变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿模型
张浩 许贝贝 陈帝伊
摘要： 为了研究变顶高尾水洞水轮机调节系统瞬态能量变化特征、揭示变顶高尾水洞水轮机调节系统稳定机理，对引水系统动力学方程进行改进，使其更准确描述变顶高尾水洞明满流运动特性。利用广义哈密顿系统在描述能量流变化的优势，构造了变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿函数，将传统水轮机调节系统仿射非线性方程转化为哈密顿系统形式。首先，从理论上验证了在广义哈密顿理论框架下，变顶高尾水洞水轮机调节系统能量流的变化与实际物理系统的一致性；其次，通过数值模拟表明，所选择的哈密顿函数可以有效地描述变顶高尾水洞水轮机调节系统在瞬态过程中能量变化特征；最后，探究了在无负荷扰动、阶跃负荷扰动和随机负荷扰动情况下，变顶高水轮机调节系统的能量变化规律。
关键词： 水动力学； 水轮机调节系统； 变顶高尾水洞； 哈密顿模型； 负荷扰动
中图分类号： TV136+.1； TK730.1； TV737文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）02-0323-06
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.016
引言
尾水系统是水电站系统的重要组成部分，主要有三种形式，分别是无压隧洞、有压隧洞和变顶高尾水洞[1-3]。变顶高尾水洞是水电站尾水系统的一种新形式，在一定条件下可以替代尾水调压室[4-6]。变顶高尾水隧洞的特点是下游水位与洞顶的某一处相衔接，将尾水洞分为有压满流段和无压明流段。当下游处于低水位时，下游水位与洞顶较低处相衔接，此时有压满流段短，而无压明流段长，可以控制尾水管进口的真空度不超过规范的要求。变顶高尾水洞的工作原理是利用下游水位的变化，确定尾水洞有压满流段的长度不超过极限长度，使整个尾水系统始终满足对尾水管进口处真空度的要求。但变顶高尾水洞中存在明满混合流现象，严重影响水电站系统安全稳定运行[7-9]，因此需要深入地探究变顶高尾水洞水轮机调节系统的能量流变化规律。
与传统拉格朗日体系下的仿射微分方程组不同，广义哈密顿系统善于描述系统内部能量供给、耗散及与外部能量交换[10-11]。随着广义哈密顿系统理论的发展，其结构矩阵和阻尼矩阵能够提供更多系统参数信息[12]。
目前对变顶高尾水洞水轮机调节系统和水轮机调节系统哈密顿模型的研究已取得一定进展，如：文献[13]运用Hopf分岔理论研究了变顶高尾水洞水电站水轮机调节系统的稳定性，给出了Hopf分岔的代数判据，绘制了系统稳定域；文献[14]通过将水轮机及其水力系统纳入广义哈密顿框架分析了其控制的动力学机制并对非线性水轮机的哈密顿建模问题进行了研究；文献[15]通过正交分解实现方法将非线性水轮机系统转化为哈密顿系统并进行能量流分析，仿真表明哈密顿函数可以较好地反映系统的内部关联和外部联系；文献[16]从非恒定渐变流动的Bernoulli方程出发，研究了甩负荷工况下变顶高尾水管进口真空度近似计算公式，通过物理实验证明该近似公式可应用于工程初步设计；文献[17]通过引入变顶高尾水洞明满分界面处水体交替运动的连续性方程，分析了变顶高尾水洞机组运行的稳定性；文献[18]针对一管多机水轮机调节系统建立了哈密顿模型并分析了该模型在随机负荷下的动力学特性。然而，系统研究变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿模型的成果相对较少，本文利用广义哈密顿理论将变顶高尾水洞水轮机调节系统转化为其对应的哈密顿系统形式。分别在无负荷扰动、阶跃负荷扰动和随机负荷扰动情况下，研究变顶高尾水洞水轮机调节系统瞬态能量变化规律。
第2期张浩，等：变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿模型振 动 工 程 学 报第31卷1变顶高尾水洞水轮机调节系统模型
变顶高尾水洞水电站引水发电系统如图1所示。
图1变顶高尾水洞水电站示意图
Fig.1Sketch of a hydropower station tailrace tunnel with
inclined ceiling
在负荷波动过程中，尾水洞中明满流的交替运动会引起尾水洞中水流惯性变化；另一方面明流段水位波动也会影响机组工作水头。文中，h=（H-H0）/H0，q=（Q-Q0）/Q0，x=（n-n0）/n0，y=（Y-Y0）/Y0，mt=（Mt-Mt0）/Mt0，mg=（Mg-Mg0）/Mg0为各变量的相对偏差值，下标“0”表示初始时刻值。B为变顶高尾水洞宽度，n为机组转速，Y为导叶开度，α为变顶高尾水洞顶坡角，Hx为明满流分界面处水深，c为明流段明渠波速，Mt为水轮机动力矩，Mg为水轮机阻力矩，Ta为机组惯性时间常数，λ为尾水洞断面系数，Kp为比例增益，Ki为积分增益，mg为负荷扰动。
由文献[13]可知，变顶高尾水洞水电站的压力管道动力方程为h=-Tws+Twxdqdt-2hfH0q-zy （1）其中，Tws=LVgH0，Twx=LxVxgH0且zy=ZyH0。L为压力管道长度，f为压力管道断面面积，Q为机组流量，V为管道水流流速，hf为压力管道水头损失，Lx为明满流分界面任意瞬态时刻相对初始位置的运动距离，Vx为明满流分界面处水流流速，Tws為稳态水流惯性时间常数，Twx为暂态水流惯性时间常数，H为机组工作水头，Zy为任意瞬态时刻相对初始水位的明流段水位变化值。
依据文献[17]假定，对于一般的变顶高尾水洞（洞顶坡度不超过5%），明满流分界面处水流连续性方程可以表示为Q-Q0Δt=LxZyB/λ （2）进而可知，Lx=λQ0cBtanαq，故Twx=λQ0gH0cBtanαq。由Zy=Lxtanα得zy=λQ0H0cBq。采用Twx和zy的表达式可将式（1）转化为h=-λQ0VxgH0cBtanαqdqdt-Twsdqdt-2hfH0+λQ0H0cBq （3）水轮机动态特性表达式为mt=ehh+exx+eyy，q=eqhh+eqxx+eqyy （4）式中eh，ex，ey为水轮机力矩传递系数；eqh，eqx，eqy为水轮机流量传递系数。
