信号与系统课程中使用DFT 绘制DTFT 的精度问题

    诸葛霞++袁红星++廖远江

    摘要：该文介绍了使用DFT绘制DTFT的方法，并附有程序代码和结果演示图。在此基础上总结了使用DFT绘制DTFT的特征，给出了使用DFT绘制DTFT的频率精度。

    关键词：信号与系统；MATLAB；DFT；DTFT

    中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）11-0278-02

    1 绪言

    信号与系统课程是电子类本科专业的专业基础课程[1～4]，DFT和DTFT是该课程的离散信号的傅里叶变换部分的主要内容。DFT即离散傅里叶变换是为了利用计算机对有限长序列进行傅里叶变换而提出的一种专门运算。离散信号分析和处理的主要手段是使用计算机来实现，序列的DTFT是连续函数，其逆变换为积分运算，无法直接用计算机实现。因此，我们可以借助计算机使用DFT绘制DTFT，尤其是快速傅里叶变换算法（FFT）的提出大大加快了DFT的计算。下面我们将以一个简单的信号为例研究使用DFT绘制DTFT的精度问题。

    2使用DFT绘制DTFT的精度问题

    复指数信号[x（t）=ej2πF0t]的离散时间傅里叶变换（DTFT）为[X（f）=n=0N-1ej2πf0ne-j2πfn=sinNπ（f-f0）sinπ（f-f0）e-jπ（N-1）（f0-f）]，取N=32，[f0=732]，直接绘制DTFT的幅度谱[X（f）]如下图1所示，

    以周期[Ts]对[x（t）]采样得到离散信号[x[n]=ej2πF0nTs=ej2πf0n]，绘制[x[n]]的32点DFT为下图2和下图3中的“x”所示，

    由图2可知，当频率[f0]为1/N的倍数时，除了频率[f=f0=732]处有一个最大值32之外，其他频率处的值都为0，这种情况很符合当N→∞时的频率特征，所以对于N=32来讲非常例外。

    由图3可知，当频率[f0]不为1/N的倍数时，DFT的32个点值呈现类似正弦趋势的非零值，最大值离[f0]最近。在这种情况下，[f0]和DFT最大值对应的频率之间的间隔最坏为1/L=1/32，我们定义这种最坏情况下的间隔为使用DFT绘制DTFT的频率精度。如果信号的采样频率为[Fs]（Hz），则使用DFT绘制DTFT的频率精度为[FsL]（Hz）。

    3结论

    本文主要研究了使用DFT绘制DTFT的频率精度问题。若L为DFT的计算点数，则使用DFT绘制DTFT的频率精度为1/L，或者为[FsL]（Hz），其中[Fs]为信号的采样频率。

    参考文献：

    [1] 诸葛霞，袁红星，孔中华，朱仁祥，何金保.信号与系统课程教学改革的思考与实践[J].网友世界，2013（20，21）：186-187.

    [2] 诸葛霞，袁红星，孔中华，朱仁祥，何金保.信号系统课程中数字图像处理教学案例研究[J].宁波工程学院学报，2014，26（4）：79-82.

    [3] 诸葛霞，袁红星，李俊.信号与系统课程教学过程中若干问题的探讨[J].亚太教育，2015（7）（上）：127，141.

    [4] 诸葛霞，袁红星，李俊，王敬蕊.信号与系统课程中有关离散傅里叶级数的相关问题研究[J].新校园，2015（12）.