明估计误差越小。均方根误差表示为：
[αRMSE=1Mm=1Mh-hm22] （13）
式中[M]为蒙特卡洛仿真次数。
仿真结果验证了CoSaMP算法在引入原子弱選择标准进行阈值改进，在不影响复杂度的前提下降低了算法的复杂度，提高了算法的运算速率。图2为不同信噪比下的LS算法、OMP算法、CoSaMP算法及改进后的CoSaMP算法的效果仿真图。
在MIMO?OFDM系统中，采用OMP算法、CoSaMP算法及改进后的CoSaMP算法较传统的LS算法的均方根误差值有很大的提高，并且改进后的CoSaMP算法与传统的CoSaMP算法的均方根误差相似，说明CoSaMP算法在通过原子弱选择标准进行阈值改进后对算法的精确度没有影响。
由于算法的复杂度决定了运算速率，对算法的实际应用具有很大的影响，因此算法的复杂度在进行信道估计应用中至关重要。图3是各算法复杂度与LS算法比值的仿真图，本文仿真硬件参数为Intel i5?3210M，CPU为2.50 GHz，RAM为4.00 GB，Microsoft Windows 7操作系统。本文中用运算时间对算法的复杂度进行近似估计，即表示为：
[R1=O（OMP）O（LS）R2=O（CoSaMP）O（LS）R3=O（改进CoSaMP）O（LS）]
式中：[O（?）]表示复杂度符号；[R1，][R2，][R3]为比值。
从图3中可以看出，改进后的CoSaMP算法在复杂度上较CoSaMP算法有很大的提高。其中改进后的算法在运算时间上大概是LS算法的2倍，而CoSaMP算法是LS算法的10倍左右。结合图2、图3可以证明，改进后的算法在不影响精确度的情况下提高了算法的运算速率，减少了运算时间。
4 结 语
本文在MIMO?OFDM信道估计研究成果的基础上对CoSaMP算法进行阈值改进，并对LS，OMP，CoSaMP算法进行仿真比较，结果表明改进后的CoSaMP算法在运算复杂度上有较大降低，提高了算法的运算速率。进一步研究表明，改进后的CoSaMP算法在降低复杂度的前提下，算法的均方误差的性能还有提升的空间，这也是以后研究的目标。
参考文献
[1] STUBER G L， BARRY J R， MCLAUGHLIN S W， et al. Broadband MIMO?OFDM wireless communications [J]. Proceedings of the IEEE， 2004， 92（2）： 271?294.
[2] 朱立君，周围.MIMO?OFDM系统中的信道估计算法综述[J].郑州轻工业学院学报（自然科学版），2009，24（2）：87?90.
ZHU Lijun， ZHOU Wei. Overview of channel estimation algorithms in MIMO?OFDM systems [J]. Journal of Zhengzhou University of Light Industry （natural science）， 2009， 24（2）： 87?90.
[3] WANG Z J， HAN Z， LIU K J R. A MIMO?OFDM channel estimation approach using time of arrivals [J]. IEEE transactions on wireless communications， 2005， 4（3）： 1207?1213.
[4] LI W， PREISIG J C. Estimation of rapidly time?varying sparse channels [J]. IEEE journal of oceanic engineering， 2007， 32（4）： 927?939.
[5] DONOHO D L. Compressed sensing [J]. IEEE transactions on information theory， 2006， 52（4）： 1289?1306.
[6] COTTER S F， RAO B D. Sparse channel estimation via mat?ching pursuit with application to equalization [J]. IEEE transactions on communications， 2002， 50（3）： 374?377.
[7] 何雪云，宋荣方，周克琴.基于压缩感知的OFDM系统稀疏信道估计新方法研究[J].南京邮电大学学报（自然科学版）， 2010，30（2）：60?65.
HE Xueyun， SONG Rongfang， ZHOU Keqin. A novel method for sparse channel estimation in OFDM systems based on compressed sensing [J]. Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications （natural science）， 2010， 30（2）： 60?65.
[8] BAJWA W U， SAYEED A， NOWAK R. Sparse multipath channels： modeling and estimation [C]// Proceedings of the 13th Digital Signal Processing Workshop. Marco Island： IEEE， 2009： 320?325.
[9] BARANIUK R G. A lecture on compressive sensing [J]. IEEE signal processing magazine， 2007（7）： 1?9.