发电机和负载动态特性为Tadxdt=mt-mg+egx （5）液压随动系统动态特性为dydt=-Kpdxdt-Kix （6）综合式（3）～（6），获得变顶高尾水洞水轮机调节系统非线性模型为=-2hfH0+λQ0H0cB+1eqhq+eqxeqhx+eqyeqhyλQ0VxgH0cBtanαq+Tws
=1Taeheqhq+ex-eheqheqx-egx+
ey-eheqheqyy-mg
=-KpTaeheqhq-KpTaex-eheqheqx-eg+Kix-
KpTaey-eheqheqyy+KpTamg （7）2系统哈密顿模型
由式（7）可得，变顶高尾水洞水轮机调节系统的仿射非线性方程为=f（x）+g（x）u （8）式中=[，，]T，g（x）=[0，0，1Ty]T，f（x）=[X1，X2，X3]T，X1=-2hfH0+λQ0H0cB+1eqhq+eqxeqhx+eqyeqhyλQ0VxgH0cBtanαq+Tws，X2=1Ta·eheqhq+ex-eheqheqx-egx+ey-eheqheqyy-mg，X3=-KpTaeheqhq-KpTaex-eheqheqx-eg+Kix+KpTamgKpTaey-eheqheqy，Ty为接力器时间常数，u为输入控制信号。
依据文献[14-15]，哈密顿系统的自然输出为yH=g（x）THX=-Pm （9）式中Pm为水轮机出力相对偏差值。
由水轮机动态特性和Pm=mtw可知，水轮机出力相对偏差值为Pm=π30xeheqhq-eqxx-eqyy+exx+eyy （10）进一步地，由式（9）和（10）可得哈密顿函数为H=πTyy（2eheqxx+eheqyy-2ehq-
2eqhexx-eqheyy）/（60eqh） （11）采用正交分解实现方法，将仿射非线性方程（8）转化为哈密顿模型=[J（x）+P（x）]Hx+g（x）u （12）式中Jx为反对称矩阵，Px为对称矩阵，且有ftdx=fx-〈fx，Hx〉Hx2Hxx （13）
Px=〈fx，Hx〉Hx2I3=N00
0N0
00N （14）式中N=〈fx，Hx〉Hx2。Jx=1Hx2[ftdxHTx-
HxfTtdx]=1Hx2·
0J12J13
J120J23
J13J230 （15）式中J12=Hx2f1-Hx1f2，J13=Hx3f1-Hx1f2，J23=Hx3f2-Hx2f3。
3能量流分析
系统矩阵Px可进一步分解为Px=1Hx2〈fx，H〉=
Sx-Rx （16）其中，Sx=sx00
0sx0
00sx，N=1Hx2〈fx，H〉=1Hx2·f1Hx1+f2Hx2+f3Hx3=1Hx2·
Mdqdt+KpDTaeqhxey-CTaeqhmt-KpDTaeqhpm-DeqhKix2，Rx=rx00
0rx0
00rx，M=-2πTyehxyeqh，C=πTyy4eqhexx-4eheqhx+2ehq-eheqyy+eqheyy，D=πTy（eheqxy-eqhexy-2ehq+2eheqxx+eheqyy-2eqhexx-eqheyy）。当取理想水轮机传递系数时，M>0，C>0，D>0。故rx=1Hx2·CTaeqhmt+KpDTaeqhpm+DeqhKix2，sx=1Hx2·Mdqdt+KpDTaeqhxey。
据文献[12]，系统能量流定义如下。系统能量耗散为HxTRxHx=CTaeqhmt+KpDTaeqhpm+DeqhKix2 （17）式（17）说明系统能量耗散包括机组克服阻力所需的空载功耗和水轮机输出功率以及由于转速变化产生的阻尼功率。
系统内部能量供给为HxTSxH〖〗x=Mdqdt+KpDeyTaeqhx （18）式（18）第一项表示流量变化产生的惯性能量，第二项反映在水轮机调节系统中，能量的产生与机组转速直接相关。
式（17），（18）中各项能量均为广义能量，在广义能量描述下，能量流的变化和实际系统一致且物理意义清晰。
不同哈密頓函数反映的系统内部关联机制不同，将变顶高尾水洞水轮机调节系统纳入广义哈密顿理论框架下的核心问题是恰当哈密顿函数的确定[15]。为验证本文所选择哈密顿函数的有效性，分别在无负荷扰动、阶跃负荷扰动和随机负荷扰动情况下，利用数值模拟对比分析瞬态过程中水轮机出力和水轮机能量的变化规律。
4变顶高尾水洞水电站系统哈密顿仿真分析变顶高尾水洞水电站系统基本资料如下：额定水头H0=70.7 m，额定流量Q0=466.7 m3/s，Ta=6 s，B=10.0 m，Tws=3.20 s，hf=0.1 m，Hx=23 m，tanα=0.03，λ=3。水轮机传递系数为：eh=1.9，ex=-0.8，ey=1，eqh=0.5，eqx=0.5，eqy=0.6，eg=0。仿真初值条件为（q，x，y）=（0，0，0），mg表示负荷扰动。
分析图2可知，在无负荷扰动情况下（mg=0），水轮机出力无变化，且哈密顿函数在该过程也无变动，说明本文所选择的哈密顿函数在无负荷扰动情况下的变化与变顶高尾水洞水轮机调节系统稳态过程中的能量变化较为一致。
图2无负荷扰动下水轮机出力和哈密顿函数的变化
Fig.2Changes of the turbine output and Hamiltonian
function without load disturbance
由图3可知，在t=1 s时加入阶跃负荷扰动（mg=1），哈密顿函数和水轮机出力在t=1 s时都发生突变，哈密顿函数迅速增加，在t=5 s时达到4.8；水轮机出力在1～1.5 s经历短暂反调效应后与哈密顿函数变化趋势基本一致，说明所确定的哈密顿函数可以近似反映出水轮机调节系统瞬态过程中的能量变化。另一方面，观察水轮机出力可知，在阶跃负荷加入后系统出现一定程度的反调效应，而哈密顿函数未能反映这种变化。
分析图4可知，在随机负荷扰动下（mg=rand），水轮机出力和哈密顿函数都呈现较为剧烈的随机变化。哈密顿函数和水轮机出力变化趋势在整个瞬态过程中存在一定的相关性。说明所选择的哈密顿函数可以在一定程度上描述变顶高尾水洞水轮机调节系统在随机负荷扰动瞬态过程的能量变化。由图4（c）可知，明流段水位變化趋势与水轮机出力和哈密顿函数较为一致。仿真结果表明该过程图3阶跃负荷扰动下水轮机出力和哈密顿函数的变化
Fig.3Changes of the turbine output and Hamiltonian
function with step load disturbance图4随机负荷扰动下水轮机出力，哈密顿函数和
明流尾水位的变化
Fig.4Changes of the turbine output， Hamiltonian function and tail water level in open flow with random load disturbance中，由于负荷减小，水轮机出力随之减小，则进入系统水流流量减少导致明流段水位降低。此外，对比水轮机出力变化和哈密顿函数变化可知，在存在一定相关性的基础上，哈密顿函数变化幅度大于水轮机出力变化幅度，说明在该随机负荷扰动瞬态过程中，该哈密顿函数具有较好的灵敏性。
5结论
在变顶高尾水洞水轮机调节系统仿射非线性模型基础上，通过哈密顿正交分解获得变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿函数。理论分析表明，在广义能量描述下，系统能量流的变化较为合理。利用数值模拟验证了所选择的哈密顿函数能在一定程度上反映水轮机调节系统在稳态和瞬态过程中能量的变化信息。深入分析了变顶高尾水洞水轮机调节系统在无负荷扰动、阶跃负荷扰动和随机负荷扰动下，系统能量变化规律。
将变顶高尾水洞水轮机调节系统纳入广义哈密顿理论框架下，分析广义哈密顿系统结构矩阵获得系统内部的关联信息，本文的建模方法和仿真研究为分析水轮发电机组瞬态能量流特性提供了一种新视角。
参考文献：
[1]贾伟， 刘晶石， 庞立军， 等. 抽水蓄能电站水泵水轮机的动静干涉与振动分析[J]. 振动工程学报， 2014， 27（4）：565—571.
Jia Wei， Liu Jingshi， Pang Lijun， et al. Analysis on rotor-stator interaction and vibration of pump turbine in pumped storage power station[J]. Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（4）：565—571.
[2]凌代俭， 陶阳， 沈祖诒. 考虑弹性水击效应时水轮机调节系统的Hopf分岔分析[J]. 振动工程学报， 2007， 20（4）：374—380.
Ling Daijian， Tao Yang， Shen Zuyi. Hopf bifurcation analysis of hydraulic turbine governing systems with elastic water hammer effect[J]. Journal of Vibration Engineering， 2007， 20（4）：374—380.
[3]张辉， 胡钋. 多机共尾水调压室流道结构水轮机调节振荡研究[J]. 水利学报，2015，46（2）：229—238.
Zhang Hui， Hu Po. Study on regulating oscillation in multi hydro turbine generators sharing flow channel structure of tailrace surge tank[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2015，46（2）：229—238.
[4]郭文成， 杨建东， 王明疆. 基于Hopf分岔的变顶高尾水洞水电站水轮机调节系统稳定性研究[J]. 水利学报， 2016， 47（2）：189—199.
Guo Wencheng， Yang Jiandong， Wang Mingjiang. Stability analysis of hydro-turbine governing system of hydropower station with inclined ceiling tailrace based on Hopf bifurcation[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2016， 47（2）：189—199.
[5]周昆雄， 张立翔， 曾云. 机-电偶联条件下水力发电系统暂态分析[J]. 水利学报， 2015， 46（9）：1118—1127.
Zhou Kunxiong， Zhang Lixiang， Zeng Yun. Transient modeling of hydraulic electricity-generating system in water-machine-electricity coupling conditions[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2015， 46（9）：1118—1127.
[6]冯建军， 武桦， 吴广宽， 等. 偏工况下混流式水轮机压力脉动数值仿真及其改善措施研究[J]. 水利学报， 2014， 45（9）：1099—1105.
Feng Jianjun， Wu Hua， Wu Guangkuan， et al. Evaluation of soil salts leaching in cotton field after mulched drip irrigation with brackish water by freshwater flooding[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2014， 45（9）：1099—1105.
[7]周建旭， 张健， 刘德有. 双机共变顶高尾水洞系统小波动稳定性研究[J]. 水利水电技术， 2004， 35（12）：64—67.