[10] BLUMENSATH T， DAVIES M E. Stagewise weak gradient pursuits [J]. IEEE transactions on signal processing， 2009， 57（11）： 4333?4346.
摘 要： 对于MIMO?OFDM系统信道估计的研究在国内外已经取得了一定的成果，其中采用CoSaMP算法进行信道估计时支撑候选集的选择尤为重要。采用CoSaMP算法对MIMO?OFDM信道进行估计，并在此基础上引入原子弱选择标准对候选集进行更进一步的优化，使改进后的CoSaMP算法在达到自适应的同时提高运算速率，达到信道估计算法自适应的目的。实验结果表明，对CoSaMP算法的候选集选择添加阈值后进行重构信号时复杂度降低，提高了运算速率，同时均方根误差较CoSaMP算法和OMP算法都有一定的提高。
关键词： 信道估计； 压缩感知； MIMO?OFDM； 原子弱选择； CoSaMP算法； OMP算法
中图分类号： TN92?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）01?0009?04
Abstract： The study on channel estimation of MIMO?OFDM system has gotten a certain achievement at home and abroad， in which it is particularly important for channel estimation to use the CoSaMP algorithm to support candidate set selection. The CoSaMP algorithm is adopted for estimation of the MIMO?OFDM channel. And on this basis， the atomic weak selection criteria is introduced to optimize the candidate set further， which can improve the computing speed while making the improved CoSaMP algorithm realize self?adaptation. The experimental results show that the improved CoSaMP algorithm can reduce the complexity of signal reconstruction while the threshold is selected and added into the candidate set of the algorithm and improve the computing speed， and its root?mean?square error is better than that of the CoSaMP algorithm and OMP algorithm.
Keywords： channel estimation； compressed sensing； MIMO?OFDM； atomic weak selection； CoSaMP algorithm； OMP algorithm
0 引 言
正交频分复用（OFDM）技术在无线通信传输中的运用提高了无线传输效率。与多输入多输出（MIMO）技术相结合，能提高系统的通信质量和系统容量[1]。在现有的无线通信环境中，无线频谱资源相当匮乏，MIMO?OFDM系统能有效提高资源利用率和对抗信号频率的选择性衰落。信号在传输过程中会产生符号间干扰（Inter Symbol Interference，ISI），因此，要对信道的状态信息进行估计，从而减少符号间的干扰，提高传输质量，发挥其优越性[2]。传统的信道估计算法没有充分考虑信号的特性，文献[3]对信道频域自相关矩阵采用矩阵低秩逼近得到信道响应，该算法对精度有一定的提高，但是运算量较大，存在一定的复杂度问题，现实中运用存在一定的难度。近年来实验研究表明，信号在传输过程中大多数能量主要集中在少数几个信道路径上，体现信号的传输具有稀疏性[4]。根据信号的这一先验知识，DL Donoho等人在2006年提出了压缩感知（Compressed Sensing，CS）[5]技术，极大地提高了信道估计的速率和精确度。压缩感知技术的提出和证明，随即在生物传感、图像处理、信号处理等领域取得了一定的研究成果。文献[6]采用匹配追踪算法（MP），相比于传统利用最小二乘估计算法（LS）信道估计复杂度降低，以较少的导频达到较高的信道恢复效果。文献[7]运用正交匹配追踪算法（OMP）对OFDM系统进行信道估计，仿真结果显示具有很好的效果，但是存在复杂度的问题，并且需要稀疏度已知。