Zhou Jianxu， Zhang Jian， Liu Deyou. Study on small fluctuation in system of two units and common tail-tunnel with sloping ceiling[J]. Water Resources and Hydropower Engineering， 2004， 35（12）： 64—67.
[8]朱文龙， 周建中， 夏鑫， 等. 基于水电机组运行工况的水轮机压力脉动诊断策略[J]. 振动与冲击， 2015， 34（8）：26—30，40.
Zhu Wenlong， Zhou Jianzhong， Xia Xin， et al. A novel diagnosis strategy for hydraulic turbine pressure pulsation based on operating state of a hydroelectric generating unit[J]. Journal of Vibration and Shock， 2015， 34（8）：26—30，40.
[9]安华， 杨建东. 基于1D-3D耦合方法的变顶高尾水洞明满混合流的研究[J]. 水力发电学报， 2015， 34（5）：108—113.
An Hua， Yang Jiandong. Study on free surface-pressurized flows in tailrace tunnel with sloping ceiling by 1D-3D coupling approach[J]. Journal of Hydroelectric Engineering， 2015， 34（5）： 108—113.
[10]徐新生， 郭杏林， 马国军， 等. 旋转系统中弹性结构振动问题的哈密顿体系方法[J]. 振动工程学报， 2003， 16（1）：36—40.
Xu Xinsheng， Guo Xinglin， Ma Guojun， et al. A method of hamiltonian formulation for elastic structural vibration in rotating system[J]. Journal of Vibration Engineering， 2003， 16（1）：36—40.
[11]滕俊超， 朱位秋. 谐和与宽带随机激励下拟可积哈密顿系统的最优时滞控制[J]. 振动工程学报， 2016， 29（2）：207—213.
Teng Junchao， Zhu Weiqiu. Optimal time-delay control of quasi integrable Hamiltonian systems under combined harmonic and wide-band random excitations[J]. Journal of Vibration Engineering， 2016， 29 （2）：207—213.
[12]朱位秋， 黄志龙， 应祖光. 非线性随机动力学与控制的哈密顿理论框架[J]. 力学与实践， 2002， 24（3）：1—9.
Zhu Weiqiu， Huang Zhilong， Ying Zuguang. Hamiltonian framework of nonlinear stochastic dynamics and control[J]. Mechanics and Engineering， 2002， 24（3）：1—9.
[13]郭文成， 杨建东， 王明疆. 基于Hopf分岔的变顶高尾水洞水电站水轮机调节系统稳定性研究[J]. 水利学报， 2016， 47（2）：189—199.
Guo Wencheng， Yang Jiandong， Wang Mingjiang. Stability analysis of hydro-turbine governing system of hydropower station with inclined ceiling tailrace based on Hopf bifurcation[J]. Journal of Hydraluic Engineering， 2016， 47（2）：189—199.
[14]曾云， 张立翔， 徐天茂， 等. 弹性水击下非线性水轮机的哈密顿模型[J]. 排灌机械工程学报， 2010， 28（6）：515—520.
Zeng Yun， Zhang Lixiang， Xu Tianmao， et al. Hamiltonian model of nonlinear hydraulic turbine with elastic water column[J]. Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering， 2010， 28（6）：515—520.
[15]曾云， 王煜， 張成立. 非线性水轮发电机组哈密顿系统研究[J]. 中国电机工程学报， 2008， 28（29）：88—92.
Zeng Yun， Wang Yu， Zhang Chengli. Study for Hamiltonian System of Nonlinear Hydraulic Turbine Generating Unit[J]. Proceeding of the CSEE， 2008， 28（29）：88—92.
[16]繆明非， 张永良. 变顶高尾水系统尾水管进口真空度的近似公式[J]. 水力发电学报， 2011， 30（2）：49—53.
Miu Mingfei， Zhang Yongliang. Approximate formula for vacuum degree at the inlet of a draft tube in a tailrace with inclined ceiling[J]. Journal of Hydroelectric Engineering， 2011， 30（2）：49—53.
[17]赖旭， 陈鉴治， 杨建东. 变顶高尾水洞水电站机组运行稳定性研究[J]. 水力发电学报， 2001， （4）：102—107.
Lai Xu， Chen Jianzhi， Yang Jiandong. Stability Analysis of Hydropower Station With Inclined Ceiling Tailrace[J]. Journal of Hydroelectric Engineering， 2001， （4）：102—107.
[18]Xu B B， Wang F F， Chen D Y， et al. Hamiltonian modeling of multi-hydro-turbine governing systems with sharing common penstock and dynamic analyses under shock load[J]. Energy Conversion and Management， 2016， 108：478—487.
Hamiltonian model of a hydro-turbine governing system
with inclined ceiling tailrace
ZHANG Hao， XU Bei-bei， CHEN Di-yi
（College of Water Resources and Architectural Engineering （Institute of Water Resources and Hydropower Research），
Northwest A & F University， Yangling 712100， China）
Abstract： To better study the transient energy change and stabilization mechanism of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace， considering the nonlinear model of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace， the momentum equation of pipeline system is developed in order to accurately describe the dynamic characteristic of the interface of free surface pressurized flow in tailrace. To make full use of strengths of generalized Hamiltonian system in describing energy flow， the Hamilton function of the hydro-turbine with inclined ceiling tailrace is constructed and the traditional affine nonlinear equations for the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace are converted into Hamiltonian system. Firstly， the energy flow of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace in the framework of generalized Hamiltonian theory is proved theoretically to be consistent with the real system. Moreover， the simulation results indicate that the constructed Hamiltonian function can effectively describe the energy change of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace in transient process. The regularity of the energy change for the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace is deeply studied under no-load， step load and random load， respectively.
Key words： hydrodynamics； hydro-turbine governing system； inclined ceiling tailrace； Hamiltonian model； load disturbance
摘要： 为了研究变顶高尾水洞水轮机调节系统瞬态能量变化特征、揭示变顶高尾水洞水轮机调节系统稳定机理，对引水系统动力学方程进行改进，使其更准确描述变顶高尾水洞明满流运动特性。利用广义哈密顿系统在描述能量流变化的优势，构造了变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿函数，将传统水轮机调节系统仿射非线性方程转化为哈密顿系统形式。首先，从理论上验证了在广义哈密顿理论框架下，变顶高尾水洞水轮机调节系统能量流的变化与实际物理系统的一致性；其次，通过数值模拟表明，所选择的哈密顿函数可以有效地描述变顶高尾水洞水轮机调节系统在瞬态过程中能量变化特征；最后，探究了在无负荷扰动、阶跃负荷扰动和随机负荷扰动情况下，变顶高水轮机调节系统的能量变化规律。
关键词： 水动力学； 水轮机调节系统； 变顶高尾水洞； 哈密顿模型； 负荷扰动
中图分类号： TV136+.1； TK730.1； TV737文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）02-0323-06
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.016
引言
尾水系统是水电站系统的重要组成部分，主要有三种形式，分别是无压隧洞、有压隧洞和变顶高尾水洞[1-3]。变顶高尾水洞是水电站尾水系统的一种新形式，在一定条件下可以替代尾水调压室[4-6]。变顶高尾水隧洞的特点是下游水位与洞顶的某一处相衔接，将尾水洞分为有压满流段和无压明流段。当下游处于低水位时，下游水位与洞顶较低处相衔接，此时有压满流段短，而无压明流段长，可以控制尾水管进口的真空度不超过规范的要求。变顶高尾水洞的工作原理是利用下游水位的变化，确定尾水洞有压满流段的长度不超过极限长度，使整个尾水系统始终满足对尾水管进口处真空度的要求。但变顶高尾水洞中存在明满混合流现象，严重影响水电站系统安全稳定运行[7-9]，因此需要深入地探究变顶高尾水洞水轮机调节系统的能量流变化规律。
与传统拉格朗日体系下的仿射微分方程组不同，广义哈密顿系统善于描述系统内部能量供给、耗散及与外部能量交换[10-11]。随着广义哈密顿系统理论的发展，其结构矩阵和阻尼矩阵能够提供更多系统参数信息[12]。
目前对变顶高尾水洞水轮机调节系统和水轮机调节系统哈密顿模型的研究已取得一定进展，如：文献[13]运用Hopf分岔理论研究了变顶高尾水洞水电站水轮机调节系统的稳定性，给出了Hopf分岔的代数判据，绘制了系统稳定域；文献[14]通过将水轮机及其水力系统纳入广义哈密顿框架分析了其控制的动力学机制并对非线性水轮机的哈密顿建模问题进行了研究；文献[15]通过正交分解实现方法将非线性水轮机系统转化为哈密顿系统并进行能量流分析，仿真表明哈密顿函数可以较好地反映系统的内部关联和外部联系；文献[16]从非恒定渐变流动的Bernoulli方程出发，研究了甩负荷工况下变顶高尾水管进口真空度近似计算公式，通过物理实验证明该近似公式可应用于工程初步设计；文献[17]通过引入变顶高尾水洞明满分界面处水体交替运动的连续性方程，分析了变顶高尾水洞机组运行的稳定性；文献[18]针对一管多机水轮机调节系统建立了哈密顿模型并分析了该模型在随机负荷下的动力学特性。然而，系统研究变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿模型的成果相对较少，本文利用广义哈密顿理论将变顶高尾水洞水轮机调节系统转化为其对应的哈密顿系统形式。分别在无负荷扰动、阶跃负荷扰动和随机负荷扰动情况下，研究变顶高尾水洞水轮机调节系统瞬态能量变化规律。
第2期张浩，等：变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿模型振 动 工 程 学 报第31卷1变顶高尾水洞水轮机调节系统模型
变顶高尾水洞水电站引水发电系统如图1所示。
图1变顶高尾水洞水电站示意图
Fig.1Sketch of a hydropower station tailrace tunnel with
inclined ceiling
在负荷波动过程中，尾水洞中明满流的交替运动会引起尾水洞中水流惯性变化；另一方面明流段水位波动也会影响机组工作水头。文中，h=（H-H0）/H0，q=（Q-Q0）/Q0，x=（n-n0）/n0，y=（Y-Y0）/Y0，mt=（Mt-Mt0）/Mt0，mg=（Mg-Mg0）/Mg0为各变量的相对偏差值，下标“0”表示初始时刻值。B为变顶高尾水洞宽度，n为机组转速，Y为导叶开度，α为变顶高尾水洞顶坡角，Hx为明满流分界面处水深，c为明流段明渠波速，Mt为水轮机动力矩，Mg为水轮机阻力矩，Ta为机组惯性时间常数，λ为尾水洞断面系数，Kp为比例增益，Ki为积分增益，mg为负荷扰动。
由文献[13]可知，变顶高尾水洞水电站的压力管道动力方程为h=-Tws+Twxdqdt-2hfH0q-zy （1）其中，Tws=LVgH0，Twx=LxVxgH0且zy=ZyH0。L为压力管道长度，f为压力管道断面面积，Q为机组流量，V为管道水流流速，hf为压力管道水头损失，Lx为明满流分界面任意瞬态时刻相对初始位置的运动距离，Vx为明满流分界面处水流流速，Tws為稳态水流惯性时间常数，Twx为暂态水流惯性时间常数，H为机组工作水头，Zy为任意瞬态时刻相对初始水位的明流段水位变化值。
依据文献[17]假定，对于一般的变顶高尾水洞（洞顶坡度不超过5%），明满流分界面处水流连续性方程可以表示为Q-Q0Δt=LxZyB/λ （2）进而可知，Lx=λQ0cBtanαq，故Twx=λQ0gH0cBtanαq。由Zy=Lxtanα得zy=λQ0H0cBq。采用Twx和zy的表达式可将式（1）转化为h=-λQ0VxgH0cBtanαqdqdt-Twsdqdt-2hfH0+λQ0H0cBq （3）水轮机动态特性表达式为mt=ehh+exx+eyy，q=eqhh+eqxx+eqyy （4）式中eh，ex，ey为水轮机力矩传递系数；eqh，eqx，eqy为水轮机流量传递系数。