本文在匹配追踪算法的基础上进行优化，并通过系统仿真证明，利用CoSaMP算法对MIMO?OFDM系统进行信道估计，在保证精确的基础上，算法的运算速率还有一定的提升空间。
1 MIMO?OFDM系统原理
假设MIMO?OFDM系统在发射端有[Nt]根天线，在接收端有[Nr]根天线，子载波个数为[K。]将发送的数据[X]分成[Nt]个数据块[Xi，]其中[i=1，2，…，Nt，]原理图如图1所示。信道参数为选择性衰落信道，并且该信道满足压缩感知的稀疏性，且稀疏信道的相干时间远大于OFDM的符号周期。则第[m]根发送天线与第[n]根接收天线之间的响应为：
[hnm=i=0N-1hnmiδτ-τi] （1）
式中：[N]为信道的多径数；[hnm]为第[i]徑的复增益；[τi]为第[i]径的时延。其在子载波[k]处的频域信道响应为：
[Hnmk=t=0N-1hnmtWktK] （2）
式中[WktK=exp-2πjktK。]
对发射端的数据块[Xi]分别进行IFFT变换，然后插入循环前缀（Cyclic Prefix，CP），其中假设循环长度要大于最大的路径时延，这样就可以忽略系统的载波间干扰和符号间干扰。最后进行并/串转换后通过天线进行无线传输。在接收端，接收天线对数据进行发送前的逆处理得到输出信号。假设OFDM系统采取[N]点傅里叶变换，系统中有[P]个导频信号分别位于子载波[k1，k2，…，kp]上，用于信道估计。则在第[n]根接收天线接收到的信号表示为：
[ynk=m=1NtHnmkXmk+Znk] （3）
式中：[ynk]和[Xmk]为第[n]根接收天线和第[m]根发送天线在第[k]个子载波上接收和发送的信号；[Hnmk]为第[m]根天线与第[n]根天线在[k]上的频域冲击响应。
由式（3）可知，第[n]根天线上接收的导频信号表示为：
[yn=m=1NtdiagXmHnm+Zn] （4）
式中：[yn=ynk1，ynk2，…，ynkpT]为第[n]根天线接收到的导频信号；[Xm=Xmk1，Xmk2，…，Xmkp]为第[m]根天线发送的导频信号；[Zn]是均值为零，方差为[σ2n]的高斯白噪声；[Hnm=Hnmk1，Hnmk2，…，Hnmkp]代表第[m]根天线与第[n]根天线间的信道频域冲击响应。令[F]为傅里叶变换矩阵：
[F=1KW00KW01K…W0K-1KW10KW11K…W1K-1K????WK-10KWK-11K…WK-1K-1K] （5）
则式（4）可以表示为：
[yn=m=1NtdiagXmFLhnm+Zn] （6）
令[hn=hTn1，hTn2，…，hTNNtT]为[NtN×1]的列向量；[X=diagx1FN，diagx2FN，…，diagxNtFN]为[P×NtN]维矩阵，则式（6）为：
[yn=Xhn+Zn] （7）
式（7）为MIMO?OFDM系统模型，可以表示为：
[y=Xh+Z] （8）
2 压缩感知
2.1 压缩感知综述
压缩感知的提出突破了信号处理对于奈奎斯特抽样定理的限定，其原理是利用非线性优化从线性观测中恢复逼近出原始信号。该方法对稀疏信号能以较低的采样频率采样，并在接收端转化为求解最优化的问题，能达到压缩的目的，从而提高资源利用率。由式（8）知压缩感知观测恢复模型为：[y=Xh+Z。]式中，[X]为[M×N]维测量矩阵（[M?N]），[Z]为随机高斯白噪声，其中假设一个有限长信号[h，][h∈RN×1，][h]在某个变换域[ψ]上是稀疏的，信号[h]可表示为：
[h=i=1Nθiψi 或 h=ψθ] （9）
并且这里要求[X]满足“限制等距特性（RIP）”[8]，测量矩阵[X]与[K]稀疏信号[h]和常数[δK∈（0，1）]满足[K]阶约束等距性，即：
[1-δKh22≤Xh22≤1+δKh22] （10）
式中[h22=i=1Nhi2]表示矢量信号[h]的2阶范数。
本文采取随机高斯矩阵作为观测矩阵[Φ，]理论证明当[M≥cKlogNK]时高斯矩阵在很大概率下具有RIP性质[9]，且随机高斯矩阵与大多数矩阵具有很好的不相关性。对于接收端接收到的观测值[y，]通过转化为求解一个最优[l0]范数问题来重构原始信号。
[minψTX0s.t. ACSX≈?ψTX=Y] （11）
本文采用贪婪算法对观测信号进行估计，通过每次迭代过程选出一个或多个最优解来逐步逼近，达到最大限度恢复出原始信号的目的。这类算法包括MP算法、OMP算法、CoSaMP算法等，相比于其他类恢复算法，具有实时性和重建信号的维数较小等优点。
2.2 稀疏信道估计算法