发电机和负载动态特性为Tadxdt=mt-mg+egx （5）液压随动系统动态特性为dydt=-Kpdxdt-Kix （6）综合式（3）～（6），获得变顶高尾水洞水轮机调节系统非线性模型为=-2hfH0+λQ0H0cB+1eqhq+eqxeqhx+eqyeqhyλQ0VxgH0cBtanαq+Tws
=1Taeheqhq+ex-eheqheqx-egx+
ey-eheqheqyy-mg
=-KpTaeheqhq-KpTaex-eheqheqx-eg+Kix-
KpTaey-eheqheqyy+KpTamg （7）2系统哈密顿模型
由式（7）可得，变顶高尾水洞水轮机调节系统的仿射非线性方程为=f（x）+g（x）u （8）式中=[，，]T，g（x）=[0，0，1Ty]T，f（x）=[X1，X2，X3]T，X1=-2hfH0+λQ0H0cB+1eqhq+eqxeqhx+eqyeqhyλQ0VxgH0cBtanαq+Tws，X2=1Ta·eheqhq+ex-eheqheqx-egx+ey-eheqheqyy-mg，X3=-KpTaeheqhq-KpTaex-eheqheqx-eg+Kix+KpTamgKpTaey-eheqheqy，Ty为接力器时间常数，u为输入控制信号。
依据文献[14-15]，哈密顿系统的自然输出为yH=g（x）THX=-Pm （9）式中Pm为水轮机出力相对偏差值。
由水轮机动态特性和Pm=mtw可知，水轮机出力相对偏差值为Pm=π30xeheqhq-eqxx-eqyy+exx+eyy （10）进一步地，由式（9）和（10）可得哈密顿函数为H=πTyy（2eheqxx+eheqyy-2ehq-
2eqhexx-eqheyy）/（60eqh） （11）采用正交分解实现方法，将仿射非线性方程（8）转化为哈密顿模型=[J（x）+P（x）]Hx+g（x）u （12）式中Jx为反对称矩阵，Px为对称矩阵，且有ftdx=fx-〈fx，Hx〉Hx2Hxx （13）
Px=〈fx，Hx〉Hx2I3=N00
0N0
00N （14）式中N=〈fx，Hx〉Hx2。Jx=1Hx2[ftdxHTx-
HxfTtdx]=1Hx2·
0J12J13
J120J23
J13J230 （15）式中J12=Hx2f1-Hx1f2，J13=Hx3f1-Hx1f2，J23=Hx3f2-Hx2f3。
3能量流分析
系统矩阵Px可进一步分解为Px=1Hx2〈fx，H〉=
Sx-Rx （16）其中，Sx=sx00
0sx0
00sx，N=1Hx2〈fx，H〉=1Hx2·f1Hx1+f2Hx2+f3Hx3=1Hx2·
Mdqdt+KpDTaeqhxey-CTaeqhmt-KpDTaeqhpm-DeqhKix2，Rx=rx00
0rx0
00rx，M=-2πTyehxyeqh，C=πTyy4eqhexx-4eheqhx+2ehq-eheqyy+eqheyy，D=πTy（eheqxy-eqhexy-2ehq+2eheqxx+eheqyy-2eqhexx-eqheyy）。当取理想水轮机传递系数时，M>0，C>0，D>0。故rx=1Hx2·CTaeqhmt+KpDTaeqhpm+DeqhKix2，sx=1Hx2·Mdqdt+KpDTaeqhxey。
据文献[12]，系统能量流定义如下。系统能量耗散为HxTRxHx=CTaeqhmt+KpDTaeqhpm+DeqhKix2 （17）式（17）说明系统能量耗散包括机组克服阻力所需的空载功耗和水轮机输出功率以及由于转速变化产生的阻尼功率。
系统内部能量供给为HxTSxH〖〗x=Mdqdt+KpDeyTaeqhx （18）式（18）第一项表示流量变化产生的惯性能量，第二项反映在水轮机调节系统中，能量的产生与机组转速直接相关。
式（17），（18）中各项能量均为广义能量，在广义能量描述下，能量流的变化和实际系统一致且物理意义清晰。
不同哈密頓函数反映的系统内部关联机制不同，将变顶高尾水洞水轮机调节系统纳入广义哈密顿理论框架下的核心问题是恰当哈密顿函数的确定[15]。为验证本文所选择哈密顿函数的有效性，分别在无负荷扰动、阶跃负荷扰动和随机负荷扰动情况下，利用数值模拟对比分析瞬态过程中水轮机出力和水轮机能量的变化规律。
4变顶高尾水洞水电站系统哈密顿仿真分析变顶高尾水洞水电站系统基本资料如下：额定水头H0=70.7 m，额定流量Q0=466.7 m3/s，Ta=6 s，B=10.0 m，Tws=3.20 s，hf=0.1 m，Hx=23 m，tanα=0.03，λ=3。水轮机传递系数为：eh=1.9，ex=-0.8，ey=1，eqh=0.5，eqx=0.5，eqy=0.6，eg=0。仿真初值条件为（q，x，y）=（0，0，0），mg表示负荷扰动。
分析图2可知，在无负荷扰动情况下（mg=0），水轮机出力无变化，且哈密顿函数在该过程也无变动，说明本文所选择的哈密顿函数在无负荷扰动情况下的变化与变顶高尾水洞水轮机调节系统稳态过程中的能量变化较为一致。
图2无负荷扰动下水轮机出力和哈密顿函数的变化
Fig.2Changes of the turbine output and Hamiltonian
function without load disturbance
由图3可知，在t=1 s时加入阶跃负荷扰动（mg=1），哈密顿函数和水轮机出力在t=1 s时都发生突变，哈密顿函数迅速增加，在t=5 s时达到4.8；水轮机出力在1～1.5 s经历短暂反调效应后与哈密顿函数变化趋势基本一致，说明所确定的哈密顿函数可以近似反映出水轮机调节系统瞬态过程中的能量变化。另一方面，观察水轮机出力可知，在阶跃负荷加入后系统出现一定程度的反调效应，而哈密顿函数未能反映这种变化。