CoSaMP算法在进行信道估计时需要已知信号的稀疏度，并且复杂度较高。本文基于压缩感知匹配追踪算法来降低复杂度和稀疏度自适应改进，并在此基础上使用原子弱选择标准[10]进行筛选，使候选集的选择更加精确，使算法的复杂度有所降低。
CoSaMP算法如下：
输入：观测值[y，]恢复矩阵[A，]稀疏度[K]
输出：信号的稀疏逼近
① 初始化[r0=y，][i=1，][Ω0=?；]
② 求残差向量与恢复矩阵的内积，[θ=ATri-1；]
③ 内积的前[2K]为索引，[P=supθ2K]；
④ 更新索引集，[P=P?Ωi-1；]
⑤ 最小二乘法，[θP=A+：，Py；]
⑥ 选取前[K]个值，[θ=θK；]
⑦ 更新残差向量，[ri=y-Aθ。]
从传统的CoSaMP算法中可以看出，该算法每次在对索引进行选择时都为[2K，]而在进一步的选择时为[K，]因而这些下标存在冗余，并且随着残差能量的减少，冗余效果更加明显，因此，该算法的预选方案会使算法的复杂度提高。另外，传统CoSaMP算法在稀疏度已知情况下进行信道估计，限制了该算法的实际运用。本文在不影响算法效果的同时，通过对该算法预选阶段的改进对该算法进行优化和提升，并实现稀疏度自适应，以达到提高算法运算速率的目的。
改进后的算法在CoSaMP算法基础上采用自适应恢复算法，并在预选阶段采用原子弱选择标准进行筛选，降低算法的复杂度，原子弱选择标准如下：
[i：gj≥α?maxjgj] （12）
式中：[α∈（0，1]]；[gjgj=
在求得残差与每一列内积后的索引值时，通过式（12）进行进一步筛选，减少索引的冗余，降低算法的复杂度。本算法的优点实现了算法自适应，并在此基础上提高了算法的运算速率。
CoSaMP算法阈值改进后的流程如下：
输入：观测值[y，]恢复矩阵[A，]初始化支撑集尺寸[step_size]
输出：信号估计值
1） 算法初始化。
初始化残差[r0=y；]初始化支撑集[S=step_size；]索引集[Ω0=?；]迭代次数[i=1；]阶段次数[n=1。]
2） 循环迭代过程。
① 计算残差[rn-1]与矩阵[A]的每一列的内积，[u=ATrn-1，]并将[u]的绝对值中[2S]个最大值对应的索引存入[P]中。
② 原子弱选择：从[2S]个原子中选取所有满足[i：gj≥α?maxjgj]的脚标存入候选集[Jn-1]中。
③ 更新候选集[Ωn-1=Ωn?Jn-1]。
④ 获取索引内新的估计值[hn=X+Ωny]。
⑤ 选取最大的[S]个主要抽头系数，其他非主要抽头系数置0，[ΩnD=suphnS]。
⑥ 更新残差向量。若新的残差能量大于上次残差能量，[n=n+1]，[S=S×n]。
⑦ 循环①～⑥，直到满足迭代停止条件。其中，本文的停止条件为[hn-h22≤10-3S≥64]。
改进后的CoSaMP算法在得到原子候选集后，通过原子弱选择的阈值选择优化准则后，降低了原算法在预选阶段的冗余，在实际应用中原子的预选阶段对算法精确度的影响不是很大，而且提高了算法的复杂度，因此，在预选阶段对原子的选择引用原子弱选择标准对CoSaMP算法进行阈值改进，在不影响精确度的同时能够降低算法的复杂度。
3 实验分析
MIMO?OFDM系统信道为选择性衰落信道，采用Simulink绘制，其参数为：[Nt=2，][Nr=2，]调制方式为QAM调制，子载波个数[N=1 024，]其中导频子载波个数为56，信道长度[L=32，]其中原子弱选择标准中的[α]取0.5，假设系统的参数在一个OFDM符号周期内不变化。本文采用均方根误差来反应信道估计误差，[αRMSE]越小则说明估计误差越小。均方根误差表示为：
[αRMSE=1Mm=1Mh-hm22] （13）
式中[M]为蒙特卡洛仿真次数。
仿真结果验证了CoSaMP算法在引入原子弱選择标准进行阈值改进，在不影响复杂度的前提下降低了算法的复杂度，提高了算法的运算速率。图2为不同信噪比下的LS算法、OMP算法、CoSaMP算法及改进后的CoSaMP算法的效果仿真图。
在MIMO?OFDM系统中，采用OMP算法、CoSaMP算法及改进后的CoSaMP算法较传统的LS算法的均方根误差值有很大的提高，并且改进后的CoSaMP算法与传统的CoSaMP算法的均方根误差相似，说明CoSaMP算法在通过原子弱选择标准进行阈值改进后对算法的精确度没有影响。
由于算法的复杂度决定了运算速率，对算法的实际应用具有很大的影响，因此算法的复杂度在进行信道估计应用中至关重要。图3是各算法复杂度与LS算法比值的仿真图，本文仿真硬件参数为Intel i5?3210M，CPU为2.50 GHz，RAM为4.00 GB，Microsoft Windows 7操作系统。本文中用运算时间对算法的复杂度进行近似估计，即表示为：
[R1=O（OMP）O（LS）R2=O（CoSaMP）O（LS）R3=O（改进CoSaMP）O（LS）]
式中：[O（?）]表示复杂度符号；[R1，][R2，][R3]为比值。