分析图4可知，在随机负荷扰动下（mg=rand），水轮机出力和哈密顿函数都呈现较为剧烈的随机变化。哈密顿函数和水轮机出力变化趋势在整个瞬态过程中存在一定的相关性。说明所选择的哈密顿函数可以在一定程度上描述变顶高尾水洞水轮机调节系统在随机负荷扰动瞬态过程的能量变化。由图4（c）可知，明流段水位變化趋势与水轮机出力和哈密顿函数较为一致。仿真结果表明该过程图3阶跃负荷扰动下水轮机出力和哈密顿函数的变化
Fig.3Changes of the turbine output and Hamiltonian
function with step load disturbance图4随机负荷扰动下水轮机出力，哈密顿函数和
明流尾水位的变化
Fig.4Changes of the turbine output， Hamiltonian function and tail water level in open flow with random load disturbance中，由于负荷减小，水轮机出力随之减小，则进入系统水流流量减少导致明流段水位降低。此外，对比水轮机出力变化和哈密顿函数变化可知，在存在一定相关性的基础上，哈密顿函数变化幅度大于水轮机出力变化幅度，说明在该随机负荷扰动瞬态过程中，该哈密顿函数具有较好的灵敏性。
5结论
在变顶高尾水洞水轮机调节系统仿射非线性模型基础上，通过哈密顿正交分解获得变顶高尾水洞水轮机调节系统哈密顿函数。理论分析表明，在广义能量描述下，系统能量流的变化较为合理。利用数值模拟验证了所选择的哈密顿函数能在一定程度上反映水轮机调节系统在稳态和瞬态过程中能量的变化信息。深入分析了变顶高尾水洞水轮机调节系统在无负荷扰动、阶跃负荷扰动和随机负荷扰动下，系统能量变化规律。
将变顶高尾水洞水轮机调节系统纳入广义哈密顿理论框架下，分析广义哈密顿系统结构矩阵获得系统内部的关联信息，本文的建模方法和仿真研究为分析水轮发电机组瞬态能量流特性提供了一种新视角。
参考文献：
[1]贾伟， 刘晶石， 庞立军， 等. 抽水蓄能电站水泵水轮机的动静干涉与振动分析[J]. 振动工程学报， 2014， 27（4）：565—571.
Jia Wei， Liu Jingshi， Pang Lijun， et al. Analysis on rotor-stator interaction and vibration of pump turbine in pumped storage power station[J]. Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（4）：565—571.
[2]凌代俭， 陶阳， 沈祖诒. 考虑弹性水击效应时水轮机调节系统的Hopf分岔分析[J]. 振动工程学报， 2007， 20（4）：374—380.
Ling Daijian， Tao Yang， Shen Zuyi. Hopf bifurcation analysis of hydraulic turbine governing systems with elastic water hammer effect[J]. Journal of Vibration Engineering， 2007， 20（4）：374—380.
[3]张辉， 胡钋. 多机共尾水调压室流道结构水轮机调节振荡研究[J]. 水利学报，2015，46（2）：229—238.
Zhang Hui， Hu Po. Study on regulating oscillation in multi hydro turbine generators sharing flow channel structure of tailrace surge tank[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2015，46（2）：229—238.
[4]郭文成， 杨建东， 王明疆. 基于Hopf分岔的变顶高尾水洞水电站水轮机调节系统稳定性研究[J]. 水利学报， 2016， 47（2）：189—199.
Guo Wencheng， Yang Jiandong， Wang Mingjiang. Stability analysis of hydro-turbine governing system of hydropower station with inclined ceiling tailrace based on Hopf bifurcation[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2016， 47（2）：189—199.
[5]周昆雄， 张立翔， 曾云. 机-电偶联条件下水力发电系统暂态分析[J]. 水利学报， 2015， 46（9）：1118—1127.
Zhou Kunxiong， Zhang Lixiang， Zeng Yun. Transient modeling of hydraulic electricity-generating system in water-machine-electricity coupling conditions[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2015， 46（9）：1118—1127.
[6]冯建军， 武桦， 吴广宽， 等. 偏工况下混流式水轮机压力脉动数值仿真及其改善措施研究[J]. 水利学报， 2014， 45（9）：1099—1105.
Feng Jianjun， Wu Hua， Wu Guangkuan， et al. Evaluation of soil salts leaching in cotton field after mulched drip irrigation with brackish water by freshwater flooding[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2014， 45（9）：1099—1105.
[7]周建旭， 张健， 刘德有. 双机共变顶高尾水洞系统小波动稳定性研究[J]. 水利水电技术， 2004， 35（12）：64—67.
Zhou Jianxu， Zhang Jian， Liu Deyou. Study on small fluctuation in system of two units and common tail-tunnel with sloping ceiling[J]. Water Resources and Hydropower Engineering， 2004， 35（12）： 64—67.
[8]朱文龙， 周建中， 夏鑫， 等. 基于水电机组运行工况的水轮机压力脉动诊断策略[J]. 振动与冲击， 2015， 34（8）：26—30，40.
Zhu Wenlong， Zhou Jianzhong， Xia Xin， et al. A novel diagnosis strategy for hydraulic turbine pressure pulsation based on operating state of a hydroelectric generating unit[J]. Journal of Vibration and Shock， 2015， 34（8）：26—30，40.
[9]安华， 杨建东. 基于1D-3D耦合方法的变顶高尾水洞明满混合流的研究[J]. 水力发电学报， 2015， 34（5）：108—113.
An Hua， Yang Jiandong. Study on free surface-pressurized flows in tailrace tunnel with sloping ceiling by 1D-3D coupling approach[J]. Journal of Hydroelectric Engineering， 2015， 34（5）： 108—113.
[10]徐新生， 郭杏林， 马国军， 等. 旋转系统中弹性结构振动问题的哈密顿体系方法[J]. 振动工程学报， 2003， 16（1）：36—40.
Xu Xinsheng， Guo Xinglin， Ma Guojun， et al. A method of hamiltonian formulation for elastic structural vibration in rotating system[J]. Journal of Vibration Engineering， 2003， 16（1）：36—40.
[11]滕俊超， 朱位秋. 谐和与宽带随机激励下拟可积哈密顿系统的最优时滞控制[J]. 振动工程学报， 2016， 29（2）：207—213.
Teng Junchao， Zhu Weiqiu. Optimal time-delay control of quasi integrable Hamiltonian systems under combined harmonic and wide-band random excitations[J]. Journal of Vibration Engineering， 2016， 29 （2）：207—213.
[12]朱位秋， 黄志龙， 应祖光. 非线性随机动力学与控制的哈密顿理论框架[J]. 力学与实践， 2002， 24（3）：1—9.
Zhu Weiqiu， Huang Zhilong， Ying Zuguang. Hamiltonian framework of nonlinear stochastic dynamics and control[J]. Mechanics and Engineering， 2002， 24（3）：1—9.
[13]郭文成， 杨建东， 王明疆. 基于Hopf分岔的变顶高尾水洞水电站水轮机调节系统稳定性研究[J]. 水利学报， 2016， 47（2）：189—199.
Guo Wencheng， Yang Jiandong， Wang Mingjiang. Stability analysis of hydro-turbine governing system of hydropower station with inclined ceiling tailrace based on Hopf bifurcation[J]. Journal of Hydraluic Engineering， 2016， 47（2）：189—199.
[14]曾云， 张立翔， 徐天茂， 等. 弹性水击下非线性水轮机的哈密顿模型[J]. 排灌机械工程学报， 2010， 28（6）：515—520.
Zeng Yun， Zhang Lixiang， Xu Tianmao， et al. Hamiltonian model of nonlinear hydraulic turbine with elastic water column[J]. Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering， 2010， 28（6）：515—520.
[15]曾云， 王煜， 張成立. 非线性水轮发电机组哈密顿系统研究[J]. 中国电机工程学报， 2008， 28（29）：88—92.
Zeng Yun， Wang Yu， Zhang Chengli. Study for Hamiltonian System of Nonlinear Hydraulic Turbine Generating Unit[J]. Proceeding of the CSEE， 2008， 28（29）：88—92.
[16]繆明非， 张永良. 变顶高尾水系统尾水管进口真空度的近似公式[J]. 水力发电学报， 2011， 30（2）：49—53.
Miu Mingfei， Zhang Yongliang. Approximate formula for vacuum degree at the inlet of a draft tube in a tailrace with inclined ceiling[J]. Journal of Hydroelectric Engineering， 2011， 30（2）：49—53.
[17]赖旭， 陈鉴治， 杨建东. 变顶高尾水洞水电站机组运行稳定性研究[J]. 水力发电学报， 2001， （4）：102—107.
Lai Xu， Chen Jianzhi， Yang Jiandong. Stability Analysis of Hydropower Station With Inclined Ceiling Tailrace[J]. Journal of Hydroelectric Engineering， 2001， （4）：102—107.
[18]Xu B B， Wang F F， Chen D Y， et al. Hamiltonian modeling of multi-hydro-turbine governing systems with sharing common penstock and dynamic analyses under shock load[J]. Energy Conversion and Management， 2016， 108：478—487.
Hamiltonian model of a hydro-turbine governing system
with inclined ceiling tailrace
ZHANG Hao， XU Bei-bei， CHEN Di-yi
（College of Water Resources and Architectural Engineering （Institute of Water Resources and Hydropower Research），
Northwest A & F University， Yangling 712100， China）
Abstract： To better study the transient energy change and stabilization mechanism of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace， considering the nonlinear model of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace， the momentum equation of pipeline system is developed in order to accurately describe the dynamic characteristic of the interface of free surface pressurized flow in tailrace. To make full use of strengths of generalized Hamiltonian system in describing energy flow， the Hamilton function of the hydro-turbine with inclined ceiling tailrace is constructed and the traditional affine nonlinear equations for the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace are converted into Hamiltonian system. Firstly， the energy flow of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace in the framework of generalized Hamiltonian theory is proved theoretically to be consistent with the real system. Moreover， the simulation results indicate that the constructed Hamiltonian function can effectively describe the energy change of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace in transient process. The regularity of the energy change for the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace is deeply studied under no-load， step load and random load， respectively.
Key words： hydrodynamics； hydro-turbine governing system； inclined ceiling tailrace； Hamiltonian model； load disturbance