从图3中可以看出，改进后的CoSaMP算法在复杂度上较CoSaMP算法有很大的提高。其中改进后的算法在运算时间上大概是LS算法的2倍，而CoSaMP算法是LS算法的10倍左右。结合图2、图3可以证明，改进后的算法在不影响精确度的情况下提高了算法的运算速率，减少了运算时间。
4 结 语
本文在MIMO?OFDM信道估计研究成果的基础上对CoSaMP算法进行阈值改进，并对LS，OMP，CoSaMP算法进行仿真比较，结果表明改进后的CoSaMP算法在运算复杂度上有较大降低，提高了算法的运算速率。进一步研究表明，改进后的CoSaMP算法在降低复杂度的前提下，算法的均方误差的性能还有提升的空间，这也是以后研究的目标。
参考文献
[1] STUBER G L， BARRY J R， MCLAUGHLIN S W， et al. Broadband MIMO?OFDM wireless communications [J]. Proceedings of the IEEE， 2004， 92（2）： 271?294.
[2] 朱立君，周围.MIMO?OFDM系统中的信道估计算法综述[J].郑州轻工业学院学报（自然科学版），2009，24（2）：87?90.
ZHU Lijun， ZHOU Wei. Overview of channel estimation algorithms in MIMO?OFDM systems [J]. Journal of Zhengzhou University of Light Industry （natural science）， 2009， 24（2）： 87?90.
[3] WANG Z J， HAN Z， LIU K J R. A MIMO?OFDM channel estimation approach using time of arrivals [J]. IEEE transactions on wireless communications， 2005， 4（3）： 1207?1213.
[4] LI W， PREISIG J C. Estimation of rapidly time?varying sparse channels [J]. IEEE journal of oceanic engineering， 2007， 32（4）： 927?939.
[5] DONOHO D L. Compressed sensing [J]. IEEE transactions on information theory， 2006， 52（4）： 1289?1306.
[6] COTTER S F， RAO B D. Sparse channel estimation via mat?ching pursuit with application to equalization [J]. IEEE transactions on communications， 2002， 50（3）： 374?377.
[7] 何雪云，宋荣方，周克琴.基于压缩感知的OFDM系统稀疏信道估计新方法研究[J].南京邮电大学学报（自然科学版）， 2010，30（2）：60?65.
HE Xueyun， SONG Rongfang， ZHOU Keqin. A novel method for sparse channel estimation in OFDM systems based on compressed sensing [J]. Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications （natural science）， 2010， 30（2）： 60?65.
[8] BAJWA W U， SAYEED A， NOWAK R. Sparse multipath channels： modeling and estimation [C]// Proceedings of the 13th Digital Signal Processing Workshop. Marco Island： IEEE， 2009： 320?325.
[9] BARANIUK R G. A lecture on compressive sensing [J]. IEEE signal processing magazine， 2007（7）： 1?9.
[10] BLUMENSATH T， DAVIES M E. Stagewise weak gradient pursuits [J]. IEEE transactions on signal processing， 2009， 57（11）： 4333?4346.
